第４日目第１時限の学習目標 ３つ以上の平均値の差の検定（分散分析）の 概要を知る。 （１）分散分析の例を知る。 （２）分散分析の広がりと基本的デザインに つい て学ぶ。 （３）要因の効果の検定方法を学ぶ。 （４）分散分析の基本用語を学ぶ。 ３つ以上の平均値の差の検定（１） 分散分析例（１） 睡眠遮断実験データ （Kirk, 1985) 要因ー睡眠遮断 要因数ー１ 要因の水準ー４ 12h, 24h, 36h, 48h の睡眠遮断条件 サンプル数ー各水準に８ 名づつ無作為割付 従属変数ー手先の鈍感さ 完全無作為化デザイン ANOVA 1 2 3 4 5 6 7 8 12h 24h 36h 48h 3 4 7 7 6 5 8 8 7 9 ３ ４ 3 3 6 8 1 2 5 10 2 3 6 10 2 4 5 9 2 3 6 11 ３つ以上の平均値の差の検定（２） 分散分析例（２） 社会的スキルと父母への 甘えの関連データ（１８ 年度卒業生稲垣さんデー タ） 要因ー父・母への甘え 要因数ー２ 要因の水準－各２ （甘えの有無） サンプル数ー男６５名 従属変数ー社会的スキル の６因子のそれぞれ 完全無作為化２要因デザ イン ANOVA 母 父 父親へ 父親へ の甘え の甘え 有り 無し 母親へ の甘え 有り 母親へ の甘え 無し ３つ以上の平均値の差の検定（３） 分散分析例（３） ミラーリエル錯視実験 (１８年度計量心理学演習 受講者データ） 要因ー斜線分の長さ 要因数ー１ 要因の水準ー３ サンプル数ー１２名 従属変数ー錯視量 （単位mm) １要因反復測定デザイン ANOVA 15mm 条件 １ ２ . . . １２ 30mm 条件 45mm 条件 17.8 18.5 19.5 25.8 30.5 28.8 . . . . . . . . . 21.0 29.0 31.5 ３つ以上の平均値の差の検定（４） 分散分析例（４） 反応時間実験データ （１８年度修士２年 金田君デー 1 タ） 要因ー反応形態と刺激の 中立性 2 要因数ー２ 要因の水準ー反応形態３、 刺激の中立性２ … サンプル数ー２５名 従属変数ー反応時間 25 ２要因反復測定デザイン ANOVA A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2 A3 B1 A3 B2 240 218 437 439 485 567 197 195 267 382 366 363 … … … … … … 256 301 411 416 407 480 ３つ以上の平均値の差の検定（５） 分散分析の広がり（１） ３つ以上の平均値の差の検定の方法である分散分 析には、いろいろなものが知られている。 一般には、この種の方法は、研究者が関心を持つ 従属変数に対して影響を持つと考えられる多くの 独立変数、すなわち要因のうち、少数の要因に絞 り他はできる限り統制し、少数要因の効果の有無 を統計的に検討する方法の全体を実験計画法 (design of ex- periment 又は experimental design) と呼ぶが、狭義にはそれによる分析手続きを分散 分析 (analysis of variance, 略して ANOVA) と呼ぶ。 ３つ以上の平均値の差の検定（６） 分散分析の広がり（２） 分散分析は、狭義には１変量分散分析を指すが、 広義にはそれのみでなく、共分散分析 (analysis of co- variance, 略して ANCOVA)、多変量分散分析 (multivariate analysis of variance, 略して MANOVA)、及び一般多変量分散分析 (general multivariate analysis of variance, 略して GMANOVA) が含まれる。 また、複数の条件（分散分析では、これを処理と か水準とかいうことがある）に対して、同一被験 者が反応させられるデザインとして、反復測定 （測度）分散分析(repeated measures ANOVA) が ３つ以上の平均値の差の検定（６） 分散分析の広がり（３） この授業では、それらのうち、要因数が２つま での基本的な４つの方法について、まず簡単に 紹介する。 それらは、完全無作為化デザイン (completely ran-domized design)、完全無作為化要因デザイ ン (completely randomized factorial design)、乱 塊法 (randomized block design)、分割区画デザ イン (split-plot design) である。 分散分析では、つぎに示すように、データを収 集する前に、研究目的に照らして、適切な要因 及び被験者を計画的に集める必要がある。 ３つ以上の平均値の差の検定（７） 完全無作為化デザイン（CR-p） 当該実験での主要な１つの因子の各水準に対して、各被 験者を無作為に割り付ける方法。 CR-p デザインでは、Fisher の実験計画法の３原則のうち どれとどれを使うか？ 水準 観測値 Ａ１ ・・・ Ａｐ 均質な被験者集団 ３つ以上の平均値の差の検定（8） 完全無作為化２要因デザイン（CRF-pq） 当該実験での主要な2つの因子の各水準に対して、各被験 者を無作為に割り付ける方法。 CR-p デザインとどこが異なる？ B1 … Bq A1 ׃ Ap 均質な被験者集団 ３つ以上の平均値の差の検定（9） 乱塊法デザイン（RB-p） 当該実験での主要な１つの因子の各水準に対して、均質 でない被験者を１つの局外因子によりブロック化し、ブ ロックごと無作為に割り付ける方法。 RB-p デザインでは、Fisher の実験計画法の３原則のうち どれとどれを使うか？ 均質でない被験者を １つの局外因子で分ける ＢＬ１ ・・・ ＢＬｋ Ａ１ ・・・ ・・・ Ａｐ ＢＬ１ ＢＬＫ ＢＬ２ ３つ以上の平均値の差の検定（10） 分割区画デザイン（SPF-p.q） 当該実験で重要度の異なる2つの因子の水準に対して、各被験者を２ つの局外因子によりブロック化し２段階の無作為割り付けにより被 験者を割り付ける方法。 RB-p デザインとどこが異なる？ B1 … Bq 均質でない被験者を２つの 局外因子によりブロック化 A1 ＢＬ（１）１ … BL(1)2 ׃ ׃ Ap BL(2)1 ׃ ׃ BL(1)p … BL(2) 2 … BL(2)r ３つ以上の平均値の差の検定（11） 条件間での平均値の差の持つ意味 睡眠遮断データでは、１２時間、２４時間、３６時 間、４８時間の睡眠遮断を課す４グループ各８名の 手先の敏捷性（鈍感度）のデータの平均値は、睡眠 遮断時間が増すにつれて、増大している。 水準間での平均値の違いは、手先の敏捷性に対する 睡眠遮断という要因の効果の有無を表している、と 考えられる。 まず、睡眠遮断要因の効果の検定結果が分散分析で はどのように示されるのかを、統計ソフト SAS を用 いてみてみよう。 ３つ以上の平均値の差の検定（12） SAS による分散分析の出力例 変動因 自由度 平方和 Model 3 194.5 Error 28 41.0 Correct 31 235.5 ed total 変動因 自由度 Anova 平方和 平均平方 F 値 Pr>F 63.83 44.28 .0001 1.46 level 63.83 3 194.5 平均 平方 F値 Pr>F 44.28 .0001 ３つ以上の平均値の差の検定（13） SAS による分散分析の出力例 変動因 平方和 自由度 平均平方 要因名 SS_A I-1 SS_A / (I-1) 誤差 SS_E N-I SS_E /(N-I) 計 SS_T N-1 F値 ｐ値 U_A / U_E p ３つ以上の平均値の差の検定（14） SAS による分散分析の出力例 構造模型ー分散分析では、どのデザインでも、 それにより得られるデータ y を実現値とする確 率変数 Y に対するモデル（構造模型）を仮定す る。例えば、CR-p デザインでは、 Yik i Eik , ここで、μは一般平均、αi は因子 A の第 i 水準の 主効果、Eik は誤差項である。 ３つ以上の平均値の差の検定（15） 分散分析での３つの仮定 （１）正規性 (構造模型の）誤差項は正規分布に従う （２）等分散性 各セルの（母集団での）分散はすべて 等しい （３）独立性 従属変数の値は互いに独立である ３つ以上の平均値の差の検定（16） 基本用語１－平方和（１） 例えば、分散分析表の中の平方和の１つである SSAは、第 i 水準の Ni 人のサンプルの従属変数の 値の平均を実現値とする確率変数から全サンプ ルの平均を引いたものの二乗和（平方和）であ Ni I る： SSA (Yi Y ) 2 , i 1 k 1 は、第 i 水準の主効果 αi と、誤差に関わる項であ ることが、うえの構造模型を用いると証明できる。 ３つ以上の平均値の差の検定（1７） 基本用語１－平方和（２） 同じく分散分析表の中の平方和の１つである SS Ｅ は、第 i 水準の k 番目のサンプルの値 yik を実現 値とする確率変数 Yik から第 i 水準の Ni 人のサン プルの平均を引いたものの二乗和（平方和）であ Ni る： I SSE (Yik Yi ) 2 , i 1 k 1 は、誤差に関わる項のみから成ることが、先ほどと同 様、構造模型から証明できる。 ３つ以上の平均値の差の検定（１８） 平均平方 つぎに、分散分析表の中の平均平方の１つであ る UＥは、誤差平方和 SSE を N – I で割ったもの である： U E SSE /( N I ) Ni I (Yik Yi ) 2 /( N I ) i 1 k 1 同様に、UA は、要因平方和を I -1 で割ったもので、 U A SS A /( I 1) I Ni (Y i Y ) 2 /( I 1) i 1 k 1 ３つ以上の平均値の差の検定（１9） CR-p デザインにおける F 値の意味（１） 結局、CR-p デザインにおける要因の効 果検定のための統計量 F は、要因の効 果と 誤差に関わる項の、誤差に関わる 項に対する比 F U A /UE として定義されることがわかる。 ３つ以上の平均値の差の検定（２０） CR-p デザインにおける F 値の意味（２） 結局、CR-p デザインに限らず、一般に 分散分析では、テキスト p.8 上方の枠内 にまとめたように、 分散分析ではデータの全変動を、組み込 んだ因子の変動と誤差変動に分解し、誤差 変動に比べて当該因子の変動がどれ程大 きいのかを検討する。
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