電気回路第1スライド9-1 電気回路第1 第9回 ー第4章ベクトル記号法ー 目次 ２位相のずれた電圧（イントロ） ３ベクトル記号法 ４オイラーの公式 ５複素電圧、複素電流 ６簡略化－交流100Vと呼んで－ ７指数関数を微積分して ８今日のまとめ ベクトル記号法 時間の関数 電圧 電気回路第1 第9回 時間 ０ 電流 ーベクトル記号法ー e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧と電流の位相がず れたケースということで、 例をあげて考えましょう。 ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 電気回路第1スライド9-2-1 たとえばRL直列回路では、同相の電圧 と90°進んだ電圧を加える。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。 ベクトル記号法 時間の関数 電圧 電気回路第1 第9回 時間 ０ 電流 ーベクトル記号法ー e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 図では、 時間 ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 電気回路第1スライド9-2-2 たとえばRL直列回路では、同相の電圧 と90°進んだ電圧を加える。 ０ 電流 時間 ０ ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。 ベクトル記号法 時間の関数 電圧 電気回路第1 第9回 時間 ０ 電流 ーベクトル記号法ー e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 ０ ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 電気回路第1スライド9-2-3 たとえばRL直列回路では、同相の電圧 と90°進んだ電圧を加える。 このとき、 実際に(電力になる)効く電圧 と 実際には効かない電圧 がかかる。 電流 時間 ０ ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。 ベクトル記号法 時間の関数 電圧 電気回路第1 第9回 時間 ０ 電流 ーベクトル記号法ー e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 ０ 電気回路第1スライド9-2-4 たとえばRL直列回路では、同相の電圧 と90°進んだ電圧を加える。 このとき、 実際に(電力になる)効く電圧 と 実際には効かない電圧 がかかる。 電流 時間 ０ ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 なので、 2つの要素からなる電圧 2つの要素 2つの要素 2つの素 複素 →複素 複素数で表現しよう。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。 ベクトル記号法 電気回路第1 第9回 時間 ０ 電流 ーベクトル記号法ー e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 電気回路第1スライド9-2-5 たとえばRL直列回路では、同相の電圧 このとき、 と90°進んだ電圧を加える。すなわち、 と 実際に(電力になる)効く電圧 こちらを実数の ←1V ←j V がかかる。 実際には効かない電圧 こちらを虚数の ０ 電流 時間 ０