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解析 II (Analysis II)
授業資料（ 4/10,17 日分）
•
•
•
本資料では、教科書の内容に沿って、意味
や背景説明、補足事項、関連・発展事項な
どについて記す。
練習問題や立ち入った説明などは、別途
テキスト資料を web に掲載する。
数式などはすべてを再掲はしないので、
教科書記述と併用して読むこと。
第４章：級数（概要）
• 級数とは何か（定義・実例）
• 級数の収束・発散
一般的な収束条件、具体的・特殊な例
• 整級数（ベキ級数）
多項式（整式）の項数を∞にしたもの
• 関数列・関数項級数
（可能な範囲で取り上げる）
2
コーシー列（pp.139-141）
• 数列 a0 , a1, a2 ,  がコーシー列：
（十分先のほうでは）数列の要素同士が互
いにいくらでも近くにある、ということ。
– 参考：収束列の場合には、数列の要素があ
る特定の点（極限値）にいくらでも近い。
• 目的：数列がコーシー列であることと、
それが収束するかしないかとの関係
3
コーシー列（２）
• 比較する要素同士は、添字がどんなに離
れていてもよい。
例： L  100　なら | an  am | は :
| a100  a1000 |, | a100  a100000 |, | a1000  a2000 |,
• よくある間違い
– 隣どうしの項だけしか見ない：×| an 1  an | 
– 問題： lim | an 1  an | 0 であっても、数列自
体は発散する例を示せ。
4
コーシー列（３）
• 「収束列はコーシー列である」 (4.1.2)
これは当たり前。問題はこの逆：
• 「コーシー列は収束列である」(4.1.3)
– つまりコーシー列なら極限が存在するということ
– これは実数の基本的な性質（実数の完備性）の反
映である。
– また実数の完備性を表現する１つの方法でもある。
– 与えられた数列が収束するか否かの判定方法を与
えてもいる（ただし極限値がわかるとは限らない）。
5
参考：実数の完備性
• 実数全体の集合には「隙間（穴）がない」、
ということ。
– 本によっては「実数の連続性」と書いてあるもの
もあるが、「完備性」のほうが適切。
– 参考：「稠密（ちゅうみつ）」：どんな狭い間隔をと
っても、その間に必ず集合の要素が存在。
– 稠密性と完備性とは一見似ているが、別物。
例えば有理数全体の集合は稠密だが完備では
ない（いくらでも隙間がある：無理数のところ）
6
参考：実数の完備性（２）
• （互いに同等な）表し方は多数ある。
–
–
–
–
有界数列には収束部分列が存在 (2.2.3)
有界な単調数列は収束する (2.2.4)
有界な集合には上限が存在する (3.1.9)
コーシー列は収束列である (4.1.3)
(Cauchy, Cantor)
– a0  a1  a2    b2  b1  b0 で lim(bn  an )  0 なら
an , bn の共通極限が存在する (Weierstrass)
– 「デーデキントの切断」 (Dedekind)
実数の分割は上端・下端の一方のみ存在する
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参考：実数の完備性（３）
• 数学としては、前スライドに掲げた完備性の
諸性質を論じるのが本筋だが、この授業で
は立ち入らない。
• しかしこれらの性質は、具体的な応用にお
いても重要！
– 特に数列・級数の収束の判定
例：
• 正項級数が一定値を超えないなら収束 (2.2.4)
• 交項級数の収束 (4.1.19)
8
参考：三角不等式について
• (4.1.2)～(4.1.4) の証明でも使われている
三角不等式は、極限を扱う場合の基本的
な証明手段の１つ。
• 原型： | a  b |  | a |  | b |
２次元以上のベクトルのノルム（長さ）でも
成り立つ。
• 実際の使用は次の形が多い。
|a c||a b| |bc|
9
級数とは (series)
• 数列 a0 , a1 , a2 ,  の要素の形式的な和：

a0  a1  a2    an     an
n 0
– 定義については様々な問題や議論があるが、ここでは
立ち入らない。
k
• 部分和：
S k   an
n0
級数の和（定義）：
lim Sk  s のとき
k 

