準地衡流渦位方程式

風成海洋大循環
（準地衡流渦位方程式+エクマン層の力学）
• 地衡流
• 渦位の保存
• ロスビー波
• エクマン層
の概念を総合して、海洋大循環を考えてみよう。
エッセンスは、この4点セットのみである。
大循環海洋物理学はこの４点セットの基礎が分かっ
ていれば、ほぼ理解できるし、問題設定もできる。
境界層と粘性
図の境界付近（境界層）では、
u
  u 
 0,    0
z
z  z 
で、速度は減速している。 u  0の流れの減速を式で表すと、
u
0
t
であればよい。流体力学では、経験的に、減速（～粘性）を、下式
の右辺最終項
u
u
u
u
1 p
  u 
u
 v  w  fv  
 V
 
t
x
y
z
 x
z  z 
のようにあらわす。  V (  /  )は鉛直粘性係数で、油なら  vは大きく、水なら
 v 小さい。
水平方向も同じように考えることができ、
   u    u 
u
u
u
u
1 p
  u 
u
 v  w  fv  
 V    H      
t
x
y
z
 x
z  z 
 x  x  y  y 
と表現できる。
 Hは水平粘性係数である。粘性係数とは、別の言い方では、
運動量拡散係数と呼ぶ。境界は止まっているから、そこでは運動量はゼロ
である。ゼロの運動量が拡散することよって
流れにブレーキがかかると
思えばよい。
もし、流れが乱れてい
なければ、粘性係数（運動量拡散係数）は分子粘性係数を
用いる。しかし、実際
の海洋や大気では、流れには乱れがあり、
乱れ（これを渦と考え
る）があるほど、拡散
が想像できるだろう。
そこで、海洋や大気分野では
しやすいこと
分子粘性係数（分子運動量拡散係数）
の代わりに、渦粘性係数（渦運動量拡散係数 AH , AV ）を用いる。
 V    AV 、  H    AH
  2u  2u 
u
u
u
u
1 p
 2u
u
 v  w  fv  
 AH  2  2   AV 2
t
x
y
z
 x
y 
z
 x
  2v  2v 
v
v
v
v
1 p
 2v
 u  v  w  fu  
 AH  2  2   AV 2
t
x
y
z
 y
y 
z
 x
流体に働く力（接線応力）
仮想BOXに働く接線応力を考える。注目するBOXは中段のBOXで
上段のBOXが中段BOXを右方向（x正方向）に引きずり、下段の
BOXが中段BOXを左方向（x負方向）に引きずっている状況を考える。
下段BOXが中段BOXの下面を左
に引きずる力をτ(z),中段BOXの下
面を左に引きずる力をτ(z+⊿z)であ
るとしよう。
ニュートンは、この引きずる力（接
 ( z  z) 
y
 ( z  z)  線応力）は速度の微分に比例する
形であらわされるとし、流体の粘
z
u
性を考えた。この過程に従う流体
のことをニュートン流体と呼び、接
 (z ) 
x
線応力は、
 (z ) 
u
u
 ( z )     ( z ),  ( z ) -   ( z )
z
z
V   / 
であらわされるとした。実際の流体
  V
はこの式に近い振る舞いを示す。
 ( z)   ( z)- であり注目する中段 BOXに働く力（ Fx）は、


Fx   ( z )    ( z  z )  xy

 u

u
  u 
  
( z )  
( z )    ( z )z  xy
z
z  z 
 z


 2u
  2 ( z )xyz
z
この力を水平運動方程式に代入すると、
du u
u
u
u
1 p   2u

u
 v  w  fv  

dt t
x
y
z
 x  z 2
dv v
v
v
v
1 p   2 v
  u  v  w  fu  

dt t
x
y
z
 y  z 2
となる。いま、
BOXの上下面だけ考えたが、
全ての面を擦る力を考慮すると、
du u
u
u
u
1 p    2u  2u  2u 

u
 v  w  fv  
  2  2  2 
dt t
x
y
z
 x   x y z 
dv v
v
v
v
1 p    2 v  2 v  2 v 
  u  v  w  fu  
  2  2  2 
dt t
x
y
z
 y   x y z 
dw w
w
w
w
1 p    2 w  2 w  2 w 

