電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
5/28講義分
電磁波の反射と透過
山田博仁
電磁波における重要な関係式
真空中の光速度: c 波長: λ 周波数: f 角周波数: ω 周期: T 波数: k
伝搬速度: v
f 
v

  2 f
T
電場(電界)ベクトル: E
インピーダンス: Z
E  Z (H 
1
f
k
2



v
v
磁場(磁界)ベクトル: H
真空のインピーダンス: Z0
k
1
k
), H   ( E  )
k
Z
k
電磁場のエネルギー密度: u
Z
1

c
1
0 0
波数ベクトル: k
電界振幅: |E|
E
H
 2.998108 m/s



Z0 
磁界振幅: |H|
0
 377 []
0
ポインティングベクトル: S
1
1
(E  D  B  H )
 ( E 2   H 2 ) (等方性媒質の場合)
2
2
k
S
EH
1
1
S  E  H  vu
u

 S  v  u  v E02  v H 02
k
v
v
2
2
u  ue  u m 
電磁場の運動量密度: g
g   S   E  H 
1
S
v2
u vg
正弦波
+x 方向に伝搬する正弦波
2
2
1
x t
sin(kx  t )  sin(
x  2 f t )  sin(
x  2 t )  sin 2 (  )


T
 T
波数角周波数
位相角
x1
従って、波数と角周波数の比は、
波の伝搬速度 v 

0
t=T
x=λ
t=0
k
もし、時間を止めて(t = t1)見てみると、
-x
x=0
t1
もし、場所を決めて(x = x1)見てみると、
+x -t
0
+t
参考) 伝送線路上の電圧波の伝搬
x
E
入射波
反射波
ZL
Vxe j t  V0e xe j ( t  x)  V0e xe j ( t  x)
-x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
+x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、∓x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波

ここで、 ( v p )

x
vp: 位相速度
V0e x は波の振幅を表し、α > 0 (α < 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する
x
因みに、波の包絡線の
形状が伝わる速度を群
速度: vgという
d
vg 
d
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 1, 2 の異なる媒質が接している界面
界面には真電荷が面密度 e にて存在
界面での電束密度 D に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
電場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
5.3 (教科書p.64) の復習
単位法線ベクトル
界面 D n S 界面での
1
真電荷密度
1
e
+
+
+
+
+
+
+2
D2
-n
 div DdV   D  ndS    dS
e
V
S
S
Gaussの定理
従って、
( D1  D2 )  n S   e S
上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、 ( D1  D2 )  n   e
表面電荷 e が存在しなければ、 D1  n  D2  n
異なる媒質の界面における境界条件
誘電率 1, 2 の異なる媒質が接している界面
界面での電場 E に対して、どのような条
件が満たされなければならないか?
Faradayの電磁誘導の法則を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用
B
rot
E

d
S


S
S t  dS
界面 l t
1
2
E1
h
CE t
2
S
t: 単位接線ベクトル
ここで、B/t は境界面の近くで有限であるから、S→0の極限で右辺の積分は
ゼロになる
従って、Stokesの定理を用いると左辺は、
 rot E  dS   E  dr  ( E
1
S
 t  E 2  t )l
C
従って、 ( E1  t  E2  t )l  0
上式は、任意の l の長方形に対して成り立つことから、 E1  t  E2  t
異なる媒質の界面における境界条件
9.4 (教科書p.146) の復習
透磁率 1, 2 の異なる媒質が接している界面
界面での磁束密度 B に対して、どのよう
な条件が満たされなければならないか?
磁場に関するGaussの法則を、界面に
存在する高さが無限小の円柱に適用
単位法線ベクトル
界面 B n S
1
2
 div BdV   B  ndS  0
V
S
Gaussの定理
従って、 ( B1  B2 )  n S  0
上式は、任意の面 S に対して成り立つことから、
( B1  B2 )  n  0
よって、
B1  n  B2  n
1
-n
B2
異なる媒質の界面における境界条件
透磁率 1, 2 の異なる媒質が接している界面
界面には伝導電流が面密度 ie にて存在
界面 l t
界面での磁場 H に対して、どのような
条件が満たされなければならないか?
1
2
Ampere-Maxwellの方程式を、図のように
界面の一部を囲む高さ h が無限小の長
方形 S に適用
D
rot
H

