PowerPoint プレゼンテーション

数値解析学一
１．非線形方程式の数値解
・方程式と関数の曲線
・逐次二分法
・ニュートン・ラフソン(Newton-Raphson)法
・逐次代入法
・終了判定
・収束性
２．連立非線形方程式
・逐次代入法
・ニュートン法
・修正ニュートン法
テキストP35
マニングの式による水深の計算
幅B（ｍ）、マニングの粗度係数ｎ、河床勾
配Sの矩形断面水路に流量Q（㎥/sec）を流
すときの水深Hを求めよ
マニングの式
2
1
1
3
Q  BHR S 2
n
ここでRは径深で次のように表される
BH
R
B  2H
方程式と関数の曲線
非線形方程式 f ( x)  0 の解を求めるのは、曲線
とf (x
ｘ) 軸とが交わる点を求める
2
1
1
3
Q  BHR S 2
n
2
1
1
3
f ( H )  Q  BHR S 2
n
2
1
1
3
Q  BHR S 2  0
n
f (H )  0
マニングの式
40
2
1
1
3
f ( H )  Q  BHR S 2
n
30
20
ｆ（ｘ）
f (H k )  0
f (H ) 10
0
0
-10
0.5
1
1.5
2
H k  1.37745
-20
水深Ｈ（ｍ）
2.5
3
3.5
逐次２分法
中間点を計算
f (x)
xc  ( xa  xb ) / 2
f ( xb )
f ( xc )  f ( xb )  0
xa
f ( xa )
xa
xc
xc
xb
f ( xc )  f ( xa )  0
xb
X
逐次２分法の手順
解を含む区間を選ぶ
[ xa , xb ]
 f ( xa )  f ( xb )  0
xc  xa
中間点を計算
xc  ( xa  xb ) / 2
xc  xb
Ｙ
| xb  xa | 
Ｎ
Ｙ
ＥＮＤ
f ( xc )  f ( xa )  0
Ｎ
Ｙ
f ( xc )  0
Ｎ
ニュートン・ラプソン（Newton-Raphson) 法
方程式 f ( x)  0 のゼロ点
をxとして、f(x)をxiの周りに
１次までのテイラー（Taylor)
展開で近似する。
f (x)
f ( x)  f ( xi )  f ( xi )( x  xi )  0
これより
f ( xi )
f ( xi )
を得る、ここて、 x０を初期
近似値として、逐次計算を
進めていく。
xi 1  xi 
x
x1
x0
終了判定式
| xi 1  xi | 
逐次代入法
与えられた方程式を変形して、
f ( x)  0  x  g ( x)
の形にする。初期値ｘoを選び、変形した式より新
しい近似値をもろめ、これを次々と反復して最終的
によりよい近似解をえる。
xk 1  g ( xk )
終了判定式
（反復公
式）
| xk 1  xk | 
逐次代入法例
幅B（ｍ）、マニングの粗度係数ｎ、河床勾配Sの矩形断面
水路に流量Q（㎥/sec）を流すときの水深Hを求めよ。ただし
ｎ＝0.015，Q＝15（㎥/sec），B=5（m），S＝1/800，ε＝10-5
2
1
1
3
Q  BHR S 2
n
H k 1 
nQ
2
BRk S
3
1
2
（マニングの式）
BH k
Rk 
B  2H k
ニュートン（Newton)による
連立非線形方程式の数値解
テイラー展開による非線形方程式の線形化
f
f
(0)
(0)
f ( x1 , x2 )  f ( x1 , x2 ) 
x1 
x2
x1
x2
連立非線形方程式
 f1 ( x1 , x2 )  0

 f 2 ( x1 , x2 )  0
x1  x1  x1( 0 )

(0)

x

x

x
 2
2
2
線形化された連立非線形方程式は連立１次方程式になる
f
f1 f

f 1( 0 ) , x2( 0 ) )
 1 

x
( 0x
) 1 ( 0 )
12   f1 ( x1

f1x( x1 , x2 )x
x1 
x2  0


1
2 x
x2

1

 f 2
f 2 f

f 21( 0 ) , x2( 0 ) )
(
0
)
(
0

x

x 
f2
(x
 f 2 ( x1 1, x2 ) ) x22 
x2  0
1


x

x

2 x

x2
 1
1
未知数Δx1とΔx２を求
めたら、次の段階の
Ｘを計算できる。
 x1(1)  x1( 0 )  x1
 (1)
(0)
x

x
 x2
 2
2
連立非線形方程式
ニュートン（Newton)による
連立非線形方程式の数値解
 f1 ( x1 , x2 )  0

 f 2 ( x1 , x2 )  0
ヤコビ（Jacobi)行列
 f1( k )

x1
J ( x1( k ) , x2( k ) )  
 f 2( k )
 x

1
f1( k )
x2
f 2( k )
x2






f j( k )
f j ( x1 , x2 ) x1  x1( k )

xi
xi
x2  x2( k )
を用いた線形化された連立非線形方程式は
(k )

x

f




1
1
(k )
(k )
J ( x1 , x2 )
 x 

  f (k ) 


2 


2
fi
( k 1)
i
x
 fi ( x
(k )
(k )
1
x
(k )
i
(k )
2
,x
)
 xi i  1,2
終了判定条件
maxx1 , x2   
 x1 x2 
max  ( k ) , ( k )   
x2 
 x1
数値解析演習（一）
１．逐次2分法（テキストP179の応用I-12参
照）
3
方程式f ( x)  x  x  1  0
は[0, 2] において根が１
つある。その根を2分法により求めよ。
２．ニュートン・ラプソン法（テキストP８４の
管路内の流速の例を参照）
ニュートン・ラプソン法により方程式
f ( x)  x 2  2 sin x  0
x0
の解を求めよ。但し
x0  5
xi 1  xi
   0.0001
xi
レポートの提出： E-mailとプリント
E-mailで
１）．氏名、ふりがな、入学年
２）．ソースプログラム、実行状況及び計算結果
３）．宛て先：chen＠civil.kyushu-u.ac.jp
fukae＠saruki.civil.kyushu-u.ac.jp
４）．件名は氏名演習（１）。
（例：件名：九州太郎演習（１））
プリントで
１）．氏名、ふりがな、入学年
２）．問題及び計算結果

Download Report