スライド 1 - Theoretical High Energy Group

原子核物理学
第4講 原子核の液滴模型
1
液滴模型
 電子散乱などから得られた原子核の電荷密度は次の特徴をもつ
 表面が明瞭である(原子核表面で密度が急速に減少)
 内部の密度は原子核に依らずに一定(密度の飽和性)
 Fermi の分布関数でよく記述できる
 原子核の液滴模型




原子核の最初の模型
原子核を非圧縮性流体(密度の飽和性から)と考える
原子核全体の性質を記述する模型
量子流体であるので,通常の流体の液滴とは異なる
⇒ 核子は Fermi 粒子であり,Pauli 原理がはたらく
原子核内では,核子間距離が大きく核子の衝突は稀である
通常の流体では,粒子間の距離が近く粒子の衝突が頻繁
2
核子間距離
 原子核の結合エネルギーは核子数(質量数 A)にほぼ比例する
⇒ 核子は限られた個数の核子とだけ相互作用する(核力の飽和性)
全ての核子と相互作用するのであれば,結合エネルギーは A2 に比例する
 原子核の半径は
 原子核を球として,1個の核子が占める体積は
1個の核子が占める体積を球と仮定すると,その半径は
核子間距離は球の半径の2倍程度
3
核子間距離と原子核の結合エネルギー
 原子核は自己束縛(量子)多体系
 原子核は
 大きな正の運動エネルギー
 大きな負のポテンシャルエネルギー
のバランスによって結合している
 粒子を狭い空間に閉じ込めると運動エネルギー
は増大する
 核力の到達距離は 1.5 fm 程度であるので,核
子間距離が広がるとポテンシャルエネルギーは
急速に減少する
4
原子核の結合エネルギー
5
結合エネルギーの特徴
1. 結合エネルギー B(A,Z) は質量数 A に比例する。
核子あたりの結合エネルギーは,ほぼ一定。
2. 核子あたりの結合エネルギーは A = 60 付近で最大になる。
A = 60 以降は単調に減少する。
3. 質量数 A を固定して,陽子数 Z 依存性をみると,Z の2次曲線で近似で
きる。
4. 3.をさらに詳しく見ると,質量数 A が奇数のときは1つの2次曲線で表
されるの対して,偶数のときは2つの2次曲線で表される。
陽子数が偶数の原子核は奇数の原子核に比べて結合エネルギーがや
や大きい。
5. 質量数が小さい領域では,陽子数と中性子数が同数ずつ(Z = N)もつ
傾向がある。質量数が大きい領域でも同様な傾向があるようである。
6
半経験的質量公式
Weizsaecker の質量公式
β安定線へ
7
1.体積エネルギー項
 流体の凝集エネルギーは流体の量に比例する
 原子核のエネルギーの場合には,最も粗い近似で,核子の数,すなわち,
質量数に比例する
結合エネルギーの飽和性
 核子のあいだにはたらく核力は平均して引力である
そのため,エネルギー E1 には負号をつけてある
結合エネルギーには正で寄与する ⇒ 結合を強める
 他の項(対エネルギー項を除いて)は全て逆符号で結合エネルギーに寄
与する ⇒ 結合を弱める
 体積エネルギー項によって,原子核は束縛系として存在できる
8
2.表面エネルギー項
 液滴の表面には表面張力がはたらく
 単位面積あたりの表面張力を
とすると,
半径が R の球状液滴の表面エネルギーは,表面張力と球の表面積の
積で与えられる:
液滴の体積が質量数に比例すると考えると
 表面エネルギーは原子核のエネルギーを増加させるので,結合エネル
ギーを減少させる
 核子は,そのまわりの核子から引力を受けている
しかし,表面にある核子は,内部にある核子からだけ引力を受ける
表面効果として,エネルギーを増加させる表面エネルギー項が現れる
9
3.Coulomb エネルギー項
 半径 R の球に電荷 Ze が一様に分布していると考える
 積分の前の因子は Z 個の陽子から2個を取り出す組み合わせの数
積分を実行して
 Z ( Z – 1 ) を Z2 で近似
 Coulomb エネルギーは原子核のエネルギーを増加させる
⇒ 原子核の結合エネルギーを減少させる
10
4.対称エネルギー項
陽子数が 1 から 20 までの安定な原子核
11
 Coulomb 相互作用を除くと,原子核は同数の陽子と中性子をもとうとす
る傾向がある
⇒
 中性子数と陽子数の比 N / Z が同じでも,
核子数が2倍になれば対称エネルギーも2倍になるはず
 この式は,Z = N のまわりに N – Z について展開して,最低次の2次の
項だけをとったもの
原子核の質量の実験データは,N – Z に比例する項はないことを示す
12
5.対エネルギー項
 原子核は同種の核子を偶数個も
とうとする性質がある
 A = 奇数 の原子核の質量は1つ
の2次曲線で近似される
 A = 偶数 の原子核の質量は2つ
の2次曲線で近似される
 従って,次の3つの場合に応じて
1. Z = 偶数, N = 偶数
2. Z + N = 奇数
3. Z = 奇数, N = 奇数
13
対エネルギー項の質量数依存性
 原子核の質量の実験値から,
対エネルギーが求められる
⇒ 右図
 実験値を次の関数で近似的に表
す(右図の曲線)
 これとは異なる関数型を用いるこ
ともある
14
β安定線
 質量数が等しい原子核の中で,結合エネルギーが最大の原子核
⇒ 下図の曲線(黒い四角は安定同位体)
15
結合エネルギーの内訳
 質量数の増加とともに,表面の効果は減少
 質量数(陽子数)の増加とともに,Coulomb エネルギー項は増大
 対称エネルギー項は小さく見えるが,この項は本来「非対称エネルギー」
16
原子核の結合エネルギー
安定な原子核
全ての原子核
17
殻効果
 半経験的質量公式は,
全体として実験値をよく再現する
 しかし,詳細に比較すると,特徴
的な違いが見られる
 質量数が小さい領域
 質量数が
A = 90, 140, 210 の領域
 実験値 - 質量公式 の値を,
横軸に「陽子数」,「中性子数」を
とって表すと(右図),違いが顕著
に見える
⇒ 魔法数
18
核物質
 対称核物質
核子あたりの結合エネルギー( Coulomb エネルギーを無視する)
 中性子物質(中性子星)
核子あたりの結合エネルギー
19