第4章引張・圧縮の不静定問題

第４章不静定問題，熱応力
圧力容器，弾性エネルギ
4.1 静定問題とは
4.2 不静定問題とは
4.3 熱応力問題
4.4 内圧を受ける円筒や球殻
4.5 弾性エネルギとは
第4章総合演習問題
2015/9/30
材料の力学第４章
1
4.1 静定問題（statically determinate）
不静定問題（statically indeterminate）
• 材料の力の釣り合い条件
F  0,  F  0,  F  0

（
）（4.1）
• モーメントの釣り合い条件
Mi  0 ）
（
（4.2）
i
xi
i
yj
j
zk
k
式（4.1）と（4.2）だけで，材料の応力，ひずみ，変位が求めら
れる問題を→静定問題という
式（4.1）と（4.2）に加えて材料の変形も加味しないと応力，ひず
み，変位が求められない問題を→不静定問題という
2
4.2.1 不静定問題の例題（その１）
不静定骨組構造
Ａ
Ｃ
Ｂ
θ
θ
Ｌ
☆求める，求めたい未知量：
部材に働く張力(内部抗力）T1，T2，T3
Ｏ
荷重Ｐ
Ａ
Ｃ
Ｂ
未知数3つ，したがって，式3つ必要
T2
・第１の関係式
T3
T1
Ｌ
Ty1
Ty 3
Tx1
Tx3
Ｏ
垂直方向(ｙ)の力の釣合い式
・第２の関係式
荷重Ｐ
Ａ
Ｃ
水平方向(ｘ)の力の釣合い式
・第３の関係式
部材の伸びλ，δに関する式
Ｂ
θ
θ’
Ｌ
Ｏ
伸びλ
荷重Ｐ
θ≒θ’
変位δ
3
4.2.1 不静定問題の例題（その１）
（１）不静定骨組構造の解き方
T1 cos  T2  T3 cos  P
①力のy方向の釣合い式
T1 sin  T3 sin
②力のx方向の釣合い式
(4.3)
∴ T1  T3
(4.4)
③部材の伸び（変位）と力の関係式
図から明らかなように，
 cos   
,

T1 L T3 L
T2 L cos

,  
AE AE
AE
(4.5)
（4.6）
証明
T2 L cos
T2 L cos2 

  cos   
AE
AE
2
T1  T3  T2 cos 
式(4.５)と式(4.６)の関係を考慮すれば,
∴ T1  T2 cos2 
(4.8)
さらに，力のｙ方向の釣り合い式(4.3)に式(4.8)の関係を代入して
T1 cos 
T1
 T1 cos  P
2
cos 
∴
2T1 cos 
T1
P
cos2 
(4.9)
以上から，部材OA，OBおよびOCの張力T1,T2はそれぞれつぎのようになる。
2 cos   1  P ∴
3
T1
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cos 
2
T1  T3 
P cos 
2 cos3   1
2
(4.10)
∴
T2 
T1
P

cos 2  2 cos 3   1
(4.11)
4
4.2.1 不静定問題の例題（その2）
（円柱とその周りに配置された同心中空円柱の組合せ問題）
①力の釣合い式
Pa  Pb  P
②部材の変形の関係式
未知数2つ，Ｐａ，Ｐｂ
(4.14)
a  b
Pa L
PL
, b  b
Aa Ea
Ab Eb
したがって， a  b の関係から
a 
Pb 
Pa Ab Eb
Aa Ea
Pb
Pa
中空管Ｂ
Pb
Ｌ
丸棒A
(4.16)
剛体壁面
断面積Ab
ヤング率Eb
(4.18)
この結果を，力の釣合い式(4.14)に
代入して，
Pa 
剛体壁面
(4.15)
（剛体で固定されているから）
ここで，材料の縮みλは
Pa L
PL
 b ∴
Aa E a Ab Eb
圧縮荷重Ｐ
断面積Aa
ヤング率Ea
Pa Ab Eb
P
Aa E a
より（・・・次へと続く・・・・・）
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材料の力学第４章
5
4.2.1 不静定問題の例題（その2，続き）
（円柱とその周りに配置された同心中空円柱の組合せ問題）
これらの結果を，力の釣合い式(4.14)に代入して，
圧縮荷重Ｐ
剛体壁面
Pa Ab Eb
Pa 
P
Aa E a
Pb
Pa
中空管Ｂ
PAa Ea

