３囚人問題はなぜ難しいのか図による問題表象構築支援の効果寺尾敦（青山学院大学）伊藤朋子（日本学術振興会・早稲田大学）目的 • ３囚人問題の解決援助を行い，高い正答率を達成することで，３囚人問題の難しさがどこにあるのかを明らかにする． – 支援の効果あり＝解決の難所 – 高い正答率を達成した先行研究なし． – ベイズの定理を学習後に３囚人問題に取り組む．先行研究での参加者のほとんどはベイズの定理を知らない．（変形）３囚人問題 • ３人の囚人Ａ，Ｂ，Ｃがいて，１人が釈放され，２人が処刑される． • それぞれの釈放確率は，1/4，1/4，1/2． • 誰が処刑されるか知っている看守に対し，囚人Ａが，「ＢとＣのうち，処刑される１人の名前を教えてくれないか」と頼む． • 看守は「Ｂは処刑される」と答えた． • Ａの釈放される確率はいくらか？３囚人問題の難しさ • 多くの先行研究で，正解者はほとんどいない． – さらに，正解をきいても納得できない． • ベイズの定理を学習し，「ベイズ型くじびき課題」への正答率が上がった後（54.4%）でも，３囚人問題での正答率は０％だった．（2009年の教育心理学会に報告した実験での，未発表データ）ベイズ型くじ引き課題くじびき遊びをします．くじ袋の中には，白箱と黒箱がひとつずつ入っています．白箱の中には赤いボール２個と青いボール１個，黒箱の中には赤いボール１個と青いボール１個が入っています．箱もボールもそれぞれ同形同大で，触っただけでは区別できません．袋の中の箱もその中のボールもよく混ぜてから，袋の中を見ないで手を入れ，まず箱をひとつ選び，さらに，選んだ箱の中から，箱の中を見ないで手を入れボール（くじ）をひとつ選びます．取り出したボールが赤なら当たりで，青ならはずれです．青赤赤青赤方法 • 参加者：青山学院大学社会情報学部での１年生必修科目「統計入門」の受講者36名. 方法 • 手続き：確率についての授業を２週にわたって実施．第１週第２週学習（加法定理・乗法定理）学習（ベイズの定理）くじびきテストくじびきテスト３囚人（１）３囚人（２）方法 • 授業で学習した樹形図あるいはルーレット図を描いて，課題解決を試みた． – くじびき：樹形図31名，ルーレット図５名 – ３囚人：樹形図32名，ルーレット図４名 • ３囚人問題への１回目のトライでは未完成の図，２回目は完全な図（＋説明）が提示された． • 授業資料参照可．３囚人問題ではくじびき課題の正解を参照することが許された．方法 • 樹形図（未完成）Ａ釈放 1 4 1 4 1 2 Ｂ釈放Ｃ釈放方法 • 樹形図（完成） 1 2 1 2 Ａ釈放 1 4 1 4 1 2 「Ｂは処刑される」と言う１Ｂ釈放「Ｃは処刑される」と言う「Ｃは処刑される」と言う１Ｃ釈放「Ｂは処刑される」と言う 1 1  4 2 1 1  4 2 1 1 4 1 1 2 方法 • ルーレット図（未完成） 1 P{A釈放}= 4 1 P{C釈放}= 2 1 P{B釈放}= 4 方法 • ルーレット図（完成） P{C釈放 and 「Bは処刑される」と言う} 1 1 = 2 1 P{C釈放}= 2 P{A釈放 and 「Bは処刑される」と言う} 1 1  = 4 2 1 P{A釈放}= 4 1 P{B釈放}= 4 表１２つの課題での成績くじびき正答誤答合計３囚人＋完全な図正答誤答 14 5 8 22 9 14 合計 19 17 36 分割表の独立性の検定は，有意ではない．３囚人問題の解決において，くじびき課題の正解を参照することが許されたため，くじびき課題に失敗しても，３囚人問題を解決できている．３囚人問題でのパフォーマンス • １回目のチャレンジ（不完全な図提示） – ７名が正しい図を作成（樹形図６名，ルーレット図１名） – ４名が正解．うち３名は正しい図． • ２回目のチャレンジ（完全な図提示） – ２２名（61%）が正解．樹形図19名（59%），ルーレット図３名（75%）． – くじびき課題に正答した１９名のうち，１４名（73.7%）が３囚人問題に正解．結論 • ベイズの定理を学習し，正しい表象形成の支援を受ければ，高い確率で３囚人問題に正解することができる． – 正答率は６０％．先行研究および出発点データでの（ほぼ）０％の正答率に比べれば，非常に高い． • 尤度の表象を形成することが難しい． – ベイズの定理を使用するスキルがあっても，完全な図なしでは３囚人問題は困難．