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第１０課：吸収線の形成
平成１７年１月１７日
講義のファイルは
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
に置いてあります。
質問は
[email protected]
へ。
最終授業は平成１７年１月２４日です。レポート提出が遅れる人は１月
末日までに天文学教室事務室桜井敬子さんに届けて下さい。単位が
欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。Ｍ２、Ｂ４で単位認定
を急ぐ人は申し出て下さい。
１０．１．古典的双極子による吸収
固有振動数νoを持つ双極子モーメントp=-qzが密度Nで散らばる媒質を考える。
この媒質の誘電率をεとすると、 εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E である。
この媒質を振動数νの電磁波Eが伝わる時、電磁波に起こる変化を求めよう。
入射電磁は真空中（屈折率ｍ＝１）で
E=Eo exp( i2πνt – ikx)、
媒質（屈折率ｍ＝ｎ－iκ）中で
E=Eo exp( i2πνt – iｍkx)
＝ Eo exp( i2πνt – iｎkx－κkx)
媒質の屈折率ｍを求めることが重要である。
E=Eo exp( i2πνt – ikx)
E=Eo exp( i2πνt – iｍkx)
p
p
p
電荷ｑの運動は、
γ=g/m, ωo 2=K/m, と置くと、
mz”= -gz’ – Kz －qEo exp( iωt)
z” +γz’ +ωo 2z=－(qEo/m) exp( iωt)
固有振動数ωo 、抵抗係数γの振動子に強制振動ωを加えている。
z=A exp(iωt)とおいて、
(－ω2＋iγω＋ωo 2 ) A= －(qEo/m)
－q
双極子モーメントp=－qz
z
q
z=－(qEo/4π2m) exp( i2πνt)/(νo 2 –ν2 +iγν/2π)
Ωω＝2πν、ωo＝ 2πνoである。
ν＝νoで共振がおき、振幅が大きくなる。
双極子モーメントp=－qzは
ｐ＝qz=(q2Eo/4π2m) exp( i2πνt)/(νo 2 –ν2 + iγν/2π)
従って、ｐ＝αE, (α=感受率 susceptibility) とおくと、
α=(q2/4π2m) /(νo 2 –ν2 + iγν/2π)
次に、双極子モーメントｐが密度Nで存在する媒質の誘電率εを求める。
εE=E + 4πNp=(1 + 4πNα)E
ε＝誘電率（dielectric constant）
= 1+4πNα=1+4πN(q2/4π2m) /(νo 2 –ν2 + ν/2π)
=1+(Nq2/πm) /(νo 2 –ν2 + iγν/2π)
=1+(Nq2/πm) (νo 2 –ν2 －iγν/2π) /[(νo 2 –ν2 )2 +(γν/2π)2]
複素屈折率（complex refractivity）m=n－iκは、ε＝(n－iκ)2 なので
n= 1+(Nq2/2πm)(νo 2 –ν2) /[(νo 2 –ν2 )2+(γ/2π)2ν2]
(νo 2 –ν2)=2ν(νo –ν)の近似を入れて
= 1+ (Nq2/4πmν)(νo –ν) /[(νo –ν)2+(γ/4π)2]
=1+(Nq2/mνγ) [(νo –ν)/(γ/4π)] / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}
κ= (Nq2/2πm)ν(γ/2π) /[(νo2 –ν2 )2+(γ/2π)2ν2]
＝ (Nq2/4πmν) (γ/4π) /[(νo –ν)2+(γ/4π)2]
= (Nq2/mνoγ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}
（同じ近似）
(Nq2/mνoγ)
κ
媒体の
複素屈折率
ｍ＝ｎ－ｉκ
０
n-1
2(γ/4π)
０
－2(γ/4π)
(νo –ν)
E=Eo exp[ 2πi(νt – ikx)]
｜E|2=Eo2
E=Eo exp[ 2πi(νt – nkx+iκkx)]
｜E|2=Eo2exp( -4πκkx)
X
σ(ν)＝双極子１個の吸収断面積とすると、｜E|２＝Eo2 exp( -Nσ x) である。
前ページの｜E|2=Eo2exp( -4πκkx)と比べると、
4πκ(ν)k(ν)＝4πκ(ν)(ν/c)=Nσ(ν)
４π (ν/c)(Nq2/mνγ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}＝Ｎσ(ν)
σ(ν)=(q2/mc)(4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2}
量子力学的双極子による吸収断面積は
σ(ν)=(q2/mc) f (4π/Γ) / {1+[(νo –ν)/(Γ/4ｂπ)] 2}
