発表ポスター jaep13 - 青山学院大学附置情報科学研究センター

３囚人問題は
図による問題表象
寺尾敦（青山学院大学）
伊藤朋子
なぜ難しいのか
構築支援の効果
（日本学術振興会・早稲田大学）
目的
• ３囚人問題の解決援助を行い，高い正答率を
達成することで，３囚人問題の難しさがどこに
あるのかを明らかにする．
– 支援の効果あり＝解決の難所
– 高い正答率を達成した先行研究なし．
– ベイズの定理を学習後に３囚人問題に取り組む．
先行研究での参加者のほとんどはベイズの定理
を知らない．
（変形）３囚人問題
• ３人の囚人Ａ，Ｂ，Ｃがいて，１人が釈放され，
２人が処刑される．
• それぞれの釈放確率は，1/4，1/4，1/2．
• 誰が処刑されるか知っている看守に対し，囚
人Ａが，「ＢとＣのうち，処刑される１人の名前
を教えてくれないか」と頼む．
• 看守は「Ｂは処刑される」と答えた．
• Ａの釈放される確率はいくらか？
３囚人問題の難しさ
• 多くの先行研究で，正解者はほとんどいない．
– さらに，正解をきいても納得できない．
• ベイズの定理を学習し，「ベイズ型くじびき課
題」への正答率が上がった後（54.4%）でも，３
囚人問題での正答率は０％だった．（2009年の
教育心理学会に報告した実験での，未発表データ）
ベイズ型くじ引き課題
くじびき遊びをします．くじ袋の中には，白箱と黒
箱がひとつずつ入っています．白箱の中には赤
いボール２個と青いボール１個，黒箱の中には
赤いボール１個と青いボール１個が入っていま
す．箱もボールもそれぞれ同形同大で，触った
だけでは区別できません．袋の中の箱もその中
のボールもよく混ぜてから，袋の中を見ないで手
を入れ，まず箱をひとつ選び，さらに，選んだ箱
の中から，箱の中を見ないで手を入れボール（く
じ）をひとつ選びます．取り出したボールが赤な
ら当たりで，青ならはずれです．
青
赤
赤
青
赤
方法
• 参加者：青山学院大学社会情報学部での１
年生必修科目「統計入門」の受講者57名.
方法
• 手続き：確率についての授業を２週にわたっ
て実施．
第１週
第２週
学習
問題演習
（加法定理・乗法定理）
学習
（ベイズの定理）
くじびき
テスト
くじびき
問題演習
テスト
３囚人（１）
３囚人（２）
方法
• 授業で学習した樹形図あるいはルーレット図
を描いて，課題解決を試みた．
– くじびき：樹形図50名，ルーレット図7名
– ３囚人：樹形図54名，ルーレット図3名
• ３囚人問題への１回目のトライでは未完成の
図，２回目は完全な図（＋説明）が提示された．
• 授業資料参照可．３囚人問題ではくじびき課
題の正解を参照することが許された．
方法
• 樹形図（未完成）
Ａ釈放
1
4
1
4
1
2
Ｂ釈放
Ｃ釈放
方法
• 樹形図（完成）
1
2
1
2
Ａ釈放
1
4
1
4
1
2
「Ｂは処刑される」と言う
１
Ｂ釈放
「Ｃは処刑される」と言う
「Ｃは処刑される」と言う
１
Ｃ釈放
「Ｂは処刑される」と言う
1 1

4 2
1 1

4 2
1
1
4
1
1
2
方法
• ルーレット図（未完成）
1
P{A釈放}=
4
1
P{C釈放}=
2
1
P{B釈放}=
4
方法
• ルーレット図（完成）
P{C釈放 and 「Bは処
刑される」と言う}
1
1
=
2
1
P{C釈放}=
2
P{A釈放 and 「Bは処
刑される」と言う}
1 1

=
4 2
1
P{A釈放}=
4
1
P{B釈放}=
4
２つの課題での成績
くじ引き
正答
誤答
合計
３囚人＋完全な図
正答
誤答
24
18
9
33
6
24
合計
42
15
57
３囚人問題でのパフォーマンス
• １回目のチャレンジ（不完全な図提示）
– ３名が正しい樹形図を作成
– ３囚人問題への正解者なし．
• ２回目のチャレンジ（完全な図提示）
– 33名（58%）が正解．
– くじ引き課題に失敗しても，３囚人問題を解決で
きているのは，（くじ引き課題への解答後に）くじ
引き課題の正解が提示されたため？
結論
• ベイズの定理を学習し，正しい表象形成の支
援を受ければ，高い確率で３囚人問題に正解
することができる．
– 正答率は58％．先行研究および出発点データで
の（ほぼ）０％の正答率に比べれば，非常に高い．
• 尤度の表象を形成することが難しい．
– ベイズの定理を使用するスキルがあっても（くじ
引き課題に正答できても），完全な図なしでは３
囚人問題は困難．

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