応用確率統計学(第3回） - STReP in IRIDeS and CNEAS

第6回分散分析（第7章）
Analysis of Variance
•回帰モデルにおける分散分析
–回帰式の全体的な適合度（分散分析）
•平方和の分解
Decomposition of Sum of Squares
–全体の散らばり＝説明できた部分＋残差
•対応のないデータと，対応のあるデータ
–個人（個体）による違いを考える
1
帰無仮説と対立仮説
Null Hypothesis and Alternate Hypothesis
• A person has headache （pain in head)
Before it, he drank a glass of bad wine.
• Alternate Hypothesis: what is susceptive;
The wine was the cause of the pain. (guilty)
• Null Hypothesis: Opposite to that hypothesis;
The wine was not the cause of the pain. (innocent)
2
棄却と採択
Rejection of the Null Hypothesis
• When we permit the Null Hypothesis, the
probability of the realized event is calculated.
– Calculate the probability of headache when he did not
drink such a wine.
• If the probability is too small (smaller than your
critical probability), you can reject the nullhypothesis and approve the alternate hypothesis.
– The wine was the cause of the pain. (guilty)
• If the probability is not too small, you cannot say
anything. (not actively approve the null hypothesis).
– The wine was not the cause of the pain. (innocent)
3
連続変数と棄却域
Critical Value for Continuous Variable
•We take a continuous variable
such
as headache
duration,
• If he had headache with certain
large
probability,
when we
setthe
theNull
critical
region,
drinking no wine, we cannot can
reject
Hypothesis.
more easily, based on the
usual probability density.
Probability Density under
the Null Hypothesis
0.05
No-ache
Ache
60min Duration of
headache
4
F分布（F distribution)
自由度(f1,f2) のF 分布
• 確率密度関数
F分布もχ2分布と関係がある。
X, Y が独立でそれぞれ自由度f1, f2 の
χ2 分布に従うとき、
Z  X / f1
Y / f2
は自由度(f1, f2) のF 分布に従う。
したがって2 つの標本群から計算し
た分散の比をとると、その統計量は
F 分布に従う．
5
F分布表（F distribution)
6
目的変数をどの程度[記述]出来たか？
Xiによる説明式がない場合
yiの推計値
Y
として、
平均値 y を
y
使うしかない
Yˆi  f ( X i ) なる説明式がある場合
回帰（Xiで説明
できた y から
のずれ）
Y
y
yˆi  y
yˆi
残差･誤差
xi
平均値周りの
バラツキ（全平方和）
Total Sum of Squares
ST   ( yi  y )
i
2
X
回帰平方和
Regressed Sum of Squared
S R   ( yˆi  y ) 2
i
残差平方和
Error Sum of Squared
S E   i2   ( yi  yˆi ) 2
i
i
 i  yi  yˆi
決定係数
R2 
SR
S
 1 E
ST
ST
説明できた
平方和の割合
7
平方和（散らばり）の分解
Decomposition of Sum of Squared
全体の散らばり（Total)を分解
説明できた散らばり（Regressed)
＋残りの散らばり（Error)
それぞれを平方和（Sum of Squared)で評価 ST=SR+SE
帰無仮説：SRとSEは統計的に同程度のもの
そのときには、Fo＝VR/VEはF分布(自由度fR, fE)に従う
ただしVR=SR/fR， VE=SE/fE
8
回帰による記述（説明）力の検定
– 回帰平方和が統計的に大きな意味を持っているか？
– 分散分析表を作り、F検定を行って判断する。
• 帰無仮説：回帰平方和は誤差平方和と同程度の大きさ
（回帰式は、誤差に比べて大きな説明力はない）
• 対立仮説：回帰平方和は誤差平方和より大きい
（回帰式によって誤差よりもかなり大きい部分が説明でき
た）
9
回帰による記述（説明）力の検定例
• 帰無仮説：回帰平方和は誤差平方和と同程度の大きさ
（回帰式は、誤差に比べて大きな説明力はない）→棄却
• 対立仮説：回帰平方和は誤差平方和より大きい
（回帰式により、誤差よりもかなり大きい部分が説明できた）
Multiple R-squared: 0.9511, Adjusted R-squared: 0.9348
F-statistic: 58.37 on 2 and 6 DF, p-value: 0.0001168
10
7.1一元配置法(対応なし)ｐ.159
• 指導法ごとに，テストの点数が異なるか?
A
B
C
D
15
9
18
14
18
13
8
8
12
7
10
6
11
7
12
10
7
3
5
7
11
変動の分解
A
B
C
D
15 13 10 10
9 8 6 7
18 8 11 3 ＝
14 12 7 5
18 7 12 7
A
B
C
D
A
B
C
D
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
+5
-1
+8
+4
+8
+3
-2
-2
+2
-3
0
-4
+1
-3
+2
0
-3
-7
-5
-3
観測値
A
B
＋
全体平均
全体変動
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
+5 +3 0
-1 -2 -4
+8 -2 +1
+4 +2 -3
+8 -3 +2
0
-3
-7
-5
-3
4.8
4.8
4.8
4.8
4.8
-0.4
-0.4
-0.4
-0.4
-0.4
-0.8
-0.8
-0.8
-0.8
-0.8
-3.6
-3.6
-3.6
-3.6
-3.6
0.2
-5.8
3.2
-0.8
3.2
3.4
-1.6
-1.6
2.4
-2.6
0.8
-3.2
1.8
-2.2
2.8
3.6
0.6
-3.4
-1.4
-0.6
全体変動
＝
群間平均
＋
12
群内変動(残差)
平方和の評価
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
+5 +3 0
-1 -2 -4
+8 -2 +1
+4 +2 -3
+8 -3 +2
0
-3
-7
-5
-3
4.8
4.8
4.8
4.8
4.8
-0.4
-0.4
-0.4
-0.4
-0.4
-0.8
-0.8
-0.8
-0.8
-0.8
-3.6
-3.6
-3.6
-3.6
-3.6
0.2
-5.8
3.2
-0.8
3.2
3.4
-1.6
-1.6
2.4
-2.6
0.8
-3.2
1.8
-2.2
2.8
3.6
0.6
-3.4
-1.4
-0.6
全体変動
平方和 322
分散16.94＝322/19
自由度19＝20-1
＝
＋
群間平均
群内変動(残差)
平方和 184
平方和 138
分散61.3-184/3
分散8.6=138/16
自由度3＝4-1
自由度16=4(5-1)
13
F=61.33/8.625=7.11
F分布表（F distribution)
3.24
7.11
Under the null-hypothesis,
The Ratio of Variance goes beyond
the observed value (7.111) with
Probability smaller than 0.05.