u
v
w
 g 
  2  2  2 
dt t
x
y
z
 z   x
y
z 
となる。
粘性を含む流体方程式のことをナビエ・ストークスの式と呼ぶ。
オイラーの運動方程式と比べると、右辺の動粘性係数の掛
かった項が加えられているだけである。
渦粘性
先の粘性係数（μ/ρ）は流れが乱れていない層流
の場合の分子粘性である。実際の流体は乱流
を伴っていることが多く分子粘性の代わりに、渦
粘性係数AH(水平方向)、AV（鉛直方向）を使う。
渦粘性の表し方
x方向を考える。流速を平均成分と乱れ（渦）
成分に分けて考える。
u  u  u ' , v  v  v' , w  w  w' , p  p  p'
但し、　u '  v'  w'  0である。また、　uu などもゼロ。
'
しかし、ダッシュのつ
いたものを掛け合わせたものの平均、
例えば、u ' u ', u ' v', u ' wなどはゼロにならない
'
。
これらをオイラーの方
程式（ｘ成分）、
u
u
u
u
1 p
 u  v  w  fv  
t
x
y
z
 x
に代入すると、




u  u'  u  u'
u  u '  v  v'
u  u '  w  w'
u  u'
t
x
y
z
1 
 f v  v'  
p  p'
 x


 
 


 

 
 
 

平均を施して、
u
u
u
u
1  p  u '
u '
u ' 

u
v
w  fv
  u '
 v'
 w'
t
x
y
z
 x  x
y
z 
1  p   (u ' u ' )  (u ' v' )  (u ' w' )  u '
v'
w' 





  u '
 u'
 u'

 x  x
y
z

x

y

z


連続方程式から、
u ' v' w'


 0であるから、結局、
x x x
u
u
u
u
1  p   (u ' u ' )  (u ' v' )  (u ' w' ) 

u
v
w  fv
 


t
x
y
z
 x  x
y
z 
乱流項以外のをとって表記すると、
u
u
u
u
1 p   (u ' u ' )  (u ' v' )  (u ' w' ) 

u
 v  w  fv  
 


t
x
y
z
 x  x
y
z 
分子粘性との対比
分子粘性と比較すると、
 
 
 
 
 
 

   2u  
   2u  
   2u 
u ' u '   2 , u ' y '   2 , u ' w'   2 
x
  x  y
  y  z
  z 
となっている。そこで
、
  2u  
  2u  
  2u 

u ' u '  AH  2 , u ' y '  AH  2 , u ' w'  AV  2 
x
 x  y
 y  z
 z 
のように、渦粘性を分子粘性のような形式であらわして扱う。
w'
u 'という運動量がゾーンから出てゆく
u ' （運動量減少の効果）
w'
u'
u'という運動量がゾーンに入ってくる
（運動量増加の効果）
ダメージとしては、抵抗勢力と戦線離脱を等価として扱っていると考えてよい
渦粘性を用いて水平運動方程式を表すと、
  2u  2u 
du u
u
u
u
1 p
 2u

 u  v  w  fv  
 AH  2  2   AV 2
dt t
x
y
z
 x
y 
z
 x
  2v  2v 
dv v
v
v
v
1 p
 2v
  u  v  w  fu  
 AH  2  2   AV 2
dt t
x
y
z
 y
z
 x y 
 2w 2w 
dw w
w
w
w
1 p
2w

u
v
w
 g 
 AH  2  2   AV 2
dt t
x
y
z
 z
y 
z
 x
となる。
渦粘性とは、運動（量
）方程式に関わっているものである。
これは、運動量の拡散を意味し、運動量拡散と考えてよい。
ならば、水温や塩分、密度の拡散も同じ形式で扱うことができる。
例えば、
  2T  2T 
T
T
T
T
 2T
u
v
w
 KTH  2  2   KTV 2  Q(加熱、冷却 )
t
x
y
z
y 
z
 x
エクマン境界層
エクマン境界層では、
  2u  2u 
du u
u
u
u
1 p
 2u