 Aa Ea  Ab Eb


PAa Ea
PAb Eb
Pb  P  Pa  P 

 Aa Ea  Ab Eb  Aa Ea  Ab Eb
P
Pa 

AE
1  b b
Aa Ea

また，縮みはλは式(4.16)と上式から，つぎのよ
うになる。
a 
Pa L
PL
, b  b
Aa Ea
Ab Eb
   a  b 
Pb
Ｌ
丸棒A
剛体壁面
断面積Ab
ヤング率Eb
断面積Aa
ヤング率Ea
(4.16)
PL
Aa E a  Ab Eb
6
☆不静定の演習問題
１．例題１に示した3リンクの問題における部材
の伸びλおよび垂直方向変位δを求めよ。
T L cos PL  cos 
T L PL  cos  




 ）


(解答：   AE  AE  1  2 cos   ，
AE
AE  1  2 cos  
2
2
1
3
3
２．例題２に示した同心円筒の問題における応
 a ， bを求めよ。
力，
P
PE
P
PE






(解答： A A E  A E ，
)
A
A E AE
a
a
b
a
b
a
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b
a
a
b
b
材料の力学第４章
a
a
a
b
b
7
4.2.1 不静定問題の例題（その3）
（丸棒の途中に軸荷重を受ける両端固定の不静定問題）
○既知量
丸棒の断面積A，軸力(荷重）P，
軸力の位置L1，丸棒の長さL(一定）
○求めたい未知量（２つ）
反力：R１，R2
求める手段
①力の釣り合い式
R1+R２＝P
②丸棒の変形の関係式
L1部分の伸びλL1＝L2部分の縮みλL2
すなわち，
 L1 
∴
R1 L1
R L
 L2  2 2
AE
AE
R1 L1  R2 L2
2015/9/30
(4.25)
(4.26)
材料の力学第４章
反力R1
剛体壁面
断面積A
ヤング率E
L1
L
L2
荷重P
剛体壁面
反力R2
8
4.2.1 不静定問題の例題（その3，続き）
（丸棒の途中に軸荷重を受ける両端固定の不静定問題）
ここで，反力 R1  P  R2を式(4.26)に代入して
P  R2 L1  R2 L2
(4.26)’
式（4.26)’より，反力R1,R2は次のようになる。
R2 L1  L2   PL1
R2 
PL1
PL
 1
L1  L2
L
R1  P 
（４．27）
（４．28）
PL1
PL2

