大気の力学（1）ー物質微分ーmaterial derivative • 流体の運動を記述する。 • A(x,y,z,t) の流体にそった時間変化 dA/dt を考える。 dA A A A A  u v  w dt t x y z 物質微分局所微分移流項 Material derivative Local derivative advection 保存量の移流 (advection of conserved quantity) ー温位(P.T)を例としてー • 水平面上に温位傾度があり、風が吹いている。 • 暖かいほうから風が吹くと暖かくなる。ーー＞暖気移流 (warm advection) • 冷たいほうから風が吹くと寒くなる。ーー＞寒気移流 (cold advection)  d  ３３０K ３２０K ３１０K   u    0 dt t   暖   :warm  u     t u 寒 :cold 連続の式 continuity equation • 流体の質量は流れに沿って不変である。 Mass is conserved d     u  0 dt or      u  0 t 発散があれば密度減少 Advective form divergence causes decrease in density フラックス形式 flux form 剛体の回転(rotation of solid body) ー  回転ベクトル(rotation vector) ー   v r  r • 地球大気は自転する地球上にある。 • 地球に固定した座標系で表現したい。    v  r u   y v   x ｜Ｖ｜＝Ω r 剛体の回転ー回転ベクトルー    v  r    v  r • 地球の回転角速度は？ Angular velocity of earth rotation 7.292 x10-5 rad s-1 • 赤道の速度は？Speed at the equator 半径ｘΩ 6.37x106x7.292x10-5 =465m/s ニューステージ新訂地学図表浜島書店ニューステージ新訂地学図表浜島書店 J時間t 経過すると y=Vt だけ移動する（実線矢印）。地表はΩの角速度で回転しているので角度はΩ t ずれる。ずれの距離は y Ω t であり、即ち、Ω V t2 となる。一定の加速度 a の移動距離は、1/2 a t2 なので、y方向（運動に直角右向き）の加速度は、2 Ω V となる。これをコリオリ力という。 F  2V • コリオリ力は、運動に北半球では直角右向き • コリオリ力は、速度に比例。 • コリオリ力は、地球の自転角速度Ωに比例。 • 緯度 では、水平面の角速度は  sin  従って、単位体積の空気塊に働くコリオリ力は F    2 sin  V    f V , f  2 sin  コリオリ因子北緯30度で50m/s の物体が2秒進むとずれは？ F    2 sin  V    f V , f  2 sin  • Ω＝7.292×10-5 rad s-1 北緯30度でのコリオリ因子 f 2 sin  f = 7.292×10-5 s-1 • 風速 50 m s-1 なら単位質量当たりの力は 3.65×10-3 m s-2 （加速度a） 2秒後は、100 m 進むが、1/2 a t2 ずれる。 0.5 × 3.65×10-3 ×22 = 7.3×10-3 = 0.0073 m = 7.3 mm 回転座標系での運動（1） motion at a rotationg cooardinate  R dA P A o • A --- 静止座標系でのベクトル vector at restcoordinate • A’ --- 回転座標系でのベクトル vector at a rotating coordinate 回転座標系での運動（1）  R dA’ dA R P A • A --- 静止座標系でのベクトル • A’ --- 回転座標系でのベクトル PR  PQ  QR dA  (  A )dt  (dA ) o 実際の変化＝速度ベクトル＋回転系での変化回転座標系での運動（2）  dA  dA      A dt  dt   dA  dA    A    dt  dt  rA V  V    r V’ を（＊）に代入すると、（＊）回転座標系での運動（3）  d (V    r )  dV '     V'    dt  dt  dV d dr   r      V' dt dt dt dV   0    V    V' dt dV     (V '   r )    V ' dt 回転座標系での運動（4）  dV  dV '   2  V '  (  r )    dt  dt  回転系での加速度慣性系での加速度コリオリ力みかけの力慣性系での運動方程式 dV 1   p  g dt  遠心力回転座標系での運動方程式遠心力は重力に含める。