f＝oscillator strength またはf-値( f-value) と呼ばれる。
[復習] κとσの関係
σ＝吸収断面積( m2 )ｎ
＝粒子の数密度 (m-3)
N=nSD＝ S×Dの筒内粒子数
透かして見ると、Ｓの内不透明
部分の面積Ｘ＝Ｎσ ＝ nSDσ
入射光線Ｆ＝ＩＳが距離Ｄを通過する間にX/S
が失われるから、
dI=－I(X/S)=－I(nSDσ) /S= I nσD=IκρD
D
S
１０．２．吸収線強度
σ(ν)=(q2/mc) f (4π/Γ) / {1+[(νo –ν)/(Γ/4π)] 2} の双極子がｎ個/ｃｍ３分布する
媒質を考える。
Ｉ´（λ）
厚みＬの媒質を通過した光の吸収線は、
＝Ｉ（λ）ｅｘｐ（－ｎＬσ(ν)）
Ｉ（λ）
Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）＝Ｉ（λ）[１－ｅｘｐ（－ｎＬσ(ν)）]
弱吸収では、 [Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）] / Ｉ（λ） = ｎＬσ(ν)
Fc
等値巾（Equivalent Width)
W=∫ [Ｉ（λ）－Ｉ´（λ）] / Ｉ（λ）ｄλ
Fλ
弱い吸収では上式より、
Wλ
W＝ ∫ｎＬσ(ν)ｄλ
＝ｎＬ∫σ(ν)ｄλ
F=0
λ
吸収断面積の積分
∫σ(ν)dν=∫(q2/mc)f(4π/γ) / {1+[(νo –ν)/(γ/4π)] 2} dν
=(q2/mc)f∫dx/(1+x2) = (πq2/mc)f
弱い吸収では、
W＝ｎＬ∫σ(ν)ｄλ ＝ｎＬ∫σ(ν)ｄν(λ2/c) ＝ｎＬ(πq2/mc) (λ2/c) f
(πq2/mc)=π 4.8032E-20/(9.109E-28 x 2.998E10)=2.654E-2 (cm2 sec)
πa
σ(ν)2
3
f[2mc /(h γ /4π )]
(q2/mc)f(4π/γ)
σ(ν)
=
∫σ (ν )d ν
吸収断面積
σ(ν)
2
3
π a α 2 π fc/λ c
=( π q 2 /mc)f
積分値= (πq2/mc)f
はγに依らない。
ν o-2 γ /4π
o /4 ν o+ γ /4 π ν o+2 γ /4 π
ν o-γ /4π γ/2π
ν
2γ
π
νo-2γ/4π νo-γ/4π
νo
νo+γ/4π νo+2γ/4π
振動子強度の例
例1：Lα線
n=2 l=1 S=1/2 L=1
n=2 l=0 S=1/2 L=0
ｇ＝４
2P
3/2
ｇ＝２ 2P
1/2
ｇ＝２ 2S
1/2
n=1 l=0 S=1/2 L=0
ｇ＝２
2S
1/2
g （１ｓ２S1/2) ｆ（１ｓ２S1/22p２P１/2)=0.2774,
ｆ（１ｓ２S1/22p２P１/2) =0.1387
g （１ｓ２S1/2) ｆ（１ｓ２S1/22p２P3/2)=0.5547,
ｆ（１ｓ２S1/22p２P3/2) =0.2774
g （n=１) ｆ（n=１n=2)=0.2774+0.5547=0.8321, ｆ（n=１n=2) =0.4161
selection rules
Δｌ＝±１
ΔS＝０、ΔL=０、±１、 ΔJ=０、±１
（J=0J=0、 L=0L=0を除く）
例２：Hα
3d2D5/2
g=6
g=4
3d2D3/2
2p2P3/2
g=4
g=4
3p2P3/2
3p2P
2p2P1/2
1/2
g=2
3s2S
2s2S1/2
transition
gLfLU
gL
fLU
1/2
g=2
g=2
レベル間遷移（ライン）のｆ－値
g=2
ターム間遷移（マルチプレット）のｆ－値
transition
gLfLU
gL
fLU
2s２S1/23p２P1/2 0.2898
2
0.1449
2s3p
0.8694
2s２S1/23p２P3/2 0.5796
2
0.2898
2p3s
0.08151 6
0.01358
2p２P1/23s２S1/2 0.02717 2
0.01359
2p3d
4.1732
6
0.6955
2p２P3/23s２S1/2 0.05434 4
0.01359
2p２P1/23d２D3/2 1.391
2
0.696
Hα線のｆ－値
2p２P3/23d２D3/2 0.2782
4
0.0696
23
5.12411 8
0.6405
2p２P3/23d２D5/2 2.504
4
0.626
2
0.4347
１０．３線形大気での吸収線形成
吸収線形成を簡単なモデルで考えるために、次のような沢山の仮定をする。
（１）局所平衡（ＬＴＥ）
Ｓλ（τＲ）＝Ｂλ[Ｔ（τＲ）]
（τＲ＝ロスランド光学深さ）
（２）エディントンモデル
Ｔ（τＲ）４＝（３/４）Ｔｅ４（ τＲ＋２/３）
（３）線形大気
Ｓλ（τＲ）＝Aλ＋Ｂλ・τλ
生憎、（１）と（３）は厳密には両立しない。そこで、（１）をτＲ＝０のまわりで一次式
で展開して近似的に（３）と考える。
dB
dT
B T  R   B T  R  0  