a
n 0
n
s
• 級数を部分和数列とは別個に考えるのは、各項を
独立して扱うのが重要かつ簡単なことが多いから。
10
級数とは（２）
• 和の定義 (4.1.6) の意味
– 収束しない（発散する）場合には無限和は存在
しない！
コーシー以前の大問題：1  1  1  1    ?
（これは (4.1.6) に基づけば発散する。）
– （一般には）和をとる順序は変えられない！
（有限和の場合には自由に変えられた）
• 順序を変えると和が変わってしまう場合がある。
• それどころか、順序を変えて任意の値に収束させる
こともできる！（参考： p.148 コメント）
– 順序を自由に変えられる場合もある。(4.1.23)
11
級数とは（３）：（4§2 以降の内容）
• 級数の項 an が変数 x を含むとき、形式的
には x を変数とする関数と見なせる。
（関数（項）級数）
– 例：整級数、三角級数（フーリエ級数）
– 一般に関数級数は、変数の値に応じて収束・
発散が分かれる。
• 関数級数は、多様な関数を統一的に表し、
分析したり、関数値の具体的な計算など、
多様で重要な用途を持つ。
12
数学として扱うには
•
•
•
•
数列・級数はちゃんと収束するか？
どういう場合に収束するか？
どれぐらい速く収束するか？
収束する値は何か？
などについての厳密な考察（定義・証明）が
必要になる。
13
なぜ級数か
• 様々な数値、関数の値を計算する最も基
本的な手段。
– 計算機における関数ライブラリ等
• 関数を表すもっとも基本的な、また多くの
場合唯一の手段。
– 超幾何級数等
• 特定の関数の性質を調べる、一群の関数
の性質を一般的に調べる手段。
⇒ （複素）関数論
14
級数の収束
• 数列の場合もそうだが、特に級数の場合、
– 収束するかどうかの判定と、
– 実際の極限値（級数の和）を求めること
とは別問題。
• 収束自体は比較的簡単に示せても、実際の
極限値を求めるのが難しい場合が多い。
（場合によっては未解決問題）
1
2
 (s)  s  (2)  6
n 1 n

例：　ゼータ関数：
• したがって収束判定の方法が重要となる。
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級数の収束（２）
• 基本は部分和数列 {Sn} が収束すること。
⇒Sn に数列の収束の判定方法を用いればよい。
しかし！（次スライド参照）
• 特殊な場合については個別に判定条件が考えられる。
– 正項級数
– 交項級数（交代級数）
– 絶対（値）収束級数
⇔ 条件収束級数
• 級数の和（収束値）を具体的に求めるのは困難。
実際に解けるのは、いくつかの既知な場合に帰される
場合のみ（等比級数など）。
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級数の収束：一般の場合
• 部分和数列 {Sn} の収束を調べればよい。
– しかしそれができるのは、 Sn が簡単な式で表
される（つまり一般項がわかる）ような場合に
限られる。
n
n
1
1 
1
1
例： Sn  
  

1


k 1
k (k  1)
k 1
k
k  1
n 1
• 収束の必要条件：数列の項が０に収束
(4.1.7)
（十分条件ではない。）
• コーシー列であることの言い換え (4.1.9)
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正項級数（１）
• 正項級数の部分和は単調増加
• したがって上に有界なら収束 (2.2.4)
n
– どのような n でも Sn   ak  A が成り立つA を
k 1
見つければよい
– (4.1.12) ：上から収束数列（優級数）で押さえる
• また収束するなら絶対値収束 (4.1.21~3)
– 収束判定や極限値の計算で、項の順番を自由
に入れ替えてよい。
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正項級数（２）
• 項別情報による収束判定 (4.1.13)
（ダランベール、コーシー）
– 「急速に」収束する級数には有効：
必ずしも使い道が広くはない
• 積分近似による収束判定 (4.1.15)
– うまく積分式で近似でき、その積分計算が簡単
にできれば有効な方法
– 多くの場面で使われる（n! の漸近展開等）
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正項級数（３）：極限値の評価
• 単調増加なので、部分和 Sn は極限値の下
からの評価（過小評価）を与える
• 上からの評価は直接には得られない
（個別に工夫する必要がある）
– したがって部分和による過小評価も、どれぐらい
真値に近いかは直接にはわからない
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交項級数（交代級数） (4.1.18)
• an （の絶対値）が単調減少して 0 に収束す
るなら、和が存在する (4.1.19)
a0≧0（したがって a1≦0, a2≧0, ...）なら、
S1  S3  S5    S2n 1    S2n    S4  S2  S0
のように奇数項は単調増加、偶数項は単調減
少して共通極限に収束する。
– したがって、収束判定だけでなく、極限値の評
価も上下から評価できる
21
参考：ゼータ関数 (4.1.16)
1 1 1 1
 ( s)      
• ゼータ関数：
n 1 2 3

