-摩擦- 箱の横滑り ●滑りのメカニズム ・下図で T:滑動力(すべり面に平行な力/せん断力) ・・> T=横力F N:拘束力(すべり面に垂直な力/垂直力) ・・・> N=自重W Tf:摩擦抵抗力(箱に床から作用する滑り抑止力) ・・・ 拘束力Nに比例する ・・・> Tf=μN μ:摩擦係数(μ=tanφ,φ:摩擦角) 横力F T N=W(自重) Tf=μN ※φ:「すべり角」に対応 次図でブロックがすべり 出す時の傾斜角 θ=φ (Fs=1) ※摩擦抵抗力Tf は、滑り面に働く垂直力N(拘束力)に比例する -摩擦- ブロック滑り ●ブロック滑りのメカニズム ・滑動力成分:T=Wsinθ ・拘束力成分:N=Wcosθ T=Wsinθ θ θ Tf=μN ・摩擦抵抗力: Tf=μN=μWcosθ N=Wcosθ W ●すべり安全率: W cos tan tan Fs T W sin tan Tf ※Fs=1 (θ=φ) で滑る ・・・> 摩擦抵抗はブロック重量W,接触面積Aに無関係 ※斜面上のブロックは(外力の作用がなくても)自重だけで滑る -摩擦- 例題-(1)- ●問題 重りQが角α傾斜する床上で重りPと滑車を介して連結 されている。床の摩擦角をφとして、滑り出す限界の力 比P/Qを求めよ。α>φ とする。 *P/Q大の時 *P/Q小の時 Q P α ※重りQは、P/Q大のとき滑り上がり、P/Q小のとき滑り落ちる -摩擦- 例題-(1)解答- ①P/Q小 ~ Qが滑り落ちる ②P/Q大 ~ Qが滑り上がる P-T-μN=0 T-P-μN=0 ↓ 両条件とも、T=Qsinα,N=Qcosα ↓ (P/Q)min=sinα-μcosα P/Q小 P T Tf=μN R (P/Q)max=sinα+μcosα P/Q大 Q N α α P Q N 落ちる T Tf=μN (反力:R=N) R α 上がる α ※P/Q値により2つの滑り出し条件(摩擦抵抗力の方向が異なる) -摩擦- 例題-(2)- ●問題 重さW1及びW2の2つのブロックを糸でつなぎ、上のブ ロックを図のように引張るとき、滑りを発生させる引張力 Pの最小値とその方向αを求めよ。 Pmin W1 α W2 ※各ブロックに作用する力を矢印で描くことが解答の第一歩 -摩擦- 例題-(2)解答- *各ブロックが滑り出す条件式 ①: Pcosα-Fcosβ=S1=μ(W1-Psinα+Fsinβ) ②: Fcosβ=S2=μ(W2-Fsinβ) 両式からF,βを消去し、Pの最小条件を調べる (①+②) P=(W1+W2)・sinφ/cos(α-φ) → Pmin=(W1+W2)sinφ (α=φのとき) ① W1 ② W2 F β S2 α F S1 Pmin ・糸の張力F ・傾角β ※①,②を結ぶ糸の張力Fと傾斜角βは、Pminを代入して逆算する -摩擦- 例題-(3)- ●問題 2つのブロックが糸に結ばれて角度αの斜面上にある。 各ブロックの摩擦係数が異なるとき、W1=W2=Wとして、 ブロックが滑り始める角度αを求めよ。 ② W2 ① μ2 W1 μ1 α ※ブロック①,②が滑り出す2つの条件式を立て、連立して解く -摩擦- 例題-(3)解答- *糸の張力をFと置くと、各ブロックのすべり条件は ①: T-F=μ1N ← T=Wsinα,N=Wcosα ②: T+F=μ2N ①+②でFを消去して整理すると 2tanα=μ1+μ2 → tanα=(μ1+μ2)/2 W T μ2N N ② F W F N ① T μ1N α ※式①,②とも、すべり面に平行な方向の力のつり合い条件式 -図心・荷重中心- 単純図形の図心 *長方形 *三角形 b/2 C b/2 h C C h/3 b/2 a/2 a/2 *2つの対称軸 C *楕円形(円形) b/2 *直方体 *点対称 C ※図心=幾何学的な中心、重心=重力の中心(自重の合力が通る点) -図心・荷重中心- 任意形状の図形 ●断面一次モーメントと図心位置 ・個々の要素のモーメントの和 ・全面積×図心位置 Gx ( x dA) x dA A xc xc x dA dA yc y dA dA ・同様に dA y c(xc,yc) ・全面積: A dA x dA ※個々の要素のモーメントの和は、図形全体のモーメントに等しい -図心・荷重中心- 三角形の図心-(1)- ●三角形の図心位置を求める *三角形頂点からの図心位置 h ay 図心:yc y 2 A yc M yc h 3 dy Ay ・三角形の全面積: A ah 2 ・頂点から y位置の微小面積Ay a ・三角形の頂点回りの断面一次モーメント a Ay a y dy y dy h h a 2 a y3 ah2 a M Ay y Ay y y dy y y dy h h0 h 3 0 3 0 0 h h h ※全面積A×図心yc=全図形の断面一次モーメントM(微小Mの和) -図心・荷重中心- 