d
S

S
S t  dS  S ie  dS
C
H2 t
ie: 界面での
伝導電流密度
H1
ie
h
S
t: 単位接線ベクトル
ここで、界面に表面電流が存在しない限り、ie も D/t も境界面の近くで有限で
あるから、S→0の極限で右辺はゼロになる
従って、Stokesの定理を用いると左辺は、
 rot H  dS   H  dr  ( H
S
従って、
C
H1  t  H 2  t
1
 t  H 2  t )l
異なる媒質の界面における境界条件
電束密度の法線成分は連続
電場の接線成分は連続
E1  t
E t  E t
1
D1  n  D2  n
2
1
2
E1
E2
t は界面に平行な
単位接線ベクトル
E2  t
1
2
n は界面に垂直な D2  n
単位法線ベクトル
磁場の接線成分は連続
H1  t  H 2  t
H1  t 表面電流が
存在しない場合
1
2
H1
H2
H2  t
D1
表面電荷が
存在しない場合
D1  n
D2
磁束密度の法線成分は連続
B1  n  B2  n
1
2
B1
B2  n
B1  n
B2
界面での反射と透過
2種類の媒質が x-y 平面 (z = 0) を
境に接しており、 z > 0 を媒質Ⅰが、
z < 0 を媒質Ⅱが満たしている。平
面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱに
入射角 qi で斜め入射し、その一部
が反射角 qr で反射され、またその
一部が透過角 qt で媒質Ⅱ内に透
過する場合を考える。
z
Er
Hi
Ei
媒質Ⅰ
入射波、反射波および透過波の波媒質Ⅱ
数ベクトルと角周波数をそれぞれ
(ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、
電場ベクトルは図の様に x-z 平面
上にあり、磁場は y 成分のみとする。
波の位相は、
入射波
ki  r  it  ki x sin qi  ki z cosqi  it
反射波
kr  r  r t  kr x sin q r  kr z cosq r  r t
透過波
kt  r  t t  kt x sin qt  kt z cosqt  t t
qi
qr
ki
kr
y
Hr
x
kt
qt
Et
Ht
界面での反射と透過
境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、
i  r  t
ki sin qi  kr sin qr  kt sin qt
k

v
この条件が成立しなければならない
の関係より、媒質Ⅰ内で電磁波の速度 v1 は入射波、反射波に共通なので、
r  i ならば、 kr  ki
従って、 q r  qi
ki
(反射の法則)
sin q i kt v1
 
sin q t ki v2
v1
(Snellの法則)
qr
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ
v1 と v2 は、それぞれ媒質Ⅰ、Ⅱ
v2
内を進む電磁波の速度
比誘電率
1
 r 2 0
 
2
r2
11
sin qi v1
n
 
 2 2 


 2
1
sin qt v2
n1
 11
1
 r1 0
 r1
 2 2
qi
kr
 磁性体でなければ、1  2  0
qt
kt
n1, n2は各々、媒質Ⅰ,
媒質Ⅱの屈折率
界面での反射と透過
入射波
z
Ei  ( Eix , 0, Eiz )  (Ei cosqi , 0,  Ei sin qi )
 E 
H i  (0, H iy , 0)   0, i , 0 
 Z1 
反射波
Er  ( Erx , 0, Erz )  (Er cosqr , 0, Er sin qr )
q r  qi
Er
Hi
Ei
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ


E
H r  (0, H ry , 0)   0,  r , 0 
Z1 

透過波
Et  ( Etx , 0, Etz )  (Et cosqt , 0,  Et sin qt )
 E

H t  (0, H ty , 0)   0, t , 0 
 Z2 
Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
qi
Hr
qr
ki
kr
y
x
kt
qt
Ht
Et
界面での反射と透過
次に、電磁波の振幅について考えると、界面での電場 E および磁場 H の接線成分
の連続性より、
Eix  Erx  Etx
Hiy  H ry  Hty
従って、
 Ei cosqi  Er cosqr  Et cosqt
Ei Er Et


Z1 Z1 Z 2
上式から Et を消去すると、
r
Er Z 2 cosqt  Z1 cosqi

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
Ei cosqi  Er cosqi  Et cosqt
Z 2 Ei  Z 2 Er  Z1Et
ここで、θi = θr の関係を用いている
(電界反射係数)
上式から Er を消去すると、
t
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z1 cosq i  Z 2 cosq t
(電界透過係数)
界面での反射と透過
因みに、磁界に対する反射係数および透過係数を求めてみると、
 Er
Hr
E
Z1

  r  r
Ei
Hi
Ei
Z1
Et
Ht
Z 2 Z1 Et Z1



t
H i Ei
Z 2 Ei Z 2
Z1
媒質の屈折率 n は、真空中での光の速度 c と媒質中での光の速度 v の比で表され、
 

c 1  0 0


 r 0 r 0   r r
v 1 
 0 0
 0 0
n
特に、媒質1と2が非磁性の場合には 1 = 2 = 0 が成り立ち、それぞれの媒質の
屈折率は真空の固有インピーダンス Z0 を用いて、
n1 
c
  r1 
v1
0  0 Z 0