L1  L2
L
このようにして，軸反力R1,R2が求められた。
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材料の力学第４章
9
☆4.2
ニ箇所から軸力をうける丸棒の不静定問題
（例題３）
L
a
☆反力Ｒ１，Ｒ２はいくらか。
剛体壁
☆伸び(または縮み)λa，λｂ，λｃはいくらか。
解答：考え方
１）軸力荷重P1のみが作用した時の反力
を，R1’,R2’とし，
２）軸力荷重P2のみが作用した時の反力
を，R1”,R2”として
３）合計反力は，
R1=R1’+R1”
R2＝R2’＋R2”
このように，合成和が成立する問題と考える。
b
c
剛体壁
断面積
A
ヤング
率E
荷重
荷重
P1
P2
反力R1
反力R2
L
ｂ＋ｃ
ａ
剛体壁
反力R1’
剛体壁
断面積
荷重
A
ヤング P1
率E
反力R2’
L
ａ＋
ｂ
ｃ
剛体壁
具体的解法：各自講義ノート（プリント）で確認
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材料の力学第４章
反力R1’’
剛体壁
断面積
A
ヤング
率E
荷重
P2
反力R2’’
10
☆4.2
ニ箇所から軸力をうける丸棒の不静定問題
（例題３の続き）
• 考え方の具体図
L
a
剛体壁
反力R1
b
c
断面積
A
ヤング
率E
荷重
荷重
P1
P2
剛体壁
反力R2
L
ａ
剛体壁
反力R1’
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L
ａ＋
ｂ
ｂ＋ｃ
剛体壁
断面積
荷重
A
ヤング P1
率E
反力R2’
ｃ
剛体壁
反力R1’’
剛体壁
断面積
A
ヤング
率E
荷重
P2
反力R 2’’
11
4.3 熱応力（thermal stress）
☆金属材料の温度による自由膨張
一般的に，金属材料の温度変化
に伴う自由膨張の伸び変位λは
T＝T０からT＝Tに変化した場合，
両端固定，剛体壁面
両端固定（初期温度T＝T 0）
λ＝αL0（T－T0)
L0
α：線膨張率（1/℃）；１０－５
伸びλ
☆細線または丸棒の自由膨張に
よる膨張後の長さLは次式で表さ
れる。
自由膨張（温度T＝Tまで上昇）
L0
L=L0{1+α（T－T0)}
☆これは，両端固定であれば，
λの変位分相当の圧縮荷重P
を受けたことと等価
2015/9/30
α（T－T0）L0
-α（T－T0）L0 (圧縮したことと等価)
材料の力学第４章
荷重P
12
熱応力（thermal stress）の続き
☆両端固定の時の熱膨張に伴う，熱ひずみεは
L0  L0  L0 T  T0 
 
  T  T0 
L
L0 1   T  T0 

この時，熱応力は，σ＝Eεより
☆熱応力の結論
  E T  T0 
分母のL0>>L0α（T－T0）
で，あるから分母は≒L0 に
なることに注意してね。
この－（マイナス）符号の
意味は？
2015/9/30
材料の力学第４章
13
表4.1 金属材料の線膨張係数の一例
（引用：機械工学便覧から）
材料
材料
線膨張係数（×10-6）
「1/℃」
線膨張係数（×10-6）
「1/℃」
炭素鋼（～0.12ｃ）
11.3～11.6
7/3黄銅
炭素鋼（～0.12ｃ）
6/4黄銅
ねずみ鋳鉄
10.7
9.2～11.8
19.9
20.8
Sus410
9.9
アルミニューム
23.6
Sus304
ジュラルミン
23.4
17.6
珪素鋼
17.3
12～15
8.4
銅
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純チタン
材料の力学第４章
14
熱応力(例題１）
☆冬，ー２℃で両端固定された直径30ｍｍの鋼材が夏に32℃
まで暖められた。このとき丸棒に生じる応力および棒が壁面
を押す力を求めよ。ただし，材料のヤング率および線膨張率
はそれぞれ，E=206GPa，α＝1.16×10－５(1/℃）とする。
解答：
応力
  E T  T0 
 206109 1.16105 32  (2)  8.125107 ( Pa)
注意）－の記号は圧縮応力であることを意味する
壁面を押す力Pは， 2
P  A   d  (8.125)  107    302  106  5.742 104 ( N )
4
4
注意）－の記号は圧縮荷重であることを示す。
2015/9/30
材料の力学第４章
15
熱応力(例題2）
（解答は次のスライド）
Ｌ
☆図に示すように，長さＬの
棒Aと，同じく長さである２本
の棒Ｂを対称に並べ，片方の
端を剛体壁に固定，他端を自
由に移動可能な剛体壁面に
取り付け，棒材を加熱した。
上昇させた温度差をT℃とし
た時，これらの棒A,Bに生じ
る熱応力を求めよ。ただし，
棒A，Ｂの断面積を， Aa，
Ab ，ヤング率をEa，Eb，線膨
張率をαa,αb，とする。
解答：（ a 
2015/9/30
X
Pb=σｂAb
Pb
Pa
Aa,Ea,σa
Pa=σａAa
丸棒A
剛体壁面
Pb
丸棒Ｂ
Aｂ、Eb、σｂ
Pb=σbAb
X
   b Aa Ea EbT
2 b   a Ab Ea EbT
b  a
 Aa Ea  2 Ab Eb  ）
 Aa Ea  2 Ab Eb 
材料の力学第４章
16
☆力の釣り合い式は
(4.45)
 b Ab   a Aa   b Ab  0 ，∴  a Aa  2 b Ab  0
構造物が幾何学的に対称であるから，温度上昇による伸びは，
Ｌa=Lbである。ここで，Ｌa,Ｌbの長さは元の長さLに，熱膨張によ
る
伸びと，熱応力による伸びを加えることによって得られるから，
aL
La  L   aTL   a L  L   aTL 
（4.46）
Ea
Lb  L   bTL   b L  L   bTL 
bL
Eb
（4.47）
ここで，式中のひずみεa，εbは熱応力に伴うひずみであり
この問題では，Ｌ
a

