３囚人問題はなぜ難しいのか：ベイズの定理学習後の解答分析寺尾敦（青山学院大学）伊藤朋子（日本学術振興会・早稲田大学）（変形）３囚人問題 • ３人の囚人Ａ，Ｂ，Ｃがいて，１人が釈放され，２人が処刑される． • それぞれの釈放確率は，1/4，1/4，1/2． • 誰が処刑されるか知っている看守に対し，囚人Ａが，「ＢとＣのうち，処刑される１人の名前を教えてくれないか」と頼む． • 看守は「Ｂは処刑される」と答えた． • Ａの釈放される確率はいくらか？（変形）３囚人問題の問題 • とても難しい．→ なぜ？ – 「主観的定理」（市川・竹市，1987；井原，1987） cf. Tversky, Kahneman – 頻度解釈の困難（伊東，1988，守，1989） cf. Gigerenzer – 視点の変動（佐伯，1987） – 適切な表象構成とその操作の困難（井原，1989；守， 1989；高橋，1989；竹市，1988） cf. メンタルモデル，フレーム問題 • 正解（1/5）を納得しがたい．→ なぜ？ – 「主観的定理」（市川・竹市，1987） – 直観改造のための「同型的図式表現」（市川，1988）難しさ解明へのアプローチ • 課題分析＋実験 – 問題変形アプローチ • 頻度の導入（伊東，1988） • 視点の調整（佐伯，1987） – 同型問題アプローチ（橋田，1987） • 抽象記述（市川，1989） • 数理モデル（井原，1989）先行研究の問題点（１） • ベイズ型確率推定問題そのものの難しさと，３囚人問題特有の難しさが分離されていない． – 実験参加者のほとんどは，そもそもベイズの定理をうまく使えない．同型問題に正解するのは，ベイズの定理を「自然に」使えるよう誘導されているから．cf. pragmatic reasoning schema – ベイズの定理を使えないから「主観的定理」に頼るのか？ • 確率推定問題はそれ自体が難しく，「３囚人問題」はその難しさが特に顕著（守，1988） • 確率を詳しく知っているわけではない人間は，どのようにしてこの種の問題を解くのか（高橋，1989） • ベイズの定理を選択・生成できない人は，・・・受動的に抽出した部分的情報，事後確率を求めるという目標，および，その人の持つ確率計算図式からなる問題解決の三組が統合されている場合に問題を処理することができ・・・（井原，1989）選考研究の問題点（２） • 課題分析や理論的分析による主張の，実験的支持が不十分 – ３囚人問題で高い正答率を達成することに成功していない． – 「同型」問題は課題構造が異なる（市川，1989）．課題構造を変えることなく，ヒントなどによって困難を除去できないか．本研究 • 問題：３囚人問題はなぜ難しいのか • アプローチ： – ベイズの定理を学習した参加者 – ３囚人問題での高い正答率を目指す出発点となるデータ • ベイズの定理を学習し，「ベイズ型くじびき課題」への正答率が上がった後（54.4%）でも，３囚人問題での正答率は０％だった．（教育心理学会で昨年度に報告した実験での，未発表データ）ベイズ型くじ引き課題くじびき遊びをします．くじ袋の中には，白箱と黒箱がひとつずつ入っています．白箱の中には赤いボール２個と青いボール１個，黒箱の中には赤いボール１個と青いボール１個が入っています．箱もボールもそれぞれ同形同大で，触っただけでは区別できません．袋の中の箱もその中のボールもよく混ぜてから，袋の中を見ないで手を入れ，まず箱をひとつ選び，さらに，選んだ箱の中から，箱の中を見ないで手を入れボール（くじ）をひとつ選びます．取り出したボールが赤なら当たりで，青ならはずれです．青赤赤青赤方法 • 参加者：青山学院大学社会情報学部での１年生必修科目「統計入門」受講者６２名方法 • 手続き：確率についての授業を２週にわたって実施．くじびき第１週第２週テスト学習（加法定理・乗法定理）学習（ベイズの定理）くじびきテストくじびきテスト３囚人（１）３囚人（２）方法 • ３囚人問題では，参加者は２群に分かれた． – 樹形図群３０名 – ルーレット群３２名 • 樹形図，ルーレット図ともに，２回の授業で学習した． • １回目のトライでは未完成の図，２回目のトライでは完全な図が提示された．方法 • 樹形図（未完成）Ａ釈放 1 4 1 4 1 2 Ｂ釈放Ｃ釈放方法 • 樹形図（完成） 1 2 1 2 Ａ釈放 1 4 1 4 1 2 「Ｂは処刑される」と言う１Ｂ釈放「Ｃは処刑される」と言う「Ｃは処刑される」と言う１Ｃ釈放「Ｂは処刑される」と言う 1 1  4 2 1 1  4 2 1 1 4 1 1 2 方法 • ルーレット図（未完成） 1 P{A釈放}= 4 1 P{C釈放}= 2 1 P{B釈放}= 4 方法 • ルーレット図（完成） P{C釈放 and 「Bは処刑される」と言う} 1 1 = 2 1 P{C釈放}= 2 P{A釈放 and 「Bは処刑される」と言う} 1 1  = 4 2 1 P{A釈放}= 4 1 P{B釈放}= 4 結果（くじ引き課題） • ２回目の授業後では，樹形図群で１１名（36.7%），ルーレット群で８名（25.0%）が正答． • 最も多くみられた誤答は，「白箱かつあたり」（1/3）である，「連言確率解」．樹形図群で７名，ルーレット群で８名．結果（３囚人問題１回目） • １回目のチャレンジ（未完成の図）では，どちらの群でも正答者なし． • 代表的な誤答は， – 樹形図群では，「等比率解（1/3）」６名，「連言確率解（1/8）」５名． – ルーレット群では，「等比率解（1/3）」７名，「連言確率解（1/8）」２名．「不変解（1/4）」６名．結果（３囚人問題２回目） • 完全な図があるとき，樹形図群で７名（23.3%），ルーレット群で３名（9.4%）が正解． • 正解者１０名のうち，ルーレット群での１名を除く９名は，くじ引き課題での正答者． • くじ引き課題での正答者（樹形図群１１名，ルーレット群８名）の，３囚人問題での成績 – 樹形図群：７名が正答 – ルーレット群：２名が正答考察 • ベイズの定理を使って基本的な課題に正解するスキルを獲得し，完成された図が提示されれば，３囚人問題に正解することができる． – 正答率は低いが，先行研究および出発点データでの（ほぼ）０％の正答率に比べれば高い． • ベイズの定理を使用するスキルがあっても，完全な図なしでは３囚人問題に正解できない．これは問題表象構成の困難を示す． – 未完成の図にはない，尤度の表象が困難（市川，1988；井原；1988）結論 • ベイズの定理を使って基本的な課題に正解するスキルを獲得し，完成された図が提示されれば，３囚人問題に正解することができる． • ３囚人問題の難しさは適切な表象構成が難しいことによる．