大学院物理システム工学専攻2004年度固体材料物性第6回

大学院理工学研究科 2004年度
物性物理学特論第2回
光と磁気の現象論(1): 誘電率テンソル
非常勤講師：佐藤勝昭
（東京農工大学工学系大学院教授）
復習コーナー
第１回に学んだこと：

磁気光学効果とはなにか
光の偏り
 旋光性と円二色性
 ガラスのファラデー効果
 強磁性体のファラデー効果
 磁気カー効果
 磁気光学スペクトル


光磁気効果
第１回受講者からのコメント(1)


自分にとって磁気光学効果に関する話題は触れたことがなく、こんなことも
あるのかと聴講していたが、旋光性に関する説明を聞いて身近に感じること
ができた。旋光性物質のL型、D型の定義が今回の講義ではっきりした。(安
藤)
ファラデー効果という名は知っていたが、わかりやすい説明を受けてよくわ
かった。今知りたいのは光と磁性体の微視的な相互作用のメカニズムです。
面白かったのはMOの消去の際に光で熱して磁気秩序を壊しているというこ
とを知ったことです。(伊藤)
→微視的な説明は第５回（第４章）から始まります。興味があれば、光と磁気
の本を買うかpdfをダウンロードして先取りしてお読み下さい。
pdfはWebにupしてあります。
第１回受講者からのコメント(2)




大変わかりやすかった。(岩本)
円二色性が「直線偏光が楕円偏光になる性質」とどう結びついているのか知
りたい。(小渕)→今回説明します。
私は、理学を専攻しているので、工学的な見解は少し苦手なので、「理学と
工学の架け橋になる授業」を楽しみにしています。(神谷)→理学と工学の境
目はほとんどなくなっています。理学専攻学生の70%以上が企業における
研究開発に従事しています。これまでの理学教育は「学者になる」ことを目
的としていましたが、これでは、社会のニーズに応えられないでしょう。
酒石酸(と思われる物)が析出したことがありますが、舐めたら非常に甘かっ
た記憶があります。酒石酸は糖類ですか。(小島)→酒石酸は糖類ではあり
ません。苦みがあります。甘かったとしたら、本当に糖類が析出していたの
でしょう。
第１回受講者からのコメント(3)


ファラデーの学問に対する情熱に感動した。(齋藤)
アモルファスGdCo以外にもカーヒステリシスの符号が波長とともに変わる物
はありますか。(島津)→磁気光学スペクトルが０軸を横切っている場合では、
いつでもこの現象が見られます。例、磁性ガーネット
第１回受講者からのコメント(4)


偏光：数式で示されないとうまく飲み込めない。(杉森)→理学系の人は数式
だけでイメージがつかめるのですね。一般に初心者はいきなり数式が出てく
ると物理的描像が描けなくなりがちなので、あえて図解しています。これから
段々に数式が多くなります。
極カー効果と縦カー効果の違いがよくわかりません。(鈴木)→説明不足でし
たね。極カー効果は反射面に垂直に磁化がある場合で、縦カー効果は、反
射面内に平行かつ入射面に平行に磁化のある場合です。
第１回受講者からのコメント(5)







量子情報のゲートで、少しの角度しか光を回す物質がないので位相フリップ
のゲートができないと聞くが、CeSbを使えばできるのではないですか。(中
村)→CeSbについては、追試した人が90度も回らないと言っています。また、
この物質は極低温でしか使えません。
光磁気記録の原理が意外に簡単なのだと知って面白かった。もっと詳しい
数式や、応用についても知りたいです。(堀江)
ファラデー効果の非相反性がなぜ起こるか、自然活性との違いについてもう
少し詳しく知りたい。(山本)→磁化が量子化軸を決めているところが重要で
しょう。
光と磁気の最初の部分がとてもわかりやすかった。(渡邉)
各現象の発見に関する話が非常によかった。化学の分野での用語との対応
など、化学科の人間にはわかりやすかった。(田口)
磁気カー効果は所属研究室の輪講などでよく出てくるので興味深かった。
(河窪)
具体的な例をたくさん説明して頂きわかりやすかった。(西藤)
今回学ぶこと
 光と磁気の現象論（１）
 円偏光と磁気光学効果
 光と物質の結びつき
 誘電率テンソル
 Maxwellの方程式
光と磁気の現象論