三角形の図心-(2)- ●下辺からの図心位置 ~ 二等分線との関係 二等分線 *下辺からの図心位置 h Ay 図心:yc dy y ah 1 yc M yc h 2 3 ・下辺から y位置の微小面積Ay a Ay (h y) dy h a ・下辺回りの断面一次モーメント h a a hy y ah2 a M (h y ) dy y (h y ) y dy h h0 h 2 3 0 6 0 h h 2 ※三角形の図心高さycは、辺に垂直な線上で(h/3 or 2h/3) 3 -図心・荷重中心- 図心の求め方-(1)- ●2つの三角形に分割 a ・三角形(1) 面積:A1=ah/2 図心:y1=(2/3)h ・三角形(2) 面積:A2=bh/2 h A1 1 図心:y2=(1/3)h *全面積:A=A1+A2 =(a+b)h/2 *図心計算:A×yc=A1×y1+A2×y2 → (断面1次モーメントのつり合い) AA2 2 yc b 2a b yc h 3(a b) ※複雑な図形の図心は、図心が容易に知れる図形に分割して求める -図心・荷重中心- 図心の求め方-(2)- ●2つの三角形と四角形に分割 ・三角形(1) 面積:A1=b1h/2 図心:y1=(1/3)h ・四角形 面積:A2=b2h h 図心:y2=(1/2)h A1 A2 A2 yc A3 ・三角形(2) 面積:A3=b3h/2 図心:y3=(1/3)h b1 *b2=a, b1+b3=b-a として → b2 b3 2a b yc h 3(a b) ※ycを求める場合、分割した各図形の図心(yi)も下辺から測る -図心・荷重中心- 図心の求め方-(3-1)- ●図形の”和” として求める場合 (①=②+③) 10 ① xc yc 8 10 22 30 8 26 ② ③ ③A3=220 x3=21,y3=19 ②A2=208 x2=13,y2=4 26 428×xc=208×13+220×21 → xc=17.1 428×yc=208×4+220×19 ※xc,ycは左下隅点から測っている → yc=11.7 -図心・荷重中心- 図心の求め方-(3-2)- ●図形の”差” として求める場合 (①=②-③) xc 10 ③A3=352,x3=8,y3=19 ① ③ yc 8 26 30 ② 26 16 ②A2=780, x2=13,y2=15 428×xc=780×13-352×8 → xc=17.1 428×yc=780×15-352×19 → yc=11.7 ※面積も断面1次モーメントも差で計算する 22 -図心・荷重中心- 図心の求め方-(4-1)- ●図形の和・差として求める ・面積: A1=A2+A3-A4 ・図心: A1×xc=A2×x2+A3×x3-A4×x4 → xc ① xc = ② x2 x3 ③ - ④ x4 ※面積・図心とも、図形①=三角形②+四角形③-三角形④ で求める -図心・荷重中心- 図心の求め方-(4-2)-計算例 (問)擁壁の図心位置(xc,yc)を例示した方法で求めよ。 (H=5.4m,B=3.0m,b=0.6m) b *数値表 Ai (m2) xi(m) yi (m) Ai・xi Ai・yi 図形② 図形③ H 1 0.3 yc 図形④ 合計 A O xc B A・xc *答え xc=2.60m,yc=2.10m ※数値表を作成して、穴埋め整理しながら計算する A・yc -図心・荷重中心- 合力と荷重中心-(1)- 荷重強度 q(x) q ●合力Q → 分布の面積 Q dQ dQ q ( x)dx A B ●合力Qの作用位置 xc → 分布の図心 Q xc dM dQ x x q(x) q( x)dx x q( x) x dx xc q( x) x dx q( x) x dx Q q( x)dx xc x Q a dQ q(x) A b dx ※分布荷重の合力は分布の面積、荷重の中心は分布の図心で求まる B -図心・荷重中心- 合力と荷重中心-(2)- xc ●不連続荷重 Q Q1 Q2 Q1 x1 Q2 x2 xc Q x2 x1 Q1 x1 Q2 x2 xc Q ・合力もモーメントも符号を考慮 して加算する Q2 Q1 ●正・負の荷重 Q Q1 Q2 Q Q1:正荷重 x1 Q Q2:負荷重 xc x2 ※不連続や正負の分布荷重は、分割して個々の合力の加減算で求める -図心・荷重中心- 例題-(1)線荷重- ●線荷重の中心:xc Qi (kN) xi(m) Qi・xi 左分布 7.68 3.2 24.6 右分布 3.84 5.6 21.5 合計 11.5 46.1 3.2kN/m *左分布の計算: 4.8m 2.4m x 4.8 Q=11.5kN Q1=7.68kN 2 x 7.68kN 3. 