14
7.111＞F(0.05:3,16)＝3.24
You can reject the null-hypothesis:
The inter-group variation is statistically
different from the inner-group.
Rによる計算 aov()
> 統計テスト2
[1] 15 9 18 14 18 13 8 8 12 7 10 6 11 7 12 10 7 3 5 7
> 指導法2
[1] A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D
Levels: A B C D
> oneway.test(統計テスト2~指導法2,var.equal=TRUE)
One-way analysis of means
data: 統計テスト2 and 指導法2
F = 7.1111, num df = 3, denom df = 16, p-value = 0.002988
> summary(aov(統計テスト2~指導法2))
Df
Sum Sq Mean Sq
F value
Pr(>F)
指導法2 3
184.000
61.333 7.1111 0.002988 **
Residuals 16
138.000
8.625
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
7.2一元配置法(対応あり)ｐ.175
• 3科目に対する好意度の評価
学生
田中
岸
大引
吉川
荻野
線形代数微分積分確率統計
7
8
9
5
6
5
4
7
1
3
8
6
7
2
5
16
変動の分解
線微確
田
岸
大
吉
荻
7
8
9
5
6
5
4
7
1
3
8
6
7
2
5
田
岸
＝大
吉
荻
観測値
全体
変動
田
岸
＝大
吉
荻
微
確
1.46
-1.53
-1.53
0.06
0.06
1.46
-1.53
-1.53
1.46
-1.53
0.06
1.46
微
確
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
5.53
＋
全体平均
線
1.46
線
0.06
0.06
条件(科目間)
田
岸
＋大
吉
荻
田
岸
大
吉
荻
線
微
確
1.46
-0.53
2.46
2.46
-1.53
0.46
3.46
1.46
1.46
-0.53 -4.53 -3.53
0.46
-2.53 -0.53
全体変動
線
微
確
1.13
1.13
1.13
0.46
0.46
0.46
2.13
2.13
2.13
-2.86
-2.86
-2.86
-0.86
-0.86
-0.86
田
岸
＋大
吉
荻
個人差(個人間)
線
微
確
-1.13
-0.13
1.26
0.53
-0.46
-0.06
-0.13
0.86
-0.73
0.86
-0.13
-0.73
-0.13
-0.13
-0.26
17
(残差)
平方和の評価
田
岸
＝大
吉
荻
全体変動
平方和 73.73
線
微
確
1.46
-1.53
-1.53
0.06
0.06
1.46
-1.53
-1.53
1.46
-1.53
0.06
1.46
1.46
0.06
0.06
田
岸
＋大
吉
荻
条件(科目間)
平方和 22.53
分散11.267
線
微
確
1.13
1.13
1.13
0.46
0.46
0.46
2.13
2.13
2.13
-2.86
-2.86
-2.86
-0.86
-0.86
-0.86
田
岸
＋大
吉
荻
線
微
確
-1.13
-0.13
1.26
0.53
-0.46
-0.06
-0.13
0.86
-0.73
0.86
-0.13
-0.73
-0.13
-0.13
-0.26
個人差(個人間)
(残差)
平方和 45.06
平方和 6.133
分散11.267
分散 0.767
自由度
自由度2＝3-1 自由度4＝5-1
自由度8=4(3-1)
14＝15-1
Fo=11.267/0.767=14.69>F(2,8,0.05)=4.64
18
Fo=11.267/0.767=14.69>F(4,8,0.05)=3.84
Rによる計算 aov()
> 好意度
[1] 7 8 9 5 6 5 4 7 1 3 8 6 7 2 5
> 科目
[1] 線形代数線形代数線形代数線形代数線形代数微分積
分微分積分微分積分微分積分
[10] 微分積分確率統計確率統計確率統計確率統計確率統計
Levels: 確率統計線形代数微分積分
>人
[1] 田中岸大引吉川荻野田中岸大引吉川荻野田中岸大
引吉川荻野
Levels: 荻野岸吉川大引田中
> summary(aov(好意度~科目))
Df
Sum Sq Mean Sq
F value Pr(>F)
科目
2
22.533 11.267
2.6406 0.1121
Residuals 12
51.200 4.267
Rによる計算 aov()
> summary(aov(好意度~人))
Df
Sum Sq Mean Sq
F value Pr(>F)
人
4
45.067 11.267
3.9302 0.03603 *
Residuals 10
28.667 2.867
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> summary(aov(好意度~科目+人) )
Df
Sum Sq Mean Sq
F value
Pr(>F)
科目
2
22.533 11.267
14.696 0.002095 **
人
4
45.067 11.267
14.696 0.000931 ***
Residuals 8
6.133 0.767
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

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