ダッシュは省略する。 1  dV     2  V   p  g   dt  実際は球面上。スケール解析で小さい項は落とす。（Ro：ロスビー数、U/fL ＜１）鉛直は静力学平衡。ー＞プリミティブ方程式系水平の運動方程式 • 気圧傾度力とコリオリ力が卓越する。 • コリオリ力はコリオリ因子（ｆ）と速度の積に比例 • 時間変化項（加速度項）は非線形。 du 1 p   2 sin   v dt  x dv 1 p   2 sin   u dt  y d     f  2 sin   u v  w dt t x y z   latitude 鉛直座標系 vertical coordinates • p-座標系 • Log-p 座標系 •  座標系 • 温位座標系 p  ps p-座標系 dp  dt u v    0 x y p   gz, pressure  gradient force   地衡風バランス Geostrophic wind (balance) • 赤道付近や地表面付近を除く大規模な流れでは、コリオリ力と気圧傾度力がほぼバランスしている。これを地衡風という。低北半球 ug vg 1       f  x  p 気圧傾度力コリオリ力地衡風高      y    p 1  f 地衡風バランス Geostrophic wind (balance) • 赤道付近や地表面付近を除く大規模な流れでは、コリオリ力と気圧傾度力がほぼバランスしている。これを地衡風という。低地衡風高  p   ug  y   気圧傾度力   1  p  vg     コリオリ力 f  x  南半球 1  f 地衡風バランス Geostrophic wind (balance) ニューステージ新訂地学図表浜島書店地衡風の例題北緯30度の500hPaで高度が5600ｍである。その北 100kmで5540ｍである。等高度線は東西に走っている。その付近の風の方向とおおよその風速を求めよ。 • 解答：風は地衡風に近い。p-系の式を使う。 • f=２×Ω×sin(30°）＝2x7.292x10-5x0.5 =7.292 x 10-5 [s-1] ug=-{(-60)x9.8/105}／(7.292x10-5)=81m/s 80m/s の西風傾度風バランス Gradient wind • 傾度風バランスは、コリオリ力、気圧傾度力と遠心力のバランス L H 北半球の図トルネードは、高気圧の中心は普通なだらか温度風 Thermal wind  fu g   y u g   f  p y p  z g gRT g   p p  p u g R T u g R T  f   ln p f y p p y 温度風 Thermal wind • 下層から上層へ時計回り・・・暖気移流 • 反時計回り・・・寒気移流 v g V上冷 VT 暖 R   k   pT  ln p f or v g V下 R H *  k   pT z f 温度風一般気象学第2版より温度風の応用［南北温度傾度の強い所で西風シアが大きい］［南北温度傾度がなくなる所がジェットの極大］ジェット西風シア強い温度風：風の順転（=暖気移流）、逆転（=寒気移流）一般気象学第2版より偏西風ジェットの説明 • 低緯度の方が高緯度より暖かいので、中緯度上空では気圧の傾きが急になり、強い西風となる。 500hPaにおける高度と風（冬）北半球南半球図19.5： (左)北半球冬季と(右)南半球冬季の各平均の500hPa等圧面における高度、温度、風速の分布。気温の東西平均値からのずれが－4℃以下に影を4℃以上に点描をつけた平均（通常に近い状態）ブロッキング図 19.6：1983年12月18日から27日までの10日間で平均した500hPa等圧面における高度、温度、風速の分布。北東太平洋上にブロッキングと呼ばれる高気圧がある。気温の東西平均値からのずれが－4℃以上に影を－4℃以下に点描をつけた。風のバランス地表面摩擦の効果 • 気圧傾度力、コリオリ力、摩擦力がバランスする。 • 低圧側へ等圧（高度）線を横切る。 • 低気圧で下層収束。 L 気圧傾度力風摩擦力コリオリ力（風に直交） H 北半球南半球ニューステージ新訂地学図表浜島書店