（変形）３囚人問題 • ３人の囚人Ａ，Ｂ，Ｃがいて，１人が釈放され，２人が処刑される． • それぞれの釈放確率は，1/4，1/4，1/2． • 誰が処刑されるか知っている看守に対し，囚人Ａが，「ＢとＣのうち，処刑される１人の名前を教えてくれないか」と頼む． • 看守は「Ｂは処刑される」と答えた． • Ａの釈放される確率はいくらか？３囚人問題の難しさ • 多くの先行研究で，正解者はほとんどいない． – さらに，正解をきいても納得できない． • ベイズの定理を学習し，「ベイズ型くじびき課題」への正答率が上がった後（54.4%）でも，３囚人問題での正答率は０％だった．（2009年の教育心理学会に報告した実験での，未発表データ）ベイズ型くじ引き課題くじびき遊びをします．くじ袋の中には，白箱と黒箱がひとつずつ入っています．白箱の中には赤いボール２個と青いボール１個，黒箱の中には赤いボール１個と青いボール１個が入っています．箱もボールもそれぞれ同形同大で，触っただけでは区別できません．袋の中の箱もその中のボールもよく混ぜてから，袋の中を見ないで手を入れ，まず箱をひとつ選び，さらに，選んだ箱の中から，箱の中を見ないで手を入れボール（くじ）をひとつ選びます．取り出したボールが赤なら当たりで，青ならはずれです．青赤赤青赤目的 • ３囚人問題の解決援助を行い，高い正答率を達成することで，３囚人問題の難しさがどこにあるのかを明らかにする． – 高い正答率を達成した先行研究なし． – ベイズの定理を授業で学習．先行研究での参加者のほとんどはベイズの定理を知らない． – 昨年度発表した実験で，解決を援助するために図を提示．図の説明を加えて追試．方法 • 参加者：青山学院大学社会情報学部での１年生必修科目「統計入門」の受講者52名. 方法 • 手続き：確率についての授業を２週にわたって実施．くじびき第１週第２週テスト学習（加法定理・乗法定理）学習（ベイズの定理）くじびきテストくじびきテスト３囚人（１）３囚人（２）方法 • ３囚人問題では，参加者は２群に分かれた． – 樹形図群25名 – ルーレット群27名 • 樹形図，ルーレット図ともに，２回の授業で学習した． • １回目のトライでは未完成の図，２回目のトライでは完全な図が提示された． – 昨年発表の実験との違い：図の説明を付加．方法 • 樹形図（未完成）Ａ釈放 1 4 1 4 1 2 Ｂ釈放Ｃ釈放方法 • 樹形図（完成） 1 2 1 2 Ａ釈放 1 4 1 4 1 2 「Ｂは処刑される」と言う１Ｂ釈放「Ｃは処刑される」と言う「Ｃは処刑される」と言う１Ｃ釈放「Ｂは処刑される」と言う 1 1  4 2 1 1  4 2 1 1 4 1 1 2 方法 • ルーレット図（未完成） 1 P{A釈放}= 4 1 P{C釈放}= 2 1 P{B釈放}= 4 方法 • ルーレット図（完成） P{C釈放 and 「Bは処刑される」と言う} 1 1 = 2 1 P{C釈放}= 2 P{A釈放 and 「Bは処刑される」と言う} 1 1  = 4 2 1 P{A釈放}= 4 1 P{B釈放}= 4 表１２つの課題での成績３囚人＋完全な図くじびき正答樹形図誤答ルーレッ正答ト図誤答合計正答 3 3 9 誤答 4 15 5 1 16 12 36 合計 7 18 14 13 52 ３囚人問題でのパフォーマンス • １回目のチャレンジ（不完全な図提示）では，樹形図群の１名のみが正解． • ２回目のチャレンジ（完全な図提示）での正答率は３１％． – くじびき課題正答者では５７％． – 不正解者では１３％ – １６名の正解者のうち，１２名（７５％）はくじびき課題での正解者．結論 • ベイズの定理を使って基本的な課題に正解するスキルを獲得し，完成された図が提示されれば，３囚人問題に正解することができる． – 正答率は６０％に近い．先行研究および出発点データでの（ほぼ）０％の正答率に比べれば，非常に高い． • ベイズの定理を使用するスキルがあっても，完全な図なしでは３囚人問題に正解できない．これは問題表象構成の困難を示す． – 未完成の図にはない，尤度の表象が困難（市川，1988；井原；1988）