大学院理工学研究科 2004年度物性物理学特論第3回－光と磁気の現象論(2)：Faraday効果－非常勤講師：佐藤勝昭（東京農工大学工学系大学院教授）復習コーナー第2回に学んだこと  光と磁気の現象論（１）  円偏光と磁気光学効果  光と物質の結びつき  誘電率テンソル質問コーナー  電子分極の周波数領域では比透磁率は１とできるとのことでしたが、ワニエ励起子生成の場合はどの領域ですか  A: 非磁性半導体の励起子を考えている限り、比透磁率は１として扱うことができます。磁性半導体でも、バンドギャップ領域では、強磁性共鳴の周波数（GHz領域）より十分周波数が高いので比透磁率は１です。第3回に学ぶこと  光の伝搬とマクスウェルの方程式   ファラデー配置の場合の固有値と固有状態   ２つの固有値と対応する固有状態（円偏光）フォークト配置の場合の固有値と固有状態   固有解：波動解、固有値：複素屈折率磁気誘起の複屈折ファラデー効果の現象論  ファラデー効果と誘電率テンソルマクスウェルの方程式  光の電界ベクトルをE 、電束密度ベクトルをD 、磁界ベクトルをH、磁束密度ベクトルをB、電流をJとすると、次の関係が成立する。 B rot E   t D rot H  J t (3.17) （SI単位系）マクスウェル方程式をEとHで表す簡単のため， J=0と置く。[伝導電流を分極電流（変位電流）の中に繰り込む]  BとH、DとEの関係式  B  μ0 H D~ εε E 0 を代入して、式(3.17)は次のように書き変えられる。 H rot E    0 t E ~ rot H  ε  0 t (3.18) 誘電率テンソルマクスウェル方程式を解く [1] 磁界Hを消去 H   E ~ rot rot E    0 rot    0 rotH    0 ε  0 2 t t t 2  E ~ rot rot E  grad   E    E    0 ε  0 2 t 2 2 E  E 0 exp(it )  exp(iK  r ) 2 2~ を代入 ( E  K ) K  K E  ( / c)  E  0 マクスウェル方程式を解く [2] 波数ベクトルKとして E  E 0 exp(it )  exp(iK  r )  H  H 0 exp(it )  exp(iK  r )     (3.19) ここにＥ0，Ｈ0は時間や距離に依存しない定数ベクトルである。この式を式(3.18)に代入すると、 K  E  ωμ0 H K  H  ω~ ε ε0 E となる。固有方程式  両式からHを消去し、 KH  K  1 0 (K  E)  1 0 K  K  E  ~ 0 E 固有方程式として(3.20) 2 2~ (E  K )K  K E  ( / c)  E  0 が得られる。問題3.1参照問題３．１式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導け。ただし、ベクトル積の公式を利用せ A  ( B  C )  (C  A) B  ( B  A)C よ。 K  E  ωμ0 H  からHを消去することにより ~ K  H   ωε ε 0 E   KH  K 1 0 (K  E)  1 0 K  K  E  ~ 0 E を得るここで上の公式を利用して K  K  E  (E  K )E  (K  K )E ( E  K ) K  K E  ( / c) 2 ~ εE  0 2 が導かれたが導かれるので ( E  K)K  K E  ( / c) 2 ~ εE  0 2  を解くこの式を解いてKの固有値と対応する電界ベクトルEの固有関数を求めよう。ここで複素屈折率N、すなわち、N=n+iを導入する。ここにnは屈折率、は消光係数である。媒質中において波数Kは K  N / c  n / c  i / c  で表される[1]。 [1]波数Kは2π/λ’となる。ここに’は媒質中での波長で、媒質中での光速をc’とすると/c’と表される。媒質中での光速c’は屈折率をnとするとc/nで与えられるから、K=n/cである。ここで屈折率を拡張して複素屈折率N、すなわちn+iを導入すると、 K  N / c  n / c  i / c となる。固有方程式を解く（つづき）波数ベクトルの向きに平行で長さがNであるような屈折率ベクトルNを用いると、(3.19)の第１式は E  E 0 exp{i (t  N  r / c)} （３．２１）  となり、固有方程式(3.20)は（３．２２） N 2 E  ( E  N )N  ~E  0  によって記述できる。以下では、2.3に述べた２つの配置(ファラデー配置とフォークト配置)について固有値を求める。  ファラデー配置の場合(=0)  磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z) に対して式(3.21)は E  E0 exp{i (t  Nz / c)}  と表される。固有方程式(3.22)は  N 2   xx    xy  0     xy N 2   xx 0 0  E x    0  E y   0    zz  E z  と書ける。この方程式がE0の解をもつためには、上式においてEの係数の行列式が0でなければならない。こうして次の永年方程式を得る。(問題3.2参照) 永年方程式   N 2   xx   xy 0  xy N 2   xx 0 0 0   zz 0 （３．２５）これより、N2の固有値として２個の値 N 2    i （３．２６）  xx xy を得る。これらの固有値に対応する固有関数は、 E0 N E  (i  ij ) exp{i(t  z) 2 c （３．２７）  E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。  固有関数は円偏光フォークト配置の場合 N2の固有値として 2  2 および N 2    xy 2 zz N1   xx    xx  という２つの解を得る。 N1およびN2に対応する固有関数は   N  E1  A exp  i  t  1 x   xy i   xx j c         N  E 2  B exp  i  t  2 x k c     (3.33) となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果) 3.3のまとめ光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述する N 2   xx  i xy と，磁化された等方性物質の屈折率Nは  で与えられる２つの固有値をとり，それぞれが右円偏光および左円偏光に対応する．（ここに，εxxは誘電テンソルの対角成分，εxyは非対角成分である．）もし，εxyが０であれば，円偏光は固有関数ではなく，磁気光学効果は生じない．  左右円偏光に対する光学定数の差と誘電率テンソルの成分の関係    磁化と平行に進む光の複素屈折率の固有値は式(3.26) N 2   xx  i xy N   n  i  , N   n  i  n  n   置き換え n  n  n ;        ; n  2 ;  2 N  n    n   1 1   i    ( n  i  )  (  n  i   )  N  N  2 2  2 2  ここに N  N  N  n  i 2 2    n   ;  xx  2n その結果 xx  xy  n  n  xy    nn を得る複素ファラデー回転角  ΔnとΔκをεxyを使って表す。 n    xy  n xy n  2 2  n2   2 ΔNに書き直すと N  n  i   ;   n xy   xy i(n  i )( xy  i xy ) n  2 2  i xy  xx 複素ファラデー回転角 F    2c n  i   N 2c  → F    2c  i xy  xx  磁気光学の式(続き) Nˆ  Nˆ   Nˆ    x x  i x y   x x  i x y  i xy  xx Nˆ  i  x y F        xx  (xy1) M i     (xx0)  12  (xx2) M 2 磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与