ソロー・モデルと 条件付き収束 ソローモデルの設定 • 資本と労働を用いて生産が行われ，生産関数は， 𝑌 = 𝐹(𝐾, 𝐿) • 生産関数𝐹(𝐾, 𝐿)は，一次同次 𝐹 𝑡𝐾, 𝑡𝐿 = 𝑡𝑌 • 労働𝐿は人口に等しいとする • • • • 生産された付加価値のうち，𝑠の割合だけは貯蓄される 貯蓄はすべて投資（=新しい資本の購入）される 資本は毎期𝛿の割合で減耗する したがって，来期の資本𝐾𝑡+1 は， 𝐾𝑡+1 = 𝐾𝑡 + 𝑠𝑌𝑡 − 𝛿𝐾𝑡 • 人口成長，技術進歩はないものとする（あとで導入する） 一人あたり生産量と資本 𝑌 𝐿 𝐾 𝐿 • 一人あたり生産量（ ）を𝑦，一人あたり資本（ ）を𝑘とする • 生産関数は一次同次なので， 𝑌 𝐾 𝑦= =𝐹 ,1 = 𝑓 𝑘 𝐿 𝐿 • 一人あたり生産量は，一人あたり資本だけの関数となる • 一人あたり資本の変化は， 𝑘𝑡+1 − 𝑘𝑡 = 𝑠𝑓 𝑘𝑡 − 𝛿𝑘𝑡 一人あたり生産関数の形状 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑘) 限 界 生 産 物 • 一人あたり資本が大きいほど， 生産量は大きくなる 𝑦’ 𝑘 > 0 →限界生産物は正 • 資本の限界生産物（一人あた り資本を1単位増加させたとき の生産量の増加）は，一人あ たり資本が大きいほど小さい 𝑦’’(𝑘) < 0 →限界生産物逓減 0 1 2 3 4 5 6 𝑘 一人あたり資本と生産，消費，投資 生産量, 貯蓄 𝑓(𝑘) 消費 1 − 𝑠 𝑓(𝑘) 生産 𝑓(𝑘) 𝑠𝑓(𝑘) 消費 投資 消費 投資 𝑠𝑓(𝑘) 投資 0 1人あたりの資本ストック量 一人あたり資本の変化 𝑡期の一人あたり資本𝑘𝑡 資本減耗 𝛿𝑘𝑡 𝑡期 新たな投資による資本蓄積𝑠𝑓(𝑘𝑡 ) 𝑡+1 期 前期からの繰り越し資本 1－𝛿 𝑘𝑡 投資 𝑠𝑓(𝑘𝑡 ) 𝑡 + 1期の一人あたり資本 𝑘𝑡+1 = 𝑘𝑡 + 𝑠𝑓 𝑘𝑡 − 𝛿𝑘𝑡 一人あたり資本の変化 𝑘𝑡+1 − 𝑘𝑡 = 𝑠𝑓 𝑘𝑡 投資が資本減耗よりも大きい（𝑠𝑓 投資が資本減耗よりも小さい（𝑠𝑓 投資が資本減耗と等しい （𝑠𝑓 − 𝛿𝑘𝑡 𝑘𝑡 > 𝛿𝑘𝑡 ）⇒ 一人あたり資本は増加 𝑘𝑡 < 𝛿𝑘𝑡 ）⇒ 一人あたり資本は減少 𝑘𝑡 = 𝛿𝑘𝑡 ）⇒ 一人あたり資本は変化しない （定常状態） 定常均衡 𝛿𝑘 𝑠𝑓(𝑘) 定常均衡 𝑠𝑓 𝑘𝑡 = 𝛿𝑘𝑡 𝑘 0 𝑠𝑓 𝑘𝑡 > 𝛿𝑘𝑡 𝑠𝑓 𝑘𝑡 < 𝛿𝑘𝑡 貯蓄率の違い 𝛿𝑘 𝑠’𝑓(𝑘) 𝑠𝑓(𝑘) 0 𝑘 ∗ 𝑘 ∗∗ 𝑘 • 貯蓄率が𝑠から𝑠’に上昇 →定常均衡は𝑘 ∗ から𝑘 ∗∗ へ • 貯蓄率が高い国ほど定常状態 における一人あたり資本（お よび生産量）が大きい 人口成長 (𝛿 + 𝑛′)𝑘 (𝛿 + 𝑛)𝑘 𝑠𝑓(𝑘) 0 𝑘 ∗∗ 𝑘 ∗ 𝑘 • 人口が𝑛の率で成長 𝐿𝑡+1 = 1 + 𝑛 𝐿𝑡 • 人口成長がある場合一人あた り資本の変化は， 𝑘𝑡+1 − 𝑘𝑡 = 𝑠𝑓 𝑘𝑡 − 𝛿 + 𝑛 𝑘𝑡 • 人口成長率が𝑛から𝑛’に上昇 →定常均衡は𝑘 ∗ から𝑘 ∗∗ へ • 人口成長率が高い国ほど定常 状態における一人あたり資本 （および生産量）が小さい 絶対的収束と条件付き収束 • 貧しい国ほど経済成長率が高く，いずれは豊かな国に追いつくこ とを絶対的収束という。 • さまざまな条件が同じであれば，貧しい国ほど経済成長率が高く， いずれは豊かな国に追いつくことを条件付き収束という。 • ソロー・モデルでは，貯蓄率や人口成長率が同じであれば，すべ ての国は同じ定常均衡へ向かう。 →定常均衡に近い国ほど豊か →ソロー・モデルは条件付き収束を示唆 数値例 • 生産関数は以下のようなコブ・ダグラス型で表されるとする。 1 2 𝑌 = 𝐹 𝐾, 𝐿 = 𝐾 3 𝐿3 𝑌 𝐾 • 一人あたり所得（𝐿 ）を𝑦，一人あたり資本（ 𝐿 ）を𝑘とすれば， 1 1 𝑌 𝐾 3 𝑦= = = 𝑘3 𝐿 𝐿 • したがって，一人あたりの生産関数は以下のように表される。 𝑦=𝑓 𝑘 = 1 𝑘3 • 貯蓄率が0.3，資本減耗率が0.09，人口成長率が0.01であれば，定常状態に おいて， 𝑘𝑡+1 − 𝑘𝑡 = これを解くと，𝑘𝑡 = 27 1 0.3𝑘𝑡3 − 0.09 + 0.01 𝑘𝑡 = 0 • したがって，定常状態における一人あたり資本は27，生産量は3となる。 絶対的収束 0.08 BWA y=0.0215 -0.0000x GNQ KOR SGPMAC 0.06 MDV OMN CHN VNM 0.04 0 THA CPV HKG MYS GRD BTN KNA ROU TUN ARG IRN BGR DMA CYP IRL POL HUNGAB MLT PRT DOM BRA MUS ATG VCT IND LBN ECU PER LCA MLI LSO BOL PRY PAN TUR CHL SDN MAR COG JOR LKA BLZ COL PHL ALB BFA ZWE MOZ CMR PAK CRI URY SYR MEX FJI NPL TCD ETH KHM SUR IRQ AGO ZAF NGA GTM MRT SLV STP HND BEN NAM BGD MWI RWA UGA GHA KEN SEN TZA GMB JAM SLE CIV BDI TGOCOM GNB MDG GIN CAF ZMB LAO 0.02 TWN EGY MNG IDN SWZ GRCESP TTO NOR AUT JPN DEU ITA NLD GBR FIN BEL LUX KWT AUS FRA CAN ISL SWE DNKBMUUSA BHR NZL CHE BRB BHS SAU ISR QAT VEN BRN NER -0.02 DJI COD LBR -0.04 500 5000 GDP per capita PPP in 1970 (2011 international $) 100000 1970年のGDPと，その後50年間の経済成長率の間には明確な関係がない →絶対的収束は起きていない 投資率と一人あたりGDPの成長率 0.08 BWA y=-0.0007+ 0.1060x GNQ KOR MAC 0.06 MDV OMN CHN TWN HKG EGY VNM 0.04 DMA GAB MUS VCT BOLLCA COG BLZ TTO CRI MOZPAK CMRZWESYR BRB KHM BHSNPL ETH TCD GTMNGA HND STP BEN BGD RWA UGA SEN GHA KEN GMB BRN 0.02 0 SLE CIV BDI GRD IDN ARG BGR TUNPOL SWZ DOM MLI SDN SGP LAO IRL CYP BTN CPV MLT LUX NOR GRC FIN AUS JPN ISL ALB CHE SAU TZA JAM COM GIN CAF THA PRT ATG ESP BRA IND KWT AUT