電磁気学C

電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
7/7講義分
電磁波の偏り
山田博仁
電磁波
電磁波は、電界(電場)と磁界(磁場)が振動しながら横波として伝搬していくもの
電界
磁界
伝搬方向
電磁波の偏波
x-y 平面内に電場ベクトルを有し、+z 方向に進む平面電磁波は、電場ベクトルを
x 成分 y 成分に分けて考えられ、その和として以下の式で表される
E  e x Ex  e y Ey  e x E0 x cos(kz  t )  e y E0 y cos(kz  t   )
Ex  E0 x cos(kz  t )
電場ベクトルの x 成分
と y 成分の間の位相差
E y  E0 y cos(kz  t   )
上の2つの式から、以下の方程式が導かれる
E02y Ex2  E02x E y2  2E0 x E0 y Ex E y cos  E0 x E0 y sin  
2
x
k
E
z
y
H
電磁波の偏波
まず、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差 φ がゼロの場合を考えると、
E02y Ex2  E02x Ey2  2E0 x E0 y Ex Ey  0

E
Ex  E0 x E y   0
2
0y
よって、 E y 
E0 y
E0 x
Ex
従って、電場ベクトルは x-y 平面内に直線状の軌跡を持つベクトルとして
伸び縮みしながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁波の偏り方を直
線偏波 (linear polarization) と言う。
電場ベクトルを含むこの
ような面を偏波面と言う
x
k
Ex E
z
Ey
y
光では、電界の振動面を「振動面」、磁界の振動面を「偏光面」と呼んでいる
電磁波の偏波
次に、電場ベクトルの x 成分と y 成分の位相差 φ が±π/2 の場合を考えると、
E02y Ex2  E02x E y2  E0 x E0 y 
2
2
 Ex   E y 
 1
  
 


 E0 x   E0 y 
2
従って、電場ベクトルは x-y 平面内に楕円状の軌跡を持つベクトルとして
回転しながら +z 方向に伝搬して行く。このような電磁波の偏り方を楕円偏
波 (elliptic polarization) と言う。
φ が-π/2のとき、進行方向に
向かって左回りに回転しな
x この図は左旋性円偏波を表す
がら伝搬していく (左旋性)
k
E
z
y
逆に φ が+π/2のときは、進行方
向に向かって右回りに回転しな
がら伝搬していく (右旋性)
電磁波の偏波
一般には、電場ベクトルの x 成分と y 成分との位相差 φ は、-π/2 ≦ φ ≦ +π/2 の任
意の値となるので、電場ベクトルは x-y 平面内に軸を有する楕円状の軌跡を持つ
ベクトルとして回転しながら +z 方向に伝搬して行く。
Ex  a cos(kz  t )
左旋円偏波
E y  b cos(kz  t   )


4
任意の偏波状態は、Poincare球の表面
上の位置で表される
赤道上は α = 0
Ex
水平偏波
β=0
a
b
垂直偏波


2

Ey
  tan 1
b
a
右旋円偏波
 
ポアンカレ(Poincare)球

4
各種偏波用アンテナ
電波においては、直線偏波の偏波面が、地面に対して垂直になっているとき垂
直偏波、平行なときには水平偏波と言う。我が国の中波ラジオ放送は垂直偏
波、一般に都市部のＴＶ放送やＦＭ放送は水平偏波で送信されている。垂直偏
波と水平偏波とは互いに干渉しないので、周波数が接近しており混信の恐れの
あるような場合には、相互に偏波を違えることによって混信を防ぐことができる。
山間部などでＴＶアンテナの素子が縦に設置されているのは、このような理由に
よるもの。ただし偏波は、電波伝搬中に反射や回折により変化してしまうので、
必ずしも送信された偏波状態のままで受信アンテナに届くとは限らない。
水平偏波用
垂直偏波用
タクシー無線のルーフアンテナ八木アンテナと八木先生
円偏波用
アマチュア無線用
ヘリカルアンテナ
各種電磁波の波長と周波数
光も電磁波の一種 !!
電磁波の伝搬速度:
真空中では約30万km/秒
屈折率nの媒質中では、
真空中の1/nの速度
偏光
振動面
電界の波
磁界の波
直線偏光
光の進行方向
偏光面
光の進行方向と磁界ベクトルを含む面を光の偏りの面又は偏光
面、また、光の進行方向と電場ベクトルを含む面を振動面と呼ぶ
偏光面が回転しながら伝搬する光もあり、楕円偏光や円偏光と呼ばれている
電界の波
左旋性円偏光
偏光
電界の振動方向
太陽や電球などからの光
電界の振動方向がバラバラ
振動方向に「偏り」がない
「偏光していない」という
レーザー光
光の電界
水面や雪面などでの反射光
ある特定方向に振動する成分が多い
振動の向きに「偏り」がある
「偏光している」という
※人間の眼では偏光の違いを(ほとんど)識別できない
偏光フィルター
偏光フィルターの向き
偏光フィルター
(偏光子, PLフィルターともいう)
(マークで示されている)
ある特定方向の振動成分の光だけを透過する
 偏光状態を調べることができる
偏光フィルターによる反射光の除去
海面や雪面からの反射光が眩しい時、偏光サングラスをかけると眩しくなくなる理由は?
P偏光に対してはブリュースター角が存在する
ため、ある角度での反射光は弱くなる。一方、
S偏光の光に対してはブリュースター角が存在
しないので、強い反射が起きる。従って、 S偏
光の光のみを除去するように偏光子を配置す
ると、反射光の大部分をカットできる。
P偏光
電界
偏光子
S偏光
電界
偏光フィルターなし、
つまりS偏光、P偏光
両方の光を見た場合
偏光フィルターによって
S偏光を除去、つまりP
偏光のみで見た場合
偏光子
偏光を利用した液晶ディスプレイのしくみ
2枚の偏光フィルター(偏光子)を、
向きが同じになるよう配置すると
光が通るが、直交するように配
置すると光が通らない
液晶に光を通すと、
液晶分子の配列に
沿って、光の偏光
方向は90º回転しな
がら通過する
出典: http://www.sharp.co.jp/products/lcd/tech/s2_1.html
液晶を通過した光は偏光方向
が90º回転し、2枚目の偏光
フィルターを通過する。配向膜
間に電圧を印加すると、液晶
分子の向きが揃い、光の偏光
方向は回転しないので、光は
偏光フィルターを通過できない
青空の偏光方向
偏光方向
太陽からの離角90度
空気の分子に太陽光が当たるとレイリー散乱が起きる。散乱光強度は光の波長の
4乗に反比例する。即ち、波長の短い青い光ほど強く散乱され、そのために空は青
く見える。レイリー散乱光は偏光しており、空が澄んでいれば太陽からの離角90度
の空から最も強く偏光した散乱光がやってくる。ミツバチは、青空の偏光を見て太
陽の方角を知ると言われている。大気汚染や水蒸気があると、偏光度は減少し、
曇天では殆ど偏光していない。
ヒトも光の偏光方向を感知できる?
君は、ハイディンガーのブラシが見えるかな?
電界の振動方向
ハイディンガーのブラシ
偏光した光(液晶画面の白い画面など)を見ると、このような模様が見えることがある。
これは、人の網膜の細胞の複屈折によるもので、この現象の発見者にちなんで
Haidinger’s brushと呼ばれている。ただし、個人差があるので、見えない人もいる。
物質中でのMaxwell方程式の解
B ( x , t )
rot E ( x , t )  
t
D( x, t )
rot H ( x, t )  ie 
t
(1)
(2)
div D( x, t )  e
(3)
div B( x, t )  0
(4)
構造関係式
教科書p.189～190
D( x, t )   E ( x, t )
(5)
B( x , t )   H ( x , t )
(6)
オームの法則
ie ( x, t )   E ( x, t )
(7)
式(1)の両辺の rotation をとる
式(2)を代入式(7)を代入式(5)を代入

