H25 年国公２次試験専門問題解説（水理） 【No.20】 (1) ア：非定常 イ：定常流（または定流） ウ：等流 エ：sin θ ，または tan θ ，または θ オ：マニング式は， より， 𝑣= 1 2/3 1/2 𝑅6/1 𝑅6/1 𝑅 𝑆0 = 1/2 �𝑔𝑔𝑆0 = 1/2 𝑢∗ 𝑛𝑔 𝑛𝑔 𝑛 𝑆𝑓 = ∴ 𝜏0 𝑢∗2 𝑛2 𝑣 2 = = 𝜌𝜌𝜌 𝑔𝑔 𝑅4/3 (2) (a)定常であるので，③④式の左辺第一項は消去できる．また，広長方形断面が仮定されてい るので，両式は 𝑞 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑑ℎ 𝑞 2 𝑑 −2 (ℎ ) + − 𝑆0 = −𝑆𝑓 2𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑 よって， 𝑞2 𝑑ℎ �1 − 3 � = 𝑆0 − 𝑆𝑓 𝑔ℎ 𝑑𝑑 ∴ 𝑆0 − 𝑆𝑓 𝑑ℎ = 𝑞2 𝑑𝑑 1− 3 𝑔ℎ 次に，等流水深と限界 水深を用いると，⑥式が 得られる．（マニング式 とフルード数の定義 から容易に得られる．） 等流水深は，マニング式より 𝑞= 𝑛2 𝑞 2 � 𝑆0 1 5/3 1/2 ℎ 𝑆0 , 𝑛 𝑛 ∴ ℎ𝑛 = � 𝑞2 = 1, 𝑔ℎ𝑐3 𝑞2 ∴ ℎ𝑐 = � � 𝑔 限界水深は，フルード数が 1 より， 1/3 3/10 (b)水面形を描く問題である．下図の通りとなる． hn M2 曲線 S2 曲線 跳水 支配断面 S1 曲線 (3) (a) 連続式は，両断面を通過する単位幅当たり流量が等しいことから， 𝑐ℎ = 𝑣2 (ℎ + 𝜂) 運動方程式は，運動量の定理を適用し， 1 1 −𝜌(ℎ + 𝜂)𝑣22 + 𝜌ℎ𝑐 2 = 𝜌𝜌(ℎ + 𝜂)2 − 𝜌𝜌ℎ2 2 2 (b) 上式を連立させて求めると， η ≪h より， 𝑐2 = 1 ℎ 𝑔(ℎ + 𝜂) �2 + � 2 𝜂 𝑐 2 ≈ 𝑔ℎ (c) ∴ 𝑐 ≈ �𝑔ℎ (i) シ：フルード数 (ii) フルード数 v/c の値により以下の 3 つに流れは区分される． v/c > 1 :射流 水面の擾乱が上流へ伝播することができないため，水面形は上流側から決まる． v/c = 1 :限界流 水面の擾乱が同じ位置で停止する． v/c < 1 :常流 水面の擾乱が上流側へ伝播できるため，水面形は下流側から決まる． (iii)フルード数の二乗は， 𝐹𝐹 2 = と表せる．一方，限界水深は 𝑣2 𝑣2 𝑞2 = = 𝑐 2 𝑔ℎ 𝑔ℎ3 1/3 𝑞2 ℎ𝑐 = � � 𝑔 より， 𝐹𝐹 2 = ℎ𝑐 3 ℎ3 よって，単位幅流量と水深からフルード数が計算され，流れの状態を判断でき，水面形の計算 方向が決定できる． （※問題が意図しているところが曖昧であるので，この解答例が妥当であるか判断 しかね る．） (4) (a) L1 L2 上図の様に記号 L 1 , L 2 を定義すると，波の中心位置（破線）に段波があると想定することで， 単位時間の進行により次の連続式が成り立つ． ℎ1 𝐿1 + ℎ2 𝐿2 = ℎ1 (𝐿1 + 𝑣𝑤 − 𝑣1 ) + ℎ2 (𝐿2 + 𝑣2 − 𝑣𝑤 ) よって， ∴ ℎ1 (𝑣𝑤 − 𝑣1 ) = ℎ2 (𝑣𝑤 − 𝑣2 ) 𝑣𝑤 = 𝑞1 − 𝑞2 ℎ1 − ℎ2 一般的に，q は h の関数である（例えばマニング式など）ので，下図の様なグラフが想定さ れる． q q=q(h) q1 q2 h h1 h2 よって，v w の極限は h 2 →h 1 ，すなわち 𝑣𝑤 → となる． 𝑑𝑑 � 𝑑ℎ ℎ=ℎ1 (b) マニング式から，摩擦勾配は次式で示される． 𝑆𝑓 = 𝑛2 𝑣 2 𝑅4/3 よって，⑩式から（もしくはマニング式そのものから），次式が得られる． 𝑞= �𝑆0 5/3 ℎ 𝑛 ∴ ℎ=� 時間微分すると， 𝑛 �𝑆0 𝜕ℎ 3 𝑛 = � � 𝜕𝜕 5 �𝑆0 � 3/5 これを⑨式へ代入し，整理すると， となり，特性曲線 𝜕𝜕 5 𝑛 + � � 𝜕𝜕 3 �𝑆0 3/5 𝑞 2/5 3/5 𝑞 3/5 𝑞 −2/5 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕 = + 𝑣𝑚 =0 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝜕𝜕 5 𝑛 𝑑𝑑 = 𝑣𝑚 = � � 3 �𝑆0 𝑑𝑑 3/5 上で q は一定(dq/dt=0)となる．マニング式より， 𝑣𝑚 = 5 𝑛 � � 3 �𝑆0 3/5 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑞 2/5 = 𝑞 2/5 5𝑞 5 = 𝑣 3ℎ 3 （※この関係は Kleitz-Seddon の法則と呼ばれるものの一部を示している．）
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