a=Lbより
 aT 
  bT  b
(4.48)
Ea
Eb
となる。さらに，式（4.45）および式(4.48)を解くと，各応力は
 a   b Aa Ea EbT
2 b   a Ab Ea EbT


a 
b
(4.49)
 Aa Ea  2 Ab Eb 
A E  2 A E  ；
a
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a
b
b
材料の力学第４章
17
☆4.3 熱応力（演習問題）
☆気温０℃のとき，長さ１
mの材料を図に示すよう
に壁面との間に１mmの
隙間を設けて取り付けた。
温度が100℃になったと
き，この材料に生じる圧
縮応力はいくらか。ただし，
材料のヤング率はEは
E=206GPa，線膨張率は
α=1.15×10-5(1/℃）とす
る。
2015/9/30
剛体
温度0℃から100℃まで加熱
剛体
1m
（Ans：
1mm
  3.090107 (Pa)）
材料の力学第４章
18
4.4 内圧を受ける薄肉円筒容器の応力
☆薄肉円筒とは，円筒の板厚
が円筒の内径Dの約12％
以下の場合を想定する。
☆したがって，内径Dの円筒
が図のように板厚ｔであると
きの断面積は，近似的に，
A=πDtとみなせる。
∵
A
D  2t 
4


2015/9/30

2

 D2 
4 Dt  4t 
4
2

4
D
2

 4 Dt  4t 2  D 2

D
t
薄肉円筒のように D  t
であれば， 4Dt  4t 2 となり，
円筒の断面積は
A  Dt
材料の力学第４章
A  Dt
19
薄肉円筒（例題１）
☆下図に示すように，半径ｒ，長さLの圧力容器に，圧力Pの気
体が封入されている。このとき，容器をｒ軸方向（紙面上方向）
に破壊しようとする流体が壁面を押す力（全流体力）を求めて
みよう。
r方向全流体力　F
ｒ
P
内部圧力P
ｄθ
θ
θ
dA=rdθL
微小面積ｄＡ
長さL
板厚　ｔ
半径ｒ
20
薄肉円筒（例題１の続き）
☆全流体力F:
円周の微小角度をdθとすれば，微小面積dAはｄA＝rLdθであり，この
部分に働く紙面上方向の微小な力ｄFは，
ｄF=PsinθdA
したがって，全気体が容器に与える流体Fはつぎのようになる。

F   dF  A P sin dA  0 P sin rLd  Pr L cos 0

 2rLP  DLP
この式から，全流体力Fは，半割円筒の投影面積DL(直径×長さ)
に圧力Pをかければよいことがわかる。
☆薄肉円筒が受ける応力σ：円筒の板厚をｔとすれば，全流体力を
受ける断面積は２ｔLであるから（円筒の両側面の面積は無視する。），薄
肉円筒が受ける応力は，