2 q( x) x 3 4.8 Q2=3.84kN Q 4.8 0 x2 2x dx 3 3 0 q( x) xdx 4.8 0 3.2m 4.01m 5.6m 2x2 dx 3 24.6kN-m 4.8 2x 9 0 3 ※分布荷重の合力は分布の面積、荷重の中心は分布の図心で求まる -図心・荷重中心- 例題-(2)水圧合力・作用位置- ●問題 図の水門に作用する水圧の合力と作用位置を求めよ。 h1=10m,h2=20m とする。 ●水圧分布 h1 z ・深さzの水圧pw(z) pw(z)=γw×z (γw=9.80kN/m3) pw1 h2 H 水門 ・pw1=98.0kPa ・pw2=196.0kPa pw2 ※水門に働く水圧は、上下辺が(pw1,pw2)、高さHの台形分布 -図心・荷重中心- 例題-(2)水圧合力・作用位置- ●(分割1)三角形と四角形 Pw1=pw1×H=980kN/m z1=H/2=5m Pw2=(pw2-pw1)×H/2=490kN/m z2=(2/3)H=6.67m ●(分割2)2つの三角形 Pw1=pw1×H/2=490kN/m z1=H/3=3.33m Pw2=pw2×H/2=196kN/m z2=(2/3)H=6.67m → Pw=Pw1+Pw2=1470kN/m zc=(Pw1×z1+Pw2×z2)/Pw=5.56m pw1 Pw1 z1 Pw2 pw2 pw1 Pw1 z z1 z2 2 Pw2 pw2 ※上記の深さ(z1,z2,zc)は、分布の上面から測った値とする -滑動・転倒- 滑動-せん断すべり- ●滑動(摩擦抵抗と粘着抵抗) ・すべり抵抗力Tf (滑動阻止力) Tf cA N cA N tan N:垂直力(拘束力) A:構造物の底面積 c:粘着力・付着力(kPa) μ:摩擦係数(=tanφ) (φ:摩擦角) ※N=W(自重) T=F(横力) c,μ(φ) F N T すべり抵抗力:Tf *滑動安全率: Fs Tf T ← 滑動力T (水圧・土圧など) ※土質力学の安定問題は、構造体の「滑動(横滑り)」と「転倒(倒壊)」 -滑動・転倒- 転倒-回転倒壊- ●転倒 (構造物の倒壊) ・転倒(左回り)モーメント MD=F×h 転倒:MD 抵抗:MR a ・抵抗(右回り)モーメント W MR=W×a F ※a,h:モーメントの足の長さ h *転倒安全率: MR Fs MD A 回転軸 ※図の転倒は、点A回りのモーメントを比較して安全性を評価する -滑動・転倒- 例題-(1)水圧による滑動・転倒- ●問題 コンクリート壁の水槽に満水状態で貯水があるとき、壁の滑 動と転倒に関する安全率を求めよ。 60cm γc=24kN/m3 3m 壁重量:W H xc 3m 水圧合力:F zc A 底面接触抵抗 c=48.0kPa μ=0.450 3.2m ※壁に働く力は水圧Fと壁の自重Wで、Fが滑動・転倒の作用を及ぼす -滑動・転倒- 例題-(1)水圧による滑動・転倒- *壁に作用する水圧 ・p=γwH=58.8kPa の三角形分布 ・合力:F=γwH2/2=176kN 6m F=176kN ・作用位置:zc=H/3=2m zc=2m *壁の重量と作用位置(点Aから) 58.5kPa ・四角形:W1=86.4kN/m,x1=2.9m ・三角形:W2=93.6kN/m,x2=1.73m x1 ↓ 壁の全重量:W=180kN/m 図心:xc=2.29m W1 x2 A W2 ※壁は図心が明確な三角形と四角形に分割してWとxを計算する -滑動・転倒- 例題-(1)水圧による滑動・転倒- ①滑動安全率 cA (W1 W2 ) 48 3.2 0.450 (86.4 93.6) Fs F 176 235 1.34 176 ②転倒安全率 W1 x1 W2 x2 86.4 2.9 93.6 1.73 Fs F zc 176 2 412 1.17 352 ※壁の効果は(W1,x1)と(W2,x2 )に分割したまま計算する -滑動・転倒- 例題-(2)土圧による滑動・転倒- ●問題 L型壁の土圧に対する滑動・転倒安全率を求めよ。 50cm γc h/4 =24kN/m3 h=5m 3h/4 50cm A 3.0m pa=20kPa ※壁は直立部と前底部の2つの四角形に分割して計算 底面接触抵抗 c=27.0kPa μ=0.340 -滑動・転倒- 例題-(2)土圧による滑動・転倒- x1 *壁の重量と作用位置 x2W2 ・W1=bhγ=60kN,x1=2.75m ・W2=b(B-b)γ=30kN,x2=1.25m A *壁に作用する土圧 P1 ・P1=pa・(h/4)/2=12.5kN,y1=4.17m ・P2=pa・(3h/4)=75.0kN,y2=1.88m Fs (滑動) cA (W1 W2 ) 166 1.90 P1 P2 87.5 W1 x1 W2 x2 203 Fs (転倒) 1.05 P1 y1 P2 y2 193 ※土圧分布も三角形と四角形に分割して計算 W1 P2 y1 y2 ※W,Pは単位奥 行当りで計算
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