LBN ECU PER GBR DEU ITA LSO NLD BEL PAN PRYCHL TUR MAR JOR LKA DNKISR BMUSWEFRA CAN COLUSA PHL BHR BFA NZL URY MEX FJI AGO SUR IRQ ZAF QAT MRT SLV NAM MWI VEN TGO MDG ZMB IRN HUN MYS KNA MNG ROU GNB NER -0.02 DJI COD LBR -0.04 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Average investment share in GDP (1970-2010) 0.4 投資率が高い国ほど，経済成長率が高い 0.45 0.5 0.55 人口成長率と一人あたりGDPの成長率 0.08 BWA y=0.0322 -0.6030x GNQ KOR MAC 0.06 SGP MDV OMN CHN TWN HKG GRDKNA ROU 0.04 BGR DMA HUN 0.02 CYP ARG IRL CPV POL MLT LUX PRT NOR MUS ATG ESP AUT VCTGRC LBN ITA JPN DEUGBR LCA BELFIN NLD CHL CANLKAAUS SWEFRA DNK BMU TTO USAISL ALB CHE NZL URY BRB FJI SUR SLV 0 EGY IDN MNG VNM THA JAM MYS BTN IRN LAO SWZGAB BRA DOM IND KWT ECU LSOPERPAN BOL MLI PRY TUR SDN MAR COG JOR BLZ ISR COL PHL BFA ZWE PAK MOZ CRI CMR MEX SYR BHS NPL ETH TCDAGO KHM ZAF IRQ NGA GTM HND MRT STP NAMBENMWI UGA BGD RWA VEN GHA SEN KEN TZA BRN GMB SLE CIV BDI TGO COM MDG GINGNB CAF ZMB TUN BHR SAU QAT NER -0.02 DJI COD LBR -0.04 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Average growth rate of pouplation(1970-2010) 0.06 人口成長率が高い国ほど，経済成長率が低い 0.07 0.08 成長回帰分析 • 経済成長率を，平均投資率，平均人口成長率，初期の一人あたり GDPで重回帰（成長回帰分析） 𝑔𝑟𝑜𝑤𝑡ℎ𝑖 = 𝛼 + 𝛽1 𝑠𝑖 + 𝛽2 𝑛𝑖 + 𝛽3 log 𝐺𝐷𝑃𝑖1970 + 𝑢𝑖 • 𝛽3 は，平均投資率や人口成長率を一定として，初期（1970年）の 一人あたりGDPが1％大きいと，その後50年間（1970～2010） の経済成長率が何％高いか（低いか）を表す →𝛽3 がマイナスであれば条件付き収束がおきている • 推定結果： 𝑔𝑟𝑜𝑤𝑡ℎ𝑖 = 0.042 + 0.109𝑠𝑖 − 0.504𝑛𝑖 − 0.004 log 𝐺𝐷𝑃𝑖1960 サンプルサイズ：143 自由度修正済み決定係数：0.296 係数は，すべて1％水準で有意 →条件付き収束はおきている
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