F 2rLP PD


A
2tL
2t
（4.51）
となる。ただし，Dは円筒の内径を表す。この応力をフープ応力という。
21
4.4.2 薄肉球殻
☆つぎに，下記図に示すような中空の薄肉球殻に働く
流体力について考える。ただし，球の内半径をｒ，球
内部の流体の圧力Pは一定と考える。
微小面積ｄＡ
dA=２πrsinθｒｄθ
板圧ｔ
半径ｒ
r方向全流体力
内部圧力P
ｒ
θ
ｄθ
ｒｄθ
θ
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22
P
薄肉球殻(続き）
☆全流体力F：図に示された，微小はちまき状の面積ｄAは，
dA  2r sin rd
であり，半径方向に働く微小な力ｄFはつぎのようになる。
dF  P cosdA
中空の半割球に働く全流体力Fは，
F   dF  
 2
A
 r P 
2
P cosdA  
 2
0
0
sin 2 d 
 2
P cos 2r sin rd  r 2 P 
0
2 sin  cosd
1 2
r P cos 2 0 2  r 2 P
2
☆薄肉球殻が受ける応力σ：球の板厚をｔとすれば，全流
体力を受ける断面積A=2πrt=πDtであるから，結局，
薄肉球殻が受ける応力は，
2015/9/30
F r 2 P rP PD
 


A 材料の力学第４章
2rt
2t
4t
23
4.4.1 薄肉円筒(演習問題)
1．図において，薄肉円筒を軸方向に破壊しようとする
力Pおよび軸方向の応力σｔはいくらとなるか。ただし，
薄肉円筒の内部圧力はＰとする。
全圧力を受け
る断面積
W
D
t
W
P
D
t
（Ans： t 
2015/9/30
PD
4t
）
P
t
このように，薄肉円筒に働く軸方向の応
力は円筒に働くフープ応力(式（4.51）の
半分(1/2)であることを記憶にとどめてお
こう。
24
4.5 弾性エネルギ（elastic energy）とは
☆材料に外力（荷重）を加えて変形
させれば，外力も変形に伴う変
位によって移動するから，外力
(荷重）は材料に対して仕事をし
たことになる。この外力による仕
事は材料の変形に伴い材料の
内部にひずみエネルギとして蓄
えられる。変形が弾性限度の範
囲内では，外力を取り除くと吸収
されたエネルギを全部放出する。
このように，弾性限度内でのひ
ずみエネルギを弾性ひずみエネ
ルギまたは弾性エネルギという。
荷
重
P
弾性エネルギ
U   pd

伸び
d
25
4.5.1 弾性エネルギの計算方法
☆弾性エネルギU：図に示した
荷
重
荷重-伸び線図をもとに，弾性エ
ネルギの計算方法を解説する。
元来，仕事（エネルギ）は力×変
位（距離）で与えられるから，長さ
Lの材料に荷重Pが働いて，λの
変位が生じたとき，材料に蓄えら
れる仕事量U（弾性エネルギ）は
P
弾性エネルギ
U   pd

伸び
d
U   dU  

0
1
Pd   P
2
（4.54）
2015/9/30
☆ここで荷重Pの加わり方に注意が必要
である。図から明らかなように，荷重
は伸びｄλに比例して増加し，最終的
にPの加重となり，そのとき，全体の伸
びがλとなることに注意しよう。した
がって，弾性エネルギの積分において，
係数0.5(1/2）が現れるから注意。
材料の力学第４章
26
☆4.5.1 弾性エネルギ（演習問題）
１．断面積A，長さL，縦弾性係数Eの材料に荷重Pが働いて，
λの伸びと材料内部にσの応力が生じた。このときの弾性
エネルギUを記号A，L，σおよび縦弾性係数Eを使って表せ。