この章では磁気光学効果が物質のどのような
性質に基づいて生じるかを述べる。この章では
物質のミクロな性質には目をつぶって、物質を
連続体のように扱い、偏光が伝わる様子を電
磁波の基本方程式であるマクスウェルの方程
式によって記述する。物質の応答は誘電率に
よって表す。この章ではこのようなマクロな立場
に立って磁気光学効果がどのように説明できる
かについて述べる。
円偏光と磁気光学効果
ここでは旋光性や円二色性が左右円偏光に対する物質
の応答の差に基づいて生じることを説明する
 直線偏光の電界ベクトルの軌跡は（ａ）のように、振幅と回
転速度が等しい右円偏光と左円偏光との合成で表される
 透過後の光の左円偏光が（ｂ）のように右円偏光よりも位
相が進んでいたとするとこれらを合成した電界ベクトルの
軌跡は、もとの直線偏光から傾いたものになる。


（ｃ）のように右円偏光と左円偏光のベクトルの振幅に差
が生じたとき，それらの合成ベクトルの軌跡は楕円になる。
円偏光と磁気光学効果
直線偏光は等振幅等速度の左右円
偏光に分解できる
媒質を通ることにより左円偏光の位相
と右円偏光の位相が異なると旋光する
媒質を通ることにより左円偏光の振幅
と右円偏光の振幅が異なると楕円になる
一般には、主軸の傾いた楕円になる
連続媒体での光の伝搬とMaxwell方程式

連続媒体中の光の伝わり方はマクスウェルの方程
式で記述される。マクスウェルの方程式については
後に詳述するが､ここでは電磁波の電界と磁界との
間の関係を与える2階の微分方程式であると理解
しておいて欲しい｡
2
~
  


rotrotE  2
E


0
2
c t
媒体の応答を与える物理量：誘電率
電磁波の伝搬において、媒体の応答を与えるのが､誘
電率εまたは伝導率σである｡
 磁性体中の伝搬であるから透磁率が効いてくるので
はないかと考える人があるかも知れない｡しかし､光の
振動数くらいの高周波になると巨視的な磁化はほとん
ど磁界に追従できなくなるため､透磁率をμ･μ0としたと
きの比透磁率μは1として扱ってよい｡μ0は真空の透磁
率でありSI単位系特有のものである｡ここに､μ0
=1.257×10-6 H/m)

誘電率とは
誘電率は電束密度Dと電界Eの関係を与える量
である｡
D=εε0 E
 SI単位系を用いているので誘電率はεε0(ε0は真
空の誘電率であり､ε0=8.854×10-12 F/m であ
る)で与えられる｡ここにεは比誘電率と呼ばれる
量でCGS系の誘電率に等しい｡以下では,この
比誘電率を用いて議論を進める｡

誘電率テンソル
~ E
D ε
0
Di  ij 0 E j
D もE もベクトルなのでベクトルとベクトルの関係を与
える量であるεは2階のテンソル量である｡
2階のテンソルというのは､2つの添字をつかって表さ
れる量で､3×3の行列と考えてさしつかえない｡
(テンソルを表すため記号～(チルダ)をつける)
光と物質のむすびつき-誘電率と伝導率
図をご覧いただきたい｡
これはビスマス添加
YIG(イットリウム鉄ガー
ネット)の磁気光学効果
に関する論文からとった
対角成分xx
ものであるが､測定され
た反射スペクトル、ファ
ラデー回転スペクトルな
どではなく誘電テンソル
の対角、非対角成分の
スペクトルが示されてい
るのに注意して欲しい｡
非対角成分xy
なぜ誘電テンソルを用いるのか
屈折率、反射率やカー回転は入射角や磁化の
向きに依存する量で､物質固有のレスポンスを
表す量ではないが､誘電テンソルは物質に固有
の量であるからである｡
 また、物質中の電子構造とか光学遷移のマト
リックスとかに直接結びつけることができるのが
誘電テンソルだからである

誘電率テンソル
  xx

~   
yx

  zx
 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz 

 zz 
 ij   ij  i ij
等方性の媒質；M//z軸
Z軸のまわりの90°
回転C4に対し不変
  yy


1
~   C ~ C    
4
4
xy

   zy
 xz
  yx
 xx
 zx
  yz 

 xz 

 zz 
 xx   yy
 yx   xy
  yz   zx   zy  0
  xx
~    
 xy
 0

 xy
 xx
0
0 

0 
 zz 
質問

誘電率テンソルの対角とは何ですか


A:添え字がxx, yy, zzのように対角線上に来るもの
を対角成分、xy, yz, zxのように対角線上にないも
のを非対角成分といいます。
異方性がある場合の誘電率テンソルはどのよう
に考えればよいのでしょう