1  1 Z1
0  0 Z 0

2  2 Z 2
n2 
c
 r2 
v2
t
2n1 cosqi
n1 cosqt  n2 cosqi
従って、反射係数と透過係数は、
r
n1 cosq t  n2 cosq i
n1 cosq t  n2 cosqi
と表せる。
界面での反射と透過
垂直入射の場合には、qi = qt = 0 とすることにより反射係数と透過係数は、
r
n1  n2
n1  n2
t
i
2n1
n1  n2
r
n1
n2
入射波のエネルギー流に対する反射波と透過波のエネルギー流の
比をそれぞれ反射率 R および透過率 T という。
t
入射波、反射波、透過波のエネルギー流は、各々に対するポインティングベクトルの
大きさの界面に垂直方向成分であるから、
入射波
反射波
2
E
E cosqi
入射エネルギー流 qi
qr
Ei H i cosqi  Ei i cosqi  i
Z1
Z1
Z1
Si
Sr
媒質Ⅰ
反射
 Er 
Er2
媒質Ⅱ
Er H r cosq r  Er    cosq r  
cosq r
St エネルギー流
Z
Z
1 
1

Z2
2
t
E
E
Et H t cosqt  Et t cosqt 
cosqt
Z2
Z2
透過エネルギー流
qt
透過波
界面での反射と透過
従って、反射率 R と透過率 T は、
Er H r cosq r
 Er2 cosq r / Z1
Er2
Er
R



Ei H i cosq i
Ei2 cosq i / Z1
Ei2
Ei
2
Et H t cosq t
Et2 cosq t / Z 2 Z1 cosq t Et
T
 2

Ei H i cosq i
Ei cosq i / Z1 Z 2 cosq i Ei
2
r

2
 qi  q r
Z1 cosq t 2
t
Z 2 cosq i
T  1 R
屈折率 n1, n2 で表せば、反射率 R と透過率 T は、
2

n1 cosq t  n2 cosqi 
R
n1 cosqt  n2 cosqi 2
T
4n1n2 cosqi cosqt
n1 cosqt  n2 cosqi 2
演習: 界面での反射と透過
図に示す様に、2種類の媒質が x-y
平面 (z = 0) を境に接している。今、
Ei
平面電磁波が媒質Ⅰから媒質Ⅱ
に入射角 qi で斜め入射する場合
Hi
を考える。
入射波、反射波および透過波の波
数ベクトルと角周波数をそれぞれ
(ki, i), (kr, r) および (kt, t) とし、
媒質Ⅰ
電場ベクトルは図の様に x-z 平面
上にあり、磁場は y 成分のみとする。媒質Ⅱ
電場、磁場ベクトルの向きを教科書とは違えております
波の位相は、
入射波 ki  r  it  ki x sin qi  ki z cosqi  it
反射波 kr  r  r t  kr x sin q r  kr z cosq r  r t
透過波
z
Er
qi
qr
ki
kr
y
Hr
x
kt
qt
Et
Ht
kt  r  t t  kt x sin qt  kt z cosqt  t t
境界面 (z = 0) 上の全ての点で、任意の時刻に波の位相が等しくなるので、
i  r  t
この条件が成立しなければならない
ki sin qi  kr sin qr  kt sin qt
演習: 界面での反射と透過
入射波
z
Ei  ( Eix , 0, Eiz )  ( Ei cosqi , 0, Ei sin qi )

E 
H i  (0, H iy , 0)   0,  i , 0 
Z1 

反射波
Er  ( Erx , 0, Erz )  (Er cosqr , 0, Er sin qr )
q r  qi
Ei
Hi
媒質Ⅰ
媒質Ⅱ


E
H r  (0, H ry , 0)   0,  r , 0 
Z1 

透過波
Et  ( Etx , 0, Etz )  ( Et cosqt , 0, Et sin qt )


E
H t  (0, H ty , 0)   0,  t , 0 
Z2 

Z1, Z2は、それぞれ媒質1, 2の電磁インピーダンス
Er
qi
Hr
qr
ki
kr
y
x
kt
qt
Et
Ht
演習: 界面での反射と透過
界面での電場 E および磁場 H の接線成分の連続性より、
Eix  Erx  Etx
従って、 Ei cosqi  Er cosqr  Et cosqt
Hiy  H ry  Hty
上式から Et を消去すると、
r
Ei Er Et


Z1 Z1 Z 2
ここで、θi = θr の関係を用いている
Er Z1 cosqi  Z 2 cosqt

Ei Z1 cosqi  Z 2 cosqt
(電界反射係数)
反射係数や透過係数の値は、電界や
磁界ベクトルの取り方によって異なる
上式から Er を消去すると、
t
Z 2 Ei  Z 2 Er  Z1Et
Et
2Z 2 cosqi

Ei Z1 cosq i  Z 2 cosq t
(電界透過係数)
磁界に対する反射係数および透過係数は、
Er
Hr
Z1 E r


r
H i Ei
Ei
Z1
Et
Ht
Z 2 Z1 Et Z1



t
H i Ei
Z 2 Ei Z 2
Z1

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