D 
B

E
2 E
 H 
rot(rotE )  rot
 rot 
  2
  
   rotH    ie 

t

t
t

t

t

t
t




ベクトル恒等式より
rot(rotE )  grad(divE )  E
媒質中に真電荷が存在しなければ、式(3), 式(5)より、divE = 0
E
2 E
E  
  2  0
(8)
の関係式が導かれる
t
t
同様にして、式(2)の両辺の rotation をとってやると、磁場に関する関係式
H
2 H
H  
  2  0
(9)
も導ける
t
t
従って、
物質中でのMaxwell方程式の解
式(8), (9)を電信方程式と呼ぶ。
絶縁体媒質(誘電体なども)や真空中の時、σ = 0であるから、式(8), (9)は各々、
2 E
2 H
E   2  0
(8' )
H   2  0
(9' )
t
t
となり、電磁波の波動方程式が得られる。
一方、導体中(金属など)では、式(8), (9)において左辺第3項が無視できるようになる。
E
2 E
E  
  2  0
t
t
jE ( x, t )
  E ( x, t )
2
Eは、E(x, t) = E(x)e jωt のように表されるので、
左辺第2項と第3項の大きさを比較すると、
7
通常の金属において、導電率 σ の値は、  10 (S/m)
10
誘電率 ε の値は、  10 (F/m)
マイクロ波帯においても ω の値は、
  2 1010
従って、σ >> εω の関係が成り立っており、
式(8), (9)において左辺第3項は第2項に対して無視できるくらい小さな値となる。
導体中の電磁場の式
従って、導体中において式(8), (9)は、以下の式に簡略化できる。
E
0
t
H
H  
0
t
E  
準定常電流、即ち交流回路では、
変位電流の寄与を無視しているこ
とと、オームの法則が成り立つこと
を仮定している
(8" )
(9" )
式(8”)に式(7)の関係を代入してやると、
ie  
ie
0
t
(10)
の関係も導ける。
式(8”), (9”), (10)は、拡散方程式と呼ばれている。
式(8”), (9”)は、Maxwell方程式において、変位電流の項を無視することによっても得ら
れる。つまり、式(2)の右辺において、第1項の伝導電流に比べて第2項の変位電流の寄
与が無視できる場合、式(2)は式(2’)となり、これを用いて解いてやっても求められる。
rot H ( x, t )  ie
(2' )
変位電流が伝導電流に対して無視できるのは、先の σ >> εω の条件が成り立つ場合
であり、このときの伝導電流を準定常電流と呼んでいる。電気回路における交流回路
は、この準定常電流の場合を扱っている。
導体中の電磁場と表皮効果
E  
z
E
0
t
真空
(8" )
導体中での電場は、式(8”)で与えられ、その解として、
金属導体
δ
x
E( x, t )  E0 ( x)e jt の形の平面電磁波を仮定すると、
E0 ( x)  E0e
 j x

x
 E0e  e

jx


で与えられる。(∵ x →∞で電界は有限)
また、複素数の公式
i
2

真空中から導体中への電磁波の入射
1 i
を用いた
2
ここで、δ は表皮の深さ(Skin depth)と言い、電磁波が金属導体中に侵入できる深さであ
る。
このように、電磁場が金属導体の内部深くには侵入できない現象を、表皮効果(Skin
effect)と呼ぶ
例えば銅の場合、導電率 σ = 5.8×107 S/m なので、表皮の深さ δ は、

2


2
2 f  4 107 

1
2.291011 f [GHz ]
1GHzで約 2.1 μm

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