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７章：局所的な問題
これまでの議論で重力波が重要な役割をしていることは理解できる。しかし、重力波は一般に空間的ス
ケールが小さく、全球には一様に分布していない。最近の衛星データの出現により、下部成層圏において
は重力波の全球分布が出始めており、それによると下部成層圏においてはかなり局所性がある。また、
高分解能の大循環モデルの出現により、全球の重力波の様子が分かり初めているので、そのことについ
て議論をしておこう。
Tsuda et al.(2000) による重力波に伴うPotential Energyの分布
May-Aug Potential Energy
20-30 km average (λz:2-10 km)
OLR: May-Aug average
興味ある場所：大西洋（ITCZからずれている）
アフリカで対称的なシグナル
南米やインドネシア <− OLRと対応か
東太平洋（ITCZ上）
冬半球が夏半球より強い
--> ある部分の成因を高分解能モデルを用いて対流圏も含めて考えること
補足：局所的な波に伴う平均運動
McInture，1973, J. Fluid のように具体的な計算例はいくつかある。ー＞より大きな波動の生成を議論
一般化の問題として：
Andrews and McIntyre, 1978, J. Fluid はLagrange的平均の式やwave actionの式を導いているが、平均流と波の量が
混在していて、すっきりしない。
平均流の式：
D L (u L i  pi )  (u L k ),i (u L k  pk )  2(Ω  u L )i   ,i
 ( S L ),i T ( S L , p ξ )  X L i   j ,i X l j  ( p ξ ),i q


1

  H ( S L , p ξ )   L  u ξ j  u ξ j  (Ω  ξ ) j 
2

H ( S , p) / p  1 /   1 / F ( S , p) H ( S , p) / S  T ( S , p)  ( S , p)  H ( S , p)  p / F ( S , p)
pi (x, t )   j ,i u l j  (Ω  ξ ) j

  F (S
q   F (S ξ , pξ )
1
L

, pξ )
1
Sξ  S L  Sl
 (x, t )   x  ξ (x, t ), t
L
Wave-actionの方程式：
~ 1  B  F
D LA  

 uL 
t
L
D ( x  ξ ( x, t ))  D LΞ  u ξ
A  ξ, (u l  Ω  ξ )
D Lξ  ul
~  ξJ

DL 
J  detΞi , j   det ij  ξ i , j 
B j  p ξ i , K ij
 ( x, t )   x  ξ ( x, t ), t
L
u l ( x, t )  u ξ  u L
~
~  u L  0
D L
K ij  (1   m , m ) ij   j ,i  kij
F   i , X l i  ( p l ) , q
kij is the (i, j )th cofactorof  i , j
Du j / Dt  2(Ω  u) j   , j   1 p, j  X
q  1 / F ( S ξ , p ξ )  1 / F ( S L , p ξ )
  F ( S , p)
j
0
局所的重力波をみる為の方法として、ここではCCSR/NIES 大
気大循環モデルを用いる：
球面上の静力学平衡を仮定したprimitive equation
対流のパラメータ : Arakawa-Schubert
水平分解能 : T106 ( lat ×lon ≒ 1.125ﾟ×1.125ﾟ )
数百km以上の重力波を分解可能。対流圏ではメソα擾乱が分解、
100 km以下の重力波は考えられない。ー＞より高分解能が必要
鉛直分解能 : 60 layers ( from surface to about 50 km)
550m vertical resolution in the upper troposphere and lower stratosphere
下端の境界： climatology SST with realistic topography
データが膨大なので : 1 hour (analysis data of gravity waves for 11-16 June)：１週
間のデータくらいを見る。
低分解能大循環モデルでは（山岳及び動く）重力波をパラメータするが、ここではそ
れは入っていない。ー＞モデル内で自然に作られた重力波
気候値は？
温度と東西風の平均場 June-Aug.
観測
モデル
差(Obs - model)
大枠の気候場は再現されているー＞重力波を見ること
precipitation for one week in June (6/10-6/16)
weekly averaged Precipitation
Observation in June
大体の局所的分布はいいであろう。
ITCZ, SPCZ, the Baiu front (Kawatani and Takahashi, 2003) などが再現
ただし、インド洋、ベンガル湾などでは多い雨になっている。またインドネシアで少ないよ
う。中緯度の雨もモデルで多いよう。
エネルギースペクトル
スペクトルの傾きが約500km horizontal scale で変わる(Nastrom and Gage, J. Atmos. Sci., 1985). 長波長ではー３乗則（２
次元乱流？）、それより短波長ではー５／３則（３次元乱流的？）になっている。T106 resolution model resolves
several100km scale, でもある程度（すこしスケールが大きいところで曲がっている）は表現されているよう。
100km
1300km
T106 model spectrum
Observational spectra
重力波の大雑把な比較として、梅雨期（モデルで梅雨前線がそれなりに表現されて
いる）のMU-レーダデータとの比較
Time-height cross-sections for meridional wind
JUN17-JUL8, 1991 MU radar
(by Dr. Ogino)
GCM (135゜E, 35゜N)
鉛直波長～4km, 南風のとき重力波が強そう
→類似の構造がこのモデルで再現されていそうー＞詳しく解析
モデル出力から重力波をとりだすこと：
1. 短周期成分を取り出す
→ high pass filter
１日振動
30時間以下成分を取り出す
（スペクトル解析の卓越時間成分を含
む）
別方法：
2. 短い鉛直波長を重力波とみなして取り出
す
対流圏領域(2-9km)
圏界面領域(9-17km)
成層圏領域(17km-)
３次多項式fitting（各時間、各グリッド）
→リファレンスプロファイルを作成
→差を重力波成分とみなす
SPARC Gravity Wave Initiative Project
おいて行われている方法
2. の方法は赤道波も含むであろう。
温度の緯度-周波数スペクトル分布
(20-30km，帯状平均）
実線：24時間, 破線：12時間,
曲線：慣性振動数
具体的にGCMでのPotential Energyを見
積もること:
ここは、３０時間までの短周期の重力波に
伴う
モデルのOLR
Observed Potential Energy（ただし5-8月の平均）、
これくらいの期間が必要のよう
強い PE が赤道域に偏っている（20S-20N）←corresponding to low OLR
大雑把に観測と類似であろう。インド洋はモデルが強いよう。
南極域はあまりみれないー＞分解能か？
Large PE が大西洋にあるー＞？
PEの大きな熱帯大西洋の物理場を詳しくみて、原因を調べること
週平均の降雨の分布
鉛直流の瞬間値 at 100hPa
傾いた波状の構造が大西洋上に見えていて、ITCZから伝播しているふう
鉛直流の緯度-時間断面図 (経度5W-15W の範囲)
200hPa
70 hPa
TIME
LAT ITCZで対流の場所
北と南、両方に伝播
この高度では南方向伝播のシ
グナルが見えやすい
大西洋の大きなPE のある場所(10S, 10W)の短周期南北風の
時間-高度図：
HEIGHT
~10 hPa
から ~80hPaで位相の下方
伝播がみえる
↓
エネルギーの上方伝播に
なっているであろう
対流圏ではシグナルはあ
まりはっきりしない
TIME
鉛直波長: 5-10 km, 周期: 24 hoursのシグナルになっている
重力波の南北-鉛直伝播のエネルギー流れ：
重力波のエネルギーフラックス (矢羽根)
& 東西風 (実線) & 対流による大気加熱のSTD (8W-13W 平均)
南北、鉛直断面での
重力波のエネルギーの流れをみている
・積雲対流
→南と北に伝播している
・南方に伝播した波は
70 hPaくらいでおもに上方に
HEIGHT
・20 hPa levelで,
北向きにかわる、
エネルギーフラックスの収束
（相互作用の項は風が弱く、小さい）
→ 強い収束(blue shaded)
が対流のある場所とはズレている
LAT
重力波の分散式（波の東西波数、南北波
数、鉛直波数、振動数の関係）から：
l2 
ˆ

2
これらから、２４時間周期の重力波が
ITCZから生成され、大西洋に伝播、収
束してPEが大きくなっている。

 f 2 m2
k2
N2
ここで、基本風は弱い：
これまでの図から
λx =1500km, N2=5E-4, λz=6km
と仮定する（これらはそれほど変わって
いないよう）
この時、南北波数は変化しているような
ので（これも図から）、l＝０になる緯度を
見積もる

 sin 1
ˆ
2
k
2
N
2
2
m2
propagating
large energy

24時間の周期の重力波として、φは20゜
程度になるー＞そこらで曲がっている。
エネルギーのソースは5Nあたりの
ITCZ内の対流のようである
↓
ITCZ内の対流の様子を確認する
重力波が作られているところ（対流圏 ITCZ ）を調べる
降雨の経度-時間断面図：
(0-15N平均)
降雨のスペクトル
(0-15N平均,領域:0E-30E)
→ 東向き、西向きの１日振動の波が卓越
TIME
LON
１日振動が卓越している
降雨の空間スケール
モデルで１日振動が再現されているが、それが全球で現実的かを観測結果で確認する
モデルでの短い雨の比率：アフリカ、インドシナ、インドネシア、南米で短周期擾乱の比率が高い：下の観測
と似た分布ー＞短周期の対流が現実的であることを示している。
衛星観測に於ける3 年平均（南北に広がる）の１日振動対流の振
幅：Ricciardulli and Sardeshmukh (2002)
赤道大気レーダー観測：インドネシア西ス
マトラ州 (100.32E, 0.20S)東西風の (2001年
7-12月)、15-20km
（辻野ら、2003年）
補足：１日振動ー＞重力波に伴う (<30h period) 水平エネルギーフラックスの分布
（100-50mb）と対流性の降雨との対応
矢羽根がフラックスのエネルギーの流れを示しており、それが降雨の場所から流れでている様子を示して
いる
1985-86
July
Jan.
1974-78
J-A
D-F
Energy flux at 100-50mb with convective
precipitaion
Energy fluxの出てきている所がメソ擾乱の多いと
ころとは対応している
-> 雨とメソ擾
乱の場所がよ
く対応
観測されているMeso擾乱: Laing and
Fritsch, 1997, QJRMS
短い鉛直波長でPEを見てみると異なる構造が
見える
例として熱帯大西洋上空でのPEを詳しく見てお
く：
短鉛直波長
短周期
？
Marquardt et al.,
2004, 2003 GPS
PE(7km range
from 2km above
the
tropopause)
短周期の重力波の場合とくらべ、異なるとこ
ろがある。
アンデス山脈上で大きなシグナル
←山岳起源の重力波である
アフリカから大西洋上の構造が異なる
東太平洋（ITCZ）ですこし大きなシグナ
ル
インドネシアあたりで大きなシグナル
・6Nと6Sのシグナル
赤道に対称的になっている、東西に伸張
→赤道波？のように思える
GPS/MET 観測のPE:3-8月λz<10km：
アフリカで対称的なところもあり
短鉛直波長の東西風の経度-時間断面図
上：(6N, 35hPa) 下(6S, 35hPa)
短鉛直波長の高度場のsnap shot (35hPa)
ー＞赤道反対称
西進
τ=4-5day
赤道反対称
時
間
混合ロスビー重力
波モード
Matsuno(1966)
Rossby Gravity Waveの分散関係式
m  sgn( )
N
2
(  k)
に 6S に於ける各パラメータをいれる：
λx~7000km, τ~4.5day, N~2.2E-2,

u~8m/s
→ 鉛直波長 ~ 3.5km
GPS/MET観測、GCMに見られる
赤道対称のPotential Energy
→混合ロスビー重力波のよう
OLRでみた対流圏の中のRG波はどんなになっている
か：例えば、Wheeler and Kiladis, 1999, JAS, をみると、
反対称モード
対称モード
冬
夏
スペクトル分布：左下にRossby重力波に対応したシグナ
ルがある
Rossby重力波成分の強度水平分布：この図
ではアフリカあたりはシグナルがない。
ー＞特殊な例のよう
インドネシア近傍のPEについて
短鉛直波長東西風の経度-時間断面図
(Eq, 35hPa)
短鉛直波長
短周期
Vにはシグナルがないので、大きな場
はKelvin波的構造のようである。周
期：7日程度？
より短周期で東に伝播する波がのっ
ている
中緯度下部成層圏における重力波の役割：＜ー東西平均としてみると
６月の南半球、中緯度の100mb level における重力波のEliassen-Palm flux Divergence
重力波にともなう東風加速が30S 近傍にある。その大きさは約 - 0.4m/s/dayの大きさである. その値は右図の惑星波動
や傾圧波動にともなう東風加速の大きさとと比べても５０％近い大きさをもっている. 寄与する重力波は40S あたりの
ジェットから生成されているように見える.
全ての擾乱によるEliassen-Palm flux 発散
は 1m/s/dayより小さい
残差循環によるforcing成分
傾圧不安定波帯での重力波の１例：
東西風の経度ー緯度断面図
発散場の経度時間断面図、重力波と思われるシグナ
ルが見える。
この重力波：水平波長が~ 600km 、鉛直波長~4km
程度と見積もられる。100mbあたりにシグナルが見
える。 Cx ~ 17m/s (ホフメラーより）
この高度での西風~30m/sよりすこし遅い
東西方向全体的にみると：
ー＞200-100mbでの local な重力波のEnergy flux と運動量flux
下層 400300mbでの重
力波に伴う水
平energy flux
の経度-緯度
の分布図
30Sあたりに重力波の運動量
flux u’w’ < 0がみえる
--＞
風によ
るfilter
中緯度対流圏(400mb)でのwのスペクトル, 〜 2000km, c
〜20m/s gravity wave がみられる。
中緯度成層圏100mbでは、1000km程度の基本流に対
してはwestward propagating 重力波のシグナルが見え
てくる。
赤道域圏界面付近：
赤道域の150mbにおいての全ての擾乱のEliassen-Palm flux 発
散は〜2m/s/day程度の大きさとなっている。
モデルでの水平成分 EP-flux 発散の図、赤道域は水
平成分が主成分である。
赤道域の200mb level （平均東西風は東風）での重力波によ
るforcingは西風加速になっている。その大きさは〜 0.4
m/s/day 程度の寄与をもっている。
赤道域の観測にもとずく eddy による水平flux 発散の大き
さは : 〜1m/s/day程度である、北半球が夏の平均
赤道域上部対流圏において全ての擾乱では水平輸送が大事であった -＞
upper equatorial troposphereにおける西風加速の東西非
対称性をみてみる:
エチオピアあたりで-u’v’ >0, 東風運動量が北向きになっ
ている-> アフリカあたりの赤道域で強い西風加速を起こし
ている、南北成分のみ
150mbでの全ての波動による東西風加速の経度／緯度
分布、場所によって加速が異なる。
鉛直波長で取り出した重力波のEliassen-Palm flux と発散の水平分布 in June
短鉛直重力波による200hPaにおける局所的
に見積もられたEP flux の鉛直成分：アフリカ
東部からの重力波と思われる。
EP flux Divergence の水平分布（200hPa）：アフリカから
インド洋にかけて強い西風加速になっている、局所性が
強い。
補足：短周期重力波のEliassen-Palm flux (と発散、青系統が東風加速を意味する) : 南北-高度断面図 in June
赤道域の200mb level （平均東西風は東風になっている）での重力波によるforcingは西風加速になっている。その西風
加速の大きさは〜 0.３m/s/day 程度の寄与をもっている。
短周期重力波による150hPaにおける局所的に
見積もられたEP flux 発散の図である：
Eliassen-Palm flux (arrow) of gravity waves and Divergence of EP
flux. Blue colors correspond to easterly accelaration
場所により異なっている。赤道ではアフリカか
らインド洋あたり西風加速で大きい
左図は右のものの東西平均である
短周期重力波のEP-fluxの鉛直成分が主な加速に効いているー＞赤道上の重力波にともなう鉛直運動量flux u’w’
重力波にともなう鉛直momentum fluxを示している.
200-100mb の高度で東半球は東向きの運動量を上向
きに運んでいる成分が卓越。一方、西半球においては
西向き運動量を上向きに運ぶ成分が卓越している.
10-3
u’w’の200-100mbでの水平分布図
モンスーンー＞インドから日本付近まで大きな
u’w’>0の運動量fluxがみえる。
東半球ではu’w’>0に、西半球はu’w’<0のような経度依
存性がある。
前図からー＞赤道域において、全ての擾乱によるNet
の加速は200mb -100mb の高度で西風加速であった。
衛星観測で見積もられた、重力波にともなう絶対値（方向
までは求められていない）の運動量flux は a few 10-3
u' w'
Pa(
)、 Cryogenic
Infrared Spectrometers and
Telescopes for the Atmosphere (CRISTA-2観測: 8月,
1997, 1 weekのみ)

補足：20-30kmあたりの波の運動エネルギーの水平分布
重力波の
運動エネ
ルギーの
水平分布,
KEは30度
あたりにた
まる感じ。
20mb(〜26km)
あたりでは水平
エネルギーflux
が複雑な構造
になっている。
30Sあたりでは
円的な構造を
示しているとこ
ろもある。
対応した重力波の位置エネ
ルギーの水平分布
補足２： Pseudo-energy、（ Andrews and McIntyre, 1978, J. Fluid ）
Ttt  ~e  ( L  L0 ) e  ξ ,t  (u l  Ω  ξ ) Ttj  u L j ~e  p ξ m,t K mj
1

L  ~  (u L  D Lξ ) 2  Ω  (x  ξ )  ( u L  D Lξ )  (x  ξ )   ( ~ / J , S L )
2

T  ,  L / ,  L  K mj  J /  m, j L0  L(0,0,0; m eanfields)
  Ldxdt  0 T ,  0
Pseudo-momentum
 Tit  ~pi (i  1,2,3) p  Eˆ k / ˆ ˆ    k  u u L  u  O(a 2 )
 Tij  u L j ~pi  p ξ m,i K mj  ( L  L0 ) ij
浅水系では
(u'1 ) 2 cˆ 2 (h'1 ) 2
cˆ 2


E
 2
Dt E    h'1 u'1  u '1 v'1U y Dt   U ( y )
2
H
2
H
t
x
h' u '
Stokesdrift u S 2  1 1 Dt   u2  v2 (   U yy )  ( f  U y )  u2
H
 v S 2 (   U yy )  ( f  U y )  u S 2 Dt h2  H  u2    h'1 u'1
2
2
2
E
2 2 h2
2 
( 2  cˆ  )  ( 2  cˆ
) 2  f 0  u L 2
t
H
t
2 cˆ
補足３： pseudo-エネルギーと呼ばれる量の保存則の１例：
MacKay, 1998, J. Atmos. Sci. Front system と重力
波に適用可
Du

Dt
Dv

Dt


z

ux
fv  

fu

 vy

D
Dt

g


x

 
y
0
 wz
 0
 0
２次元のHamilton形式から、
1 2 1 2
g 
H    u  (v  fx)  (v  fx) fx  z dxdz m  v  fx
0 
2 2
1 qˆ
~
C(q)    ( )d : Casimirs ( y, z)  y  ( z) Q( z)  f z  

U ( z)  z   ( z)  ˆ (Q) A  H   μ H  C  μ Cdxdz

f0
1 2
μ  ( , m, ) Γ  (, M , ) M  fx   z q  ( , m)  
2
g
T
y微分は落として、小振幅近似のもとで、以下のような式が
得られる。
A'  
1

f
f

  z ( A' ( 'z ) 2  ' ' )  z  'x m'z   'z  'z  z  ' 'z 
t x 
2






f
f

  'zt  ' fm' ' z  'x m'x   'z  'x  z  ' 'x 
z 




ここで、
1
1
1
1
 
A'    ( 'z ) 2  (m' ) 2  ( ' , m' )  (q' ) 2 ( z )dxdz
2

2
 Qz 
2
u   z w   x m  v  fx (absolutemeridionalmomentum)
1
~
  z 2 U  z     y   ( z ) Q  f  z   
2
f
q  ( , m)  0     zz q'  ( ' , M )  (, m' )  ( ' , m' )   '
g
 f 'z  z m'x  '( ' , m' )
式は導いた。さてそれでどうつかうか？

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