数理統計学西山問１統計学の定期試験を受験した200人の得点を集計したところ、平均点が60点、標準偏差が15点になった。以下の設問に回答しなさい。 ①A君の得点は75点だった。この得点を標準化すればいくらか。 ②A君の得点を偏差値にしたい。「偏差値」とは、平均が50、標準偏差が10である尺度をいう。A君の偏差値はいくらか。 ③出題が難しすぎたため得点を修正することにした。元の得点をXとしてY = 1.10X + 10から算出される Y点を小数点以下も含めて新たな得点とする。A君の偏差値はどう変わるか。 ①A君の得点は75点だった。この得点を標準化すればいくらか。標準化（＝基準化）元の値−平均値標準値＝標準偏差 75 − 60 = 1.0 （シグマ） 15 ② A君の得点を偏差値にしたい。「偏差値」とは、平均が50、標準偏差が10である尺度をいう。A君の偏差値はいくらか。偏差値偏差値＝10 × 標準値 + 50 1.0 偏差値＝10 × 1 + 50 = 60 ③ 出題が難しすぎたため得点を修正することにした。元の得点をXとしてY = 1.10X + 10から算出されるY点を小数点以下も含めて新たな得点とする。A君の偏差値はどう変わるか。標準値はどう変わるか？元の値−平均値標準値＝標準偏差元の値－平均値＝ 1.1 × 75 + 10 − 1.1 × 60 + 10 = 1.1 × 15 標準偏差＝1.1 × 15 A君の標準値は変わらない。故に、偏差値も元のままである。問２確率変数Xは以下のように分布している。下の設問に回答しなさい。値３６確率 1 3 2 3 ① 期待値E 𝑋 を求めよ。期待値＝Σ値×確率 1 2 𝐸 𝑋 =3× +6× =5 3 3 ② 分散V 𝑋 を求めよ。値３６ 𝐸𝑋 二乗確率９ 1 3 ３６ 2 3 2 1 2 = 9 × + 36 × = 27 3 3 𝑉 𝑋 = 27 − 52 = 2 ③ Xを標準化した値をZとおく。E 𝑍 とV 𝑍 を求めよ。 𝑍= 𝑋−5 2 𝐸 𝑍 =𝐸 𝑉 𝑍 =𝑉 𝑋−5 2 𝑋−5 2 = = 1 2 𝐸 𝑋−5 =0 1 2 2 1 𝑉 𝑋−5 = 𝑉 𝑋 =1 2 標準化すると、常に平均が０、分散・標準偏差が１問３ある菓子メーカーが製造している商品の１袋の重さは、平均が100グラム、標準偏差が2グラムの状態に管理され、重さの分布には概ね正規分布が当てはまっている。この時、重さが95グラム未満となる袋は全体の何パーセント程度あると思われるか。 2 0.6%程度 0.0062097 95 100 標準値 95−100 2 = −2.50 2.50 問４確率変数Xは一様分布にしたがい、0から1までの任意の値を等しい可能性でとりうる。いま変数YをY = 2Xと定義する。変数Yがどう分布するか図で示したうえ、E[Y]とV[Y]、SD[Y]を求めよ。 EとV、SDはすぐに求まる Xは０から１まで一様分布だ 1 EX   2 1 V X   12 授業の説明を覚えていれば・・・ 𝐸 𝑌 = 𝐸 2𝑋 = 2𝐸 𝑋 = 1 4 𝑉 𝑌 = 𝑉 2𝑋 = 2 𝑉 𝑋 = 12 2 Xが一様分布ということは 𝐹 𝑥 =𝑥 1 期待値の計算をすると（例題１７） 1 1 𝐸𝑋 = 𝑉𝑋 = 2 12 𝑓 𝑥 = 𝐹′ 𝑥 = 1 0 𝑥 （任意のある値） 1 X 問題はYの分布の形がどうなるか？確率（＝面積）に着目する G ( y )  P(Y  y )  P(2 X  y ) y   P X   2   y  F  2 y  2 0 ２ 1  g ( y)  G' ( y)  2 クイズ確率変数Xは、一様分布に従い0から1までの任意の値を等しい可能性でとる。いま変数Yを𝑌 = 𝑋と定義すると、𝑌はどんな分布に従い、期待値はいくらになるか？ 6月10日（火）授業までに提出（任意）。中間試験・問４の理解度判定の参考にする。