（解答：U  2E ALJ  ）
2
２．式（４．５４）で与えられたU=Pλ/2は材料全体に吸収され
た全弾性エネルギである。問題1．における単位体積当たり
に吸収されたエネルギuはいくらか。ただし，材料の断面積を
A，長さをLとする。
(解答： u 
2

J
2E

m3 ）
コメント：この値(u)を最大弾性ひずみエネルギという。
2015/9/30
材料の力学第４章
27
4.6 衝撃応力（impact stress）と伸び
4.6.1 衝撃応力とは
衝撃応力とは，材料に衝撃荷重を加えたとき
に生じる最大瞬間応力を意味する。
4.6.2 衝撃応力の計算
衝撃応力によって生じる伸びの計算は，多く
の場合，弾性エネルギから解くことが可能で
ある。
2015/9/30
材料の力学第４章
28
4.6.3 衝撃応力の例題１
(失った位置エネルギ）
例題1：図に示すように，
断面積A，長さLの棒の
下端に剛体のつばをつ
け，荷重（重さ）Pの物
体を高さHから棒に
沿って落下させた。こ
のとき，棒は瞬間的にλ
だけ伸びた。このとき荷
重Pの物体が失った位
置エネルギUを求めよ。
（Ans： U  PH    ）
2015/9/30
物体(荷重）
P
Uの単位に注意（N・ｍ）
L
H

29
4.6.3 衝撃応力の例題２
（吸収される弾性エネルギ）
例題２：
例題1において，荷重（重さ）Pの物体を落下さ
せ，長さLの棒が最大λだけ伸びた瞬間，棒
に生じた最大応力をσ，断面積をA，ヤング率
をEとすると，このとき棒に吸収された弾性エ
ネルギUをσ，A，E,Lで表せ。
解答：次のスライドを参考
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材料の力学第４章
30
4.6.3 衝撃応力の例題２
・解答：長さLの材料に荷重Pが働いて，λの変位が生じたと
き，材料に蓄えられる仕事量（弾性エネルギ）Uは
U   dU  

0
1
Pd   P
2
であるから，これに伸びλに関してフックの法則を適用して，

P

L
 E  E ，   ， P  A
A
L
E
ゆえに，弾性エネルギUは
1
1
L  2
U  P  A  
AL
2
2
E 2E
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材料の力学第４章
（N・m)
31
4.6.4 衝撃荷重によって生じる応力
☆ここでは，先の例題1，
2で求められた物体が
失ったエネルギ，棒に
蓄えられたエネルギか
ら，衝撃荷重によって
生じる応力の式を導い
てみよう。


1  1  2 H 



（解答:

  ）

物体(荷重）
0
P
L
H

0
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材料の力学第４章
32
☆解き方：弾性エネルギ＝失った位置エネルギであるから，
2
AL  PH   
∴
2E
☆ ここで，フックの法則から。   L  L E を代入すれば，
（4.55）
2
L 

AL  P H  
2E
E

この式を通分して整理すれば，
（4.56）
AL  2PL  2EPH  0
2
式(4.56)は応力σに関する２次方程式であり，これを解くと

PL 
PL2  2 ALEPH
AL

P
2 AEH 
1  1 

A 
PL 
となる。ところで，
P
0
A
（静荷重における応力），
PL
 0 （静荷重における伸び）
AE
（4.57）
と定義して，式(4.56)の２次方程式の解に式（4.57）を代入すれば，


P
2 AEH  P
1  1 
  1  1  2 H PL AE 

A
PL  A


2H
  0 1  1 
0





となる。式(4.58)の±のうち（--）は意味を持たないから，結局応力は

2 H 
   0 1  1 
0 
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材料の力学第４章

（4.58）
（4.59）
33
4.6.5 衝撃荷重によって生じる伸び
☆この章の最後の課題として，衝撃荷重によって生じる伸びλがどのよ
うになるか考えよう。衝撃荷重による伸びは，   L  L E の基本式に式
(4.59)で求められた次式
L L 
2 H 