A: １軸異方性があり、対称軸に平行な磁化がある
場合は、等方性の場合と同じですが、任意の方向
を向いているときは、全ての非対角成分が有限の
値をとります。
質問

誘電率テンソルの量をどのように測定するので
すか。
A: 対角成分は普通のオプティクスで、n、κを求め、
εxx’=n2-κ2, εxx”=2nκによって求めます。
 非対角成分については、回転角θ、楕円率ηと光学
定数n,κとを用いて計算で求めます。

磁化の関数としての誘電率

さて、磁気光学効果においての各成分はMの
関数であるから、は次式のように表せるはずで
ある
0 
  xx ( M )  xy ( M )


~
     xy ( M )  xx ( M )
0 


0
0

(
M
)
zz



εij(M)を次式のようにMでべき級数展開する。
 ij ( M )   ij
(n)
( 0)
1
  Mn
n n! ij
誘電率を磁化Mで展開
 ij (M )   を適用
ji ( M )

Onsagerの式

対角成分はMの偶数次のみ、非対角成分はMの奇数次のみで展
開できる
 xx ( M )   xx ( 0)    xx( 2 n ) M 2 n /(2n)!
n
 xy ( M )    xy( 2 n 1) M 2 n 1 /(2n  1)!
n
 zz ( M )   zz ( 0)    zz( 2 n ) M 2 n /(2n)!
n

xy (M)がファラデー効果やカー効果をもたらし、xx (M)とzz (M)
の差が磁気複屈折（コットン・ムートン効果）の原因となる。
磁気光学効果の式
2
~





マクスウェル方程式 rotrotE 
E 0
2
2
c t
固有方程式
固有値
 Nˆ 2   xx

  xy

0

  xy
Nˆ 2   xx
0
0  E x 
 
0  E y   0
 
  zz  E z 
Nˆ 2   xx  i xy
固有関数：左右円偏光
非対角成分がないとき：左右円偏光の応答に差がない
磁気光学効果は生じない
誘電率と伝導率

電流密度と電界の関係
J  ~E
Ji   ij E j

伝導率テンソルは
  xx

~
    yx

  zx
と表される。
 xy  xz 

 yy  yz 
 zy  zz 
誘電率と導電率の関係

誘電率と伝導率には次の関
係がある

成分で書くと
 ij
 ij   ij  i
0
 xx
 1 i
 0
 xy

対角成分は
 xx

非対角成分は
 xy  i
 0
誘電率と伝導率のどちらを使うか
比誘電率と伝導率のいずれを用いて記述して
もよいのであるが、一般には金属を扱うときは
の方を、絶縁体であればの方を用いるのが普
通である。
 金属の誘電率は、ω→0の極限すなわち直流に
おいては自由電子の遮蔽効果のために発散し
てしまうが、伝導率は有限の値に収束するので
都合がよいからである。

演習問題
一般に座標軸の回転をRという行列で表す｡εは電界
Eを基底として表されているが､この電界Eに回転Rを
施すとE’になるとする｡これをE’=REと書く｡εがRに対
して不変ということは､電束D=εEに回転Rを施したも
のR(εE)が新しい基底E’に対して同じεを使って表さ
れることを意味する｡すなわちR(εE)=εE’｡従っ
て,εE=R-1(εE’)=R-1εRE｡これより R-1εR=εとなる｡
 C4というのはz軸の回りの90ﾟの回転であるから､
Ex’=C4Ex=Ey, Ey’=C4Ey=-Ex
のように変換する｡C4を行列で表すと､
 であるから､C4-1は
 (3.10)式に代入して､

 0 1 0


C4   1 0 0
 0 0 1




  yy

1 ~
C 4  C 4     xy

   zy
  yz    xx  xy  xz 
 

 xx
 xz     yx  yy  yz   ~
 

 zx
 zz    zx  zy  zz 
両辺の各成分を比較することにより､(3.11)式が得ら
  yx
れることをたしかめよ。
C 41
0  1 0


 1 0 0
0 0 1



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