u
 v  w  fv  
 AH  2  2   AV 2
dt t
x
y
z
 x
y 
z
 x
  2v  2v 
dv v
v
v
v
1 p
 2v
  u  v  w  fu  
 AH  2  2   AV 2
dt t
x
y
z
 y
z
 x y 
エクマン境界層では、、
 2u ' 1 p
 2 v' 1 p
 fv' fvG  AV 2 
,  fu ' fuG  AV 2 
z
 x
z
 y
のバランスになる。こ
こで、 u '  u  uG , v'  v  vG
uG , vGは地衡流、 u ' , v'は地衡流からのずれの流速。
これを解いたものが別紙。
エクマン・スパイラル
非回転系
下の板が
止める力
上の風が
引っ張る力
板の場合
下の板（三番目の板）が
止める力
下の板（四番目の板）が
止める力
海の場合
上の板（一番目の板）が
引っ張る力＝B1
上の板（二番目の板）が
引っ張る力＝B2
下の板が
止める力
回転系
上の風が
引っ張る力
板の場合
コリオリ力
下の板（三番
目の板）が
止める力
上の板（一番目
の板）が
引っ張る力＝B1
コリオリ力
下の板（四番
目の板）が
止める力
海の場合
コリオリ力
上の板（二番目
の板）が
引っ張る力＝B2
境界層にわたって考えると
回転系
非回転系
風
風
流れ
境界層の流れ
風の方向と同じ
コリオリ力
風が引っ張る力
境界層の流れ＝エクマン輸送
（エクマン層の平均的な流れ）
風に対して右手方向90度になる
北太平洋亜熱帯域では？
f 
f
q
偏西風
~
h
h
流れが弱いところでは、相対渦度は
貿易風
無視できる。流れが弱いところとは、
黒潮域以外。エクマン層から水が下に
押し込まれることは、下（内部領域）
H
の水柱は縮むことを意味する。
つまり、内部領域の hが小さくなる。
しかし、渦位 qは保存するから、 fは
小さくならなければいけない。つまり、
水は fが小さいほうに向かって動く。
黒潮域以外は水の流れは低緯度方向
になる。
エクマン輸送により水が集まる。
水位が上昇する。高圧になる。
集まった水は、下に押し込まれる。
時計回りの循環の形成
海洋の
表層循環
海面変位（水位）分布
西岸境界流（黒潮）
強い流れは、太洋の西端にできる。何故か？
ロスビー波により、パターンは西に伝播する。
したがって、もっとも水位の高い場所は、西に伝播する。
西には岸があるので、それ以上伝播できない。
西岸では、水位勾配が大きくなる。そして強い流れができる。
これが、黒潮の成因。
ロスビー波により
西に伝播
別の説明
渦位保存から
• 東側では、北にある水柱
が南に移動する。渦位の
保存より、反時計回りの
回転が付加される。時計
回りの流れは弱められる
。
• 西側では、南にある水柱
が北に移動する。渦位の
保存より、時計回りの回
転が付加される。時計回
りの流れは強くなる。
水平境界層からの考察
• 北に向かう流れは、東もしくは西
のどちらにできるのが道理にかな
っているか？
• 海には偏西風と貿易風により負の
渦度が注入され続けている。どこ
かで逆符号の正の渦度を注入し
ないと海洋循環は加速し続け暴走
する。
• 境界では流れはゼロになる。もし
西に北上流がある場合、境界付
近は、正の相対渦度になる。これ
は、負の渦度を打ち消す効果があ
り、暴走しない定常状態になるよう
に作用する。
• つまり、北上流は西にできるので
ある。
風により海に渦度が注入されているとする。
その注入される渦度は、風応力 ( x , y )の回転成分、
 y
x


 x
 curl
y

に比例する。亜熱帯循環系なら、 curl  0である。海底が平坦の場合を考えると、

       2

1
 
    2   y     curl 
LR
 t y x x y 

また、西岸付近を除き、太洋での流れはゆっくりとしたものである
流れに関係する は小さいものとし、
。
の２乗を含む項を無視する。（
また、定常状態になった場合のことを考える
。定常とは、　である。この条件で、

v    curl
方程式は簡略化されて、
となる。つまり、北上
流の存在する西岸境界付近以外では

()  0
t
全ての領域で南向きの流れになる。
この関係のことをスベ
ルドラップ・バランス
と呼ぶ。
驚くことに、実際の流
れは、簡単なこのバラ
ンスに基づいている。
これを見つけたのは、スベルドラップで海洋
科学通論で話したとおり。
 線形化）
1慣性周期分の流速プロファイル（破線）
と1慣性周期平均した流速プロファイル（太線）
青：東向き流速、赤：北向き流速
ESC12係留データ
2012年9月19日06：00~18：00UTC
74°30.002' N，173°59.902' E

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