n 1
s
s
s
s
• s が実数のとき、s>1 なら収束、s≤1 なら発散
• s が偶数の場合には具体的な表現式は知られ
ているが、奇数の場合はほとんどわかっていな
い。ζ(3) は無理数であることは知られているが、
具体的な表現式は未解決問題。
• s を複素数に拡張した複素ゼータ関数は、数学
最大の未解決問題である「リーマン予想」と
直接関係している。
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収束の速さ（半分復習）
• （教科書 2.3.5 (p.60), 2.5.5 (p.79), 「無限大・
無限小の比較」 2.5.11 (p.83)）
– 以下の話は関数の場合だけでなく、数列・級数に
対しても当てはまる。
• 一般に
lim f ( x)  lim g ( x)  c　や lim f ( x)  lim g ( x)  d
xa
xa
x 
x 
であっても、両関数が同じように収束していく
とは限らない。
• 収束の「速さ」の違いをどう表すか。
23
収束の速さ（２）
• 一般に lim f (x), lim g(x) が存在するとき
（±∞ も含む：極限値は必ずしも同じでなく
てよい）：
 　 (1)
f ( x) 
lim
  A　 (2) ( Aは定数）
g ( x) 
 0  (3)
– (1)： f (x) は g(x) より収束が遅い： f (x)≫g(x)
– (3)： f (x) は g(x) より収束が速い： f (x)≪g(x)
– (2)： f (x) と g(x) は同程度の速さ： f (x)～g(x)
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収束の速さ（３）
• f (x)～g(x) のとき、
f (x)=o(g(x)), g(x)=o(f (x))
などとも書く。（記法は本により異なる）
• o(...) の中は、よく知られた関数を書くのが
普通。これにより収束速度が比較できる
例： x→0 のとき、
1
 1  x  x 2  x 3    1  x  o( x 2 )
1 x
これは x が十分小さいとき、左辺が右辺で
近似できることも表す。
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整級数（pp.150~163）
• 変数 x の多項式の無限級数版。

a0  a1 x  a2 x 2     an x n
n 0
• ベキ（冪・巾）級数とも言う。
• テイラー展開は典型的な整級数の例。
• 整級数の真価は、x を複素変数として扱った複
素関数の世界に行かないとわからない。
– 整級数で表せる複素関数を「正則関数」という。
正則関数は複素解析の中心的存在。
26
整級数（２）
• 整級数のもっとも基本的な性質：
収束域・収束半径の存在。(4.2.3)～(4.2.7)

n
a
x
• 整級数  n に対し、ある r (0  r  )
n 0
が存在して、 |x|<r なら収束、|x|>r なら発散
（r=∞ の場合はすべての x で収束）
|x|=r のときは場合による。(4.2.21)
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収束半径の求め方
• 一般には (4.2.7) による。
– これらは級数の収束についてのダランベール、コ
ーシーの判定法 (4.1.13) の応用
– ダランベールの判定法の場合、an=0 となる場合が
無数にあるとそのままでは使えない。
– しかし例えば n が偶数のとき an=0 なら、奇数項に
ついてだけ考えればよい。
– コーシーの判定法にはそういう問題はないが、計
算はこちらの方が面倒。
• テイラー級数などで、あらかじめ収束半径がわ
かっている関数から導くほうが実用的。
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参考：収束半径について
• 整級数は、複素数の範囲で考えないと真
価がわからない。複素整級数は、複素関
数論の中核を占める極めて重要な存在
• 複素数の世界で考えると、次の定理が成
り立つ。  n
a z
– 整級数 n 0 n の収束半径が r なら、
|z|=r の円上で、級数が発散する点（特異点）
が必ず存在する。
29
テイラー展開
• 与えられた関数 f (x) に対し、整級数：

f ( n ) (0) n
x が収束するなら、これをf (x) の

n!
n 0
（x=0 での）テイラー展開という。
( n)

f
• 一般に x=a でのテイラー展開は： (a) ( x  a)n
n 0
n!
• x=0 でのテイラー展開を「マクローリン展開」
と呼ぶこともある。
• 基本関数のテイラー展開 (4.2.14) は覚えて
おくとよい
30
テイラー展開（２）
• テイラー展開は関数を整級数として表す。
したがって有限項の部分和は多項式で
表され、関数の近似値を与える
• 多項式なので、加減乗除だけで計算できる
• したがって関数値を具体的に計算する方法とし
て、実用的にも理論的にも極めて重要！
• ただし、収束速度については関数によりかなり
の違いがある。
– 遅い場合には加速法などの工夫が必要
– 実際のインプリメントでは、あらかじめ計算した表を
用意するなど、様々な工夫がなされる。
31
例
• sin 1 (=0.8414...) を求める。
x3 x5 x7
sin x  x     
3! 5! 7!
第３項、４項までを求めることで：
1
1 1 1
1 1
   0.8414...  sin 1  0.8416...  1  
3! 5! 7!
3! 5!
• e (=2.71828...) を求める。
x 2 x3 x 4 x5
e 1 x 