1

1



2 H  を代入して
0
E
E 
0 
   1  1 
0



0 
と表せる。ここで，静荷重のときの伸びλ０は
意すれば，上の式は結局，

2H
  0 1  1 
0


0 
L 0
E
であることに注




前の場合と同様に，H=0，つまり，重さPの物体を図のつばに接触しない
程度に近づけ，急に物体を離したとき棒に生じる伸びは，

  0 1  1 

2 H 
 20
0 
となり，急速荷重による伸びは，静荷重による伸びの２倍である。
34
第4章総合演習問題（その１）
剛体壁面
１．図に示す段付き丸棒にお
いて，丸棒の両端を剛体壁
面に固定する際に，段付丸
棒は正しい長さ（L1+L2)より
も0.05％だけ長い寸法では
め込んだ。このとき棒に生
ずる応力σ１，σ２を求めよ。
ただし，棒の縦弾性係数は
206GPaとする。
解答:
A1
A2
L1
L2
L2  60cm
L1  40cm
A1  5cm
2
A2  10cm2
 1  147.1( N / mm2 )，  2  73.56( N / mm2 )
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材料の力学第４章
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第4章総合演習問題（その２）
２．物体の線膨張率をα，体積膨張率をβとするとき，
β≒３αとなることを証明せよ。(解答：別紙参照）
３．長さ40ｍの鉄道レ－ルが，隣のレ－ルとの間に気
温10℃のとき，0.4cmの隙間を空け，両方のレール
の一方の端が剛体に固定されている。このレ－ル
の温度が35ﾟCになったとき，両レール間の隙間は
いくらになるか。もし，レ－ルに隙間がなくなってい
れば，レ－ルに生じる熱応力はいくらになるか。た
だし，レ－ルの線膨張係数は，縦弾性係数をとする。
（解答:隙間はない。）
  5.15107 ( Pa)
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材料の力学第４章
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第4章総合演習問題（その３）
４．軟鋼の弾性限度200MPa，縦弾性係数
206GPaとするとき，最大弾性ひずみエネル
ギ（単位体積あたりの弾性エネルギ）はいくら
か。
(解答： 97.1(kJ / m3 ) )
５．ゴムの最大弾性ひずみエネルギは軟鋼の
それの何倍か。ただし，ゴムの弾性限度を，
 G  8MPa，縦弾性係数を E  1.0MPa，軟鋼の弾
性限度を  200MPa，縦弾性係数をE  206GPa と
する。
（解答：329.6倍)
G
S
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S
☆以下演習問題省略，テキスト参照のこと
37
第4章総合演習問題（その４）
６．図4.12において，断面積A＝1000ｍｍ２，長
さL=5000mm，縦弾性係数E=206GPaの軟
鋼棒に沿って，質量80ｋｇの物体を高さ
H=200ｍｍから落下させた。このときの衝撃
応力と最大伸びはいくらか。
(解答：   114.5(MPa)，   2.78(mm) )
7．静荷重5kＮで４ｍｍ伸びる材料がある。重
さ4kＮのおもりを100ｍｍの高さから落とした
らどれほど伸びるか。
(解答:   28.7(m m) )
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材料の力学第４章
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第4章総合演習問題（その５）
８．図4.12において，断面積A=1000mm2，長
さL=1500ｍｍ，縦弾性係数E=206GPaの軟
鋼棒に，P=2kNの急速荷重を加えた。このと
きの衝撃応力と最大伸びはいくらか。
(解答：   4(MPa)，   0.02912(mm) )
９．内径400ｍｍで，内圧２Mpaを受ける薄肉
球の肉厚はいくら以上必要か。ただし，材料
の許容応力は60MPaとする。
(解答： t  3.33mm )
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材料の力学第４章
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