原子核物理学第４講原子核の液滴模型 1 液滴模型  電子散乱などから得られた原子核の電荷密度は次の特徴をもつ  表面が明瞭である（原子核表面で密度が急速に減少）  内部の密度は原子核に依らずに一定（密度の飽和性）  Fermi の分布関数でよく記述できる  原子核の液滴模型     原子核の最初の模型原子核を非圧縮性流体（密度の飽和性から）と考える原子核全体の性質を記述する模型量子流体であるので，通常の流体の液滴とは異なる ⇒ 核子は Fermi 粒子であり，Pauli 原理がはたらく原子核内では，核子間距離が大きく核子の衝突は稀である通常の流体では，粒子間の距離が近く粒子の衝突が頻繁 2 核子間距離  原子核の結合エネルギーは核子数（質量数 A）にほぼ比例する ⇒ 核子は限られた個数の核子とだけ相互作用する（核力の飽和性）全ての核子と相互作用するのであれば，結合エネルギーは A2 に比例する  原子核の半径は  原子核を球として，１個の核子が占める体積は１個の核子が占める体積を球と仮定すると，その半径は核子間距離は球の半径の２倍程度 3 核子間距離と原子核の結合エネルギー  原子核は自己束縛（量子）多体系  原子核は  大きな正の運動エネルギー  大きな負のポテンシャルエネルギーのバランスによって結合している  粒子を狭い空間に閉じ込めると運動エネルギーは増大する  核力の到達距離は 1.5 fm 程度であるので，核子間距離が広がるとポテンシャルエネルギーは急速に減少する 4 原子核の結合エネルギー 5 結合エネルギーの特徴 1. 結合エネルギー B(A,Z) は質量数 A に比例する。核子あたりの結合エネルギーは，ほぼ一定。 2. 核子あたりの結合エネルギーは A = 60 付近で最大になる。 A = 60 以降は単調に減少する。 3. 質量数 A を固定して，陽子数 Z 依存性をみると，Z の２次曲線で近似できる。 4. ３．をさらに詳しく見ると，質量数 A が奇数のときは１つの２次曲線で表されるの対して，偶数のときは２つの２次曲線で表される。陽子数が偶数の原子核は奇数の原子核に比べて結合エネルギーがやや大きい。 5. 質量数が小さい領域では，陽子数と中性子数が同数ずつ（Z = N）もつ傾向がある。質量数が大きい領域でも同様な傾向があるようである。 6 半経験的質量公式 Weizsaecker の質量公式 β安定線へ 7 １．体積エネルギー項  流体の凝集エネルギーは流体の量に比例する  原子核のエネルギーの場合には，最も粗い近似で，核子の数，すなわち，質量数に比例する結合エネルギーの飽和性  核子のあいだにはたらく核力は平均して引力であるそのため，エネルギー E1 には負号をつけてある結合エネルギーには正で寄与する ⇒ 結合を強める  他の項（対エネルギー項を除いて）は全て逆符号で結合エネルギーに寄与する ⇒ 結合を弱める  体積エネルギー項によって，原子核は束縛系として存在できる 8 ２．表面エネルギー項  液滴の表面には表面張力がはたらく  単位面積あたりの表面張力をとすると，半径が R の球状液滴の表面エネルギーは，表面張力と球の表面積の積で与えられる：液滴の体積が質量数に比例すると考えると  表面エネルギーは原子核のエネルギーを増加させるので，結合エネルギーを減少させる  核子は，そのまわりの核子から引力を受けているしかし，表面にある核子は，内部にある核子からだけ引力を受ける表面効果として，エネルギーを増加させる表面エネルギー項が現れる 9 ３．Coulomb エネルギー項  半径 R の球に電荷 Ze が一様に分布していると考える  積分の前の因子は Z 個の陽子から２個を取り出す組み合わせの数積分を実行して  Z ( Z – 1 ) を Z2 で近似  Coulomb エネルギーは原子核のエネルギーを増加させる ⇒ 原子核の結合エネルギーを減少させる 10 ４．対称エネルギー項陽子数が 1 から 20 までの安定な原子核 11  Coulomb 相互作用を除くと，原子核は同数の陽子と中性子をもとうとする傾向がある ⇒  中性子数と陽子数の比 N / Z が同じでも，核子数が２倍になれば対称エネルギーも２倍になるはず  この式は，Z = N のまわりに N – Z について展開して，最低次の２次の項だけをとったもの原子核の質量の実験データは，N – Z に比例する項はないことを示す 12 ５．対エネルギー項  原子核は同種の核子を偶数個もとうとする性質がある  A = 奇数の原子核の質量は１つの２次曲線で近似される  A = 偶数の原子核の質量は２つの２次曲線で近似される  従って，次の３つの場合に応じて 1. Z = 偶数， N = 偶数 2. Z + N = 奇数 3. Z = 奇数， N = 奇数 13 対エネルギー項の質量数依存性  原子核の質量の実験値から，対エネルギーが求められる ⇒ 右図  実験値を次の関数で近似的に表す（右図の曲線）  これとは異なる関数型を用いることもある 14 β安定線  質量数が等しい原子核の中で，結合エネルギーが最大の原子核 ⇒ 下図の曲線（黒い四角は安定同位体） 15 結合エネルギーの内訳  質量数の増加とともに，表面の効果は減少  質量数（陽子数）の増加とともに，Coulomb エネルギー項は増大  対称エネルギー項は小さく見えるが，この項は本来「非対称エネルギー」 16 原子核の結合エネルギー安定な原子核全ての原子核 17 殻効果  半経験的質量公式は，全体として実験値をよく再現する  しかし，詳細に比較すると，特徴的な違いが見られる  質量数が小さい領域  質量数が A = 90, 140, 210 の領域  実験値－質量公式の値を，横軸に「陽子数」，「中性子数」をとって表すと（右図），違いが顕著に見える ⇒ 魔法数 18 核物質  対称核物質核子あたりの結合エネルギー（ Coulomb エネルギーを無視する）  中性子物質（中性子星）核子あたりの結合エネルギー 19