統計学 宿題 3 回目
解答例
問 4 面接試験数の母分散は未知であるが，サンプルサイズ
は十分に大きいので正規分布に近似して検定を行う。帰無
仮説は「真の面接試験数が二つの大学で等しい」である。こ
問 1 母分散が未知の正規分布からの小標本であるから，t
のとき，検定統計量は次のように計算できる。
36 − 42
√
≈ −3.349
182
222
+
162
400
分布を利用して検定する。
1.1 （イ）
検定統計量の絶対値は 1.96 よりも大きいので棄却域に入
自 由 度 15 の t 分 布 に お け る 片 側 確 率 5% の 臨 界 値 は
る。帰無仮説を棄却し対立仮説を採択する。二つの大学で
t0.05,15 = 1.753 より，検定統計量 A に対する棄却域は
面接試験数に有意差があるといえる。
1.753 < A である。
問5
1.2 2.5
5.1 2
A=
3.5 − 3
0.8
√
16
=
0.5
× 4 = 2.5
0.8
E(X) = 1 × 0.5 + 3 × 0.5 = 2
5.2 2
1.3 （ア）
検定統計量 2.5 は臨界値 1.753 よりも大きい値であり棄却
Cov(X, Y ) = (1 − 2) · (0 − 6) · 0.3
+ (3 − 2) · (0 − 6) · 0.1
域に入る。
+ (1 − 2) · (10 − 6) · 0.2
+ (3 − 2) · (10 − 6) · 0.4 = 2
問 2 検査した n = 200 の製品おいて，標本不良品率は
X̄ =
3
200
= 0.015 である。
問 6 帰無仮説は
2.1 0.03
H0 : p1 = 0.2, p2 = 0.1, p3 = 0.3, p4 = 0.4,
帰無仮説は「新型機械設備導入後の不良品率は新型機械設
備導入前の不良品率と同一である」
であるから，期待度数は {Ej } = {80, 40, 120, 160} と計算で
きる。また，実際の観測度数は {Oj } = {100, 60, 120, 120}
である。したがって，検定統計量は
2.2 1.244
0.015 − 0.03
−0.015
√
≈√
≈ 1.244
0.03×0.97
0.012062
Q=
200
2.3 有意な変化があったとは言えない。
X̄−0.03 √
検定統計量 1.244 は棄却域 1.96 < 0.03×0.97 に入らな
(100 − 80)2
(60 − 40)2
+
80
40
(120 − 120)2
(120 − 160)2
+
+
= 25
120
160
となる。
200
いので，帰無仮説を棄却しない。対立仮説を採択しない。
問 7 帰無仮説のもとでの棄却域は 1.645 <
X̄ − 10
√ であ
σ/ n
るから，これを X̄ について解いて
問 3 二つの地域の（標本）失業率は X̄ = 0.15，Ȳ = 0.1
である。帰無仮説を真の失業率が二つの地域で等しいとす
のとき，帰無仮説を棄却する。第 2 種のエラーが起こる確
ると，合併標本比率は
p̄ =
30 + 20
= 0.125
200 + 200
である。検定統計量は次のように計算できる。
√(
1
200
X̄ > 11.175
0.15 − 01
≈ 1.512
)
1
+ 200
× 0.125 × 0.875
検定統計量は 1.96 よりも小さいため棄却域に入らないた
め，帰無仮説を棄却できない。二つの地域の失業率に有意
差があるとはいえない。
率は，帰無仮説が正しくないにも関わらず，帰無仮説を棄却
しない確率のことであるから，対立仮説の分布のもとで
X̄ ≦ 11.175
となる確率を計算すればよい。したがって，
(
Pr(X̄ ≦ 11.175) = Pr Z ≦
11.175 − 11.975
= Pr (Z ≦ −1.12)
= 0.1314
5
7
)
問8
8.1 0.682
Sxx = 10, Syy = 26, Sxy = 11 より
11
11
rxy = √
≈
16.125
10 × 26
8.2 1.319
rxy = 0.682, n = 4 より
r √
0.96476
√xy n−2 ≈
0.73117
1 − rxy
問9
9.1 5.99
2 × 3 のクロス集計表であるから，自由度は 1 × 2 = 2 で
ある。有意水準が 5% の場合は χ20.05,2 = 5.99，有意水準が
1% の場合は χ20.01,2 = 9.21 である。
9.2 9.722
実際の観測度数は
(
{Oij } =
)
50 20 90
70 60 110
であるから，周辺確率は
px1 = 0.4, px2 = 0.6,
py1
= 0.3, py2 = 0.2, py3 = 0.5
と予測できる。これを利用すると，帰無仮説（居住する都市
規模によって配偶者の有無に違いがない）のもとでの同時
確率は次のように計算できる。
(
0.12
{pij } =
0.18
)
0.08 0.2
0.12 0.3
n = 400 より，期待度数は Eij = pij · n は次のように計算
できる。
(
{Eij } =
48 32
72 48
80
120
)
以上より検定統計量は
Q=
(20 − 32)2
(90 − 80)2
(50 − 48)2
+
+
48
32
80
(60 − 48)2
(110 − 120)2
(70 − 72)2
+
+
+
72
48
120
© Copyright 2024 ExpyDoc