 R
dT T To d R  0
R
dB
 B To  
dT
 B To 
3 Te 4
  3  R
T To 16 To
3 dB
8 d ln T
 R  B To 
T To
3 dB
8 d ln T

T To
R
 

したがって、（３）において、
A  B To,
3 dB
B 
8 d ln T
R

T To  
と見なせば、（３）を（１）と両立させうる。
第６課６－１節の例２で見たように、線形大気Ｓ（τ）＝Ａ＋Ｂτの大気表面からのフ
ラックスはＦ＝π［Ａ＋Ｂ・（２/３）]＝πＳ（τ＝２/３）である。
したがって、
 
 
2 
2  R 
F    B T        B T  R   
3 
3   
 
 
または、

F   a  b


2
3 dB
   B To 

3
8 d ln T

 R 2
  
T To   3 
この式から分かるように、Ｆλ＝α＋β/τλの形をしていて、 τλが大きい所ではＦλ
が小さくなる。これが、吸収係数が大きい波長で吸収線が現れる原因である。
もう少し物理的に考えると。
吸収係数が次の図のように、λ＝λＬで盛り上がっているとする。 λＬでは吸収が強い
ので、浅いところでτＬ＝２/３に達する。浅いためにそこの温度は低い。
κλ
浅いので温度
が低く、フラック
スが小さい。
深いので温度
が高く、フラック
スが大きい。
λＬ
τＲ= 0.0
大気表面
0.2
0.4
0.6
τλ=2/3
0.8
λ
吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみよう。
λ＝ λＬの付近で、κ＝ κＣ＋κＬとする。
R
R

1

 R
 C   L C 1  L
C
R R

 C

R
L
 
 1  L
 C



 L


 1
 C

κ（λ）
κＣ
 L


 1
 C

λＬ
λ
に注意して、前々頁のＦの式を書き直すと、

1 dB
F    B To  
4 d ln T


1 dB
F    B To  
4 d ln T

R 
 
T To   

1 dB
   B To  
4 d ln T

R 
 
T To  L 

1 dB
 R
4 d ln T
T To  C
R L 
  
T To  C  C 
 L


 1
 C

 L


 1
 C

前頁の式を検討すると、まず、下から２行目に出てくる

1 dB
Fc    B To  
4 d ln T

R 
 
T To  C 
はλＬ付近での連続スペクトルとなっていることがわかる。
連続スペクトルの強さは、 κＣとκＲの強さの比で決まる。
κＲ＜ κＣ  Ｆｏ＜Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ）
κＲ＞ κＣ  Ｆｏ＞Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ）
次に下から２行目の最後の項
 dB
R L
 FA  
 
4 d ln T T To  C  C
は、吸収線を表す。吸収が弱い（κＬ＜κＣ）場合、吸収の深さがκＬに比例することがわ
かる。
最後の行の

1 dB
F    B To 
4 d ln T

R 
 dB
   Fo 
4 d ln T
T To  L 
R

T To  L
は吸収が強い場合には、大気の表面（Ｔ＝Ｔｏ）しか見通せないことを示している。
図示すると以下のようである。
弱いライン
R  0
2 
R   R
3 C
2 R
3 C
2
R 
3
R  
大気表面Ｔ＝Ｔｏ
 L 
1  
 C 
ライン波長で見通せる深さ
連続光波長で見通せる深さ
有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ
強いライン
R  0
2 R
3 L
R  
2 R
3 C
2
R 
3
R  
大気表面（Ｔ＝Ｔｏ）
≒ ライン波長で見通せる深さ
連続光波長で見通せる深さ
有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ
ピュアな吸収の場合、強い吸収の極限はＴ＝Ｔｏの大気表面からの輻射がスペ
クトルの底になる。
吸収線の強度につれての形の変化
Ｆｃ（λ）
Ｆ（λ）
κＬと共に深くなる
κＬが非常に強いと吸収線
の底が飽和する
Ｆｏ（λ）
λ
問題１０ーＡ
平成１６年１２月２０日
提出平成１６年１月１７日
問題９－ＡでやったＡ９型星の大気を考える。
（１）波長λ＝０．２，０．４，０．６，０．８，１．２，１．４，１．６，１．８，２．０，２．２，
２．４μｍでの吸収係数ｋ（λ）を使ってロスランド平均吸収係数ｋＲを求めよ。
積分は階段積分でよい。
（２）１０－３節と同じモデルで、連続スペクトルを扱うと、
 
2 k R 
F    B T  R   
3 k 
 
で、星表面のスペクトルが表現されることが分かる。ここでは、
2

T  R    7500K
3

であることに注意して、問題９－Ａで求めたｋλを使って横軸λ、縦軸Ｆλで、
Ａ９型星のスペクトルを描いてみよ。特にバルマー不連続の大きさに注
意すること。
問題１０－Ｂ
問題９－Ｂでやった内からスペクトル型を一つ選び、１０－Ａと同じ
問いにこたえよ。

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