2! 3! 4! 5!
x  1として、 n  5から順に
x
2.71666..., 2.71805..., 2.71825...,  e　（下からの評価）
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テイラー展開（３）
• 関数の和・差のテイラー展開は、
テイラー展開の和・差

f ( x)  
n 0

f ( n ) (0) n
g ( n ) (0) n
x , g ( x)  
x のとき
n!
n!
n 0

f ( x)  g ( x)  
n 0
f ( n ) (0)  g ( n ) (0) n
x
n!
– 収束半径は、２つの収束半径の小さい方
• 積についても同様だが、整級数の形に整
理するのは面倒
33
テイラー展開（４）：関数の合成

• g(x) が x の整式なら f ( x)  

f ( g ( x))  
n 0
が成り立つ。
f
( n)
n 0
f ( n ) (0) n
x
n!
に対し
(0)
{g ( x)}n (☆)
n!

n
a
x
n
– ただし、整級数 n 0
の形に直すには、項を
適当に整理する必要がある。
– もとの級数の収束半径が r なら 0 | x | r で収束
するのだから、(☆) は 0 | g ( x) | r で収束する
34
前スライドの例
•
•
x
g ( x)  なら
2
(n)
 x   f (0) n
f  n
x , 収束半径 2r
 2  n  0 2 n!

1
2
  (1) n x n  1  x  x 2  x3  で x→x とすると
1  x n 0

1
n 2n
2
4
6

(

1
)
x

1

x

x

x


2
1 x
n 0
項別積分して：
(1)n 2n 1
x3 x5 x 7
arctanx  
x
 x    
3 5 7
n  0 2n  1

• これは円周率計算などで用いられる
– x=1 でも収束し、 
4
 arctan 1  1 
1 1 1
  
3 5 7
（ライプニッツ・グレゴリーの公式：収束は遅い）
35
テイラー展開（５）
• 一般のテイラー展開：
• 例： f ( x)  1   x  1  x  x

f ( x)  
n 0

n
1 x
f
(n)
2
f ( n ) (a)
( x  a) n
n!
 x 3   (| x | 1)
n 0
n!
( x) 
(1  x) n 1
だから
f ( n ) (1)
1
 n 1
n!
2
( x  1) n 1 ( x  1) ( x  1) 2 ( x  1)3
f ( x )   n 1  



2
2
4
8
16
n 0

したがって　• この収束半径は 2 (3  x  1)
• これにより、 f (x) がテイラー展開で表せる
範囲を広げていける（＝解析接続）
36
多項式（整式）、２項定理
• f (x) が多項式（整式）なら、展開式がその
ままテイラー展開
– ２項定理はその具体例（収束半径は∞）
n
f ( x)  ( x  a ) n  
k 0
n
f ( k ) (0) k
x   n Ck a n  k x k
k!
k 0
– f (x) で x=y+a と置いて y で整理すれば、
y=aでのテイラー展開になる
n
n
n
f ( x)   ak x   ak ( y  a)  
k
k 0
k
k 0
k 0
f ( k ) (a) k
y
k!
37
一般の２項定理 (4.2.19)
• ２項定理の n を自然数でなく、任意の実数
としたもの

f ( x)  (1  x)    Cn x n ,
k 0
 Cn 
 (  1)(  n  1)
n!
– αが自然数でなければ収束半径は 1
– これを用いて様々な関数が表せる
1  x (  1/ 2),
1
(  1),
1 x
1  x2 ,
1
1 x
2
等々
– ニュートンの微積分研究は、この一般の２項
定理が中心的役割を果たしている
38
項別微分・積分
• 収束半径内では（一定の条件のもとで）
項別に微分・積分できる。 (4.2.17)
– 普通の関数については可能
– 一般の関数列の項別積分については (4.3.9),
(4.3.10), (4.3.15) 参照
– 項別微分についてはもっと条件が面倒になる
• 収束円上での収束 (4.2.21): 省略
39
数列・級数の計算： Excel
• 図のように B列に n,
D列に部分和を計算
する式を入れる
• nは関数 row()を使って
作ると扱いやすい
• D 列では上のセルと左のセルの和をとる
• C 列に数列の項 an を計算する式を入れる
• あとは 5行の内容を必要なだけコピーする
40
数列・級数の計算： Matlab (1)
• 部分和を作る
• n の値のベクトル nvec を作る
– n = 10; nvec = (1:n)’;
% 縦ベクトル
• 数列 a(n) を作る。例： a(n) = 1/n^2
– an = 1./nvec.^2;
• 和を計算する
– sum(an)
41
数列・級数の計算： Matlab (2)
• 部分和列も作る（前スライドの続き）
– Sn = zeros(n, 1); Sn(1) = an(1);
– for k=2:n; Sn(k) = Sn(k-1) + an(k); end;
– [nvec Sn]
• symbolic モードで記号計算
– syms n;
– symsum(1/n^2, n, 1, inf); % inf は ∞ の意味
42

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