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第３回
座標変換
芝浦工業大学情報工学科
青木義満
今日の講義内容
 座標変換(教科書２章，2-1 〜 2-2)
カメラ，光源の位置，方向，モデル形状の記述，変換な
どに共通して必要な座標変換について学ぶ

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
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座標系
２次元座標変換
３次元座標変換
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教科書との対応
 「コンピュータグラフィックス」 , CG -ARTS 協会

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Chapter 2-1 2次元座標変換 pp.16-25
Chapter 2-2 3次元座標変換 pp.26-31
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キーワード
 平行移動
 拡大・縮小
 回転
 同次座標
 鏡映変換
 合成変換
 アフィン変換
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２次元直交座標系と曲座標系
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２次元座標系での図形表現の例
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平行移動
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拡大・縮小
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回転（原点中心）
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2次元アフィン変換
 x'   x   a 
平行移動        
 y'   y   b 
 x'   a 0  x 
 
拡大・縮小    
 y '   0 b  y 
 x'   cos
回転    
 y'   sin 
一般化！
 sin   x 
 
cos  y 
 x'   a b  x   e 
   
    
 y'   c d  y   f 
アフィン変換
せん断
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アフィン変換をもっと簡単な形に ~
同次座標
(homogeneous coordinates)
 x'   a b  x   e 
   
    
 y'   c d  y   f 
積
１つ次元を
上げると・・・
 x'   a b
  
 y'   c d
 1  0 0
  
和
e  x 
 
f  y 
1  1 
積のみ！
 図形の変換を全て行列の乗算1回で処理可能
 画像生成や対話的な形状処理等で，複雑な座標変換がす
べて行列の形で処理できる
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同次座標系
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同次座標導入の利点
 同次座標を使わない場合

一回目のアフィン変換
P'  M1 P  b1

二回目のアフィン変換
P''  M2 P'  b2
P ''  M 2 ( M 1 P  b 1 )  b 2
P ''  M 2 M 1 P  M 2 b 1  b 2
 同次座標を導入した場合
P '  H1 P
P ''  H 2 H 1 P
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H1,H2： 2D -> 3 x 3 のアフィン変換行列
H1,H2： 3D -> 4 x 4 のアフィン変換行列
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鏡映
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鏡映（数式記入）
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せん断（スキュー）
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せん断（数式記入）
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合成変換の例〜回転（中心が原点以外）
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合成変換の例〜拡大・縮小，鏡映
 拡大・縮小
 鏡映
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合成変換に関する注意
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３次元座標系
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極曲座標系と円柱座標系
 極座標系
 円柱座標系
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３次元図形の記述
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平行移動
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拡大・縮小
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回転
 X軸まわり
 Y軸まわり
 Z軸まわり
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鏡映とスキュー
 xy平面に関する鏡映
 Y値が大きいほどx軸方向に大きく歪むスキュー
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同次座標（3次元）
 3次元座標値を，一つ次元を上げて4次元空間の中で処
理
( x, y, z )
( x, y, z, w )
 (x/w, y/w, z/w) が三次元座標値となる
 w=1のときはそのまま(x, y, z)が座標値
2次元アフィン変換と同じく、
座標変換をまとめて表記できる！
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3次元アフィン変換
 x'   a
  
 y'   c
 1  0
  
b
d
0
 x'   a11
  
 y '   a21
 z'    a
   31
1  0
  
e  x 
 
f  y 
1  1 
2次元
a12
a22
a32
0
a13
a23
a33
0
bx  x 
 
by  y 
bz  z 
 
1  1 
３次元
P(x, y, z) からP(x’, y’, z’) へのアフィン変換（同次座標による表現）
P  AP
'
（A：アフィン変換行列）
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３次元座標系における合成変換の例
 点(xo, yo, zo)を中心とする拡大・縮小
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次回講義内容
 投影

３Dシーンを２Dに投影する方法
 ビューイングパイプライン

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図形定義から画面描画までの座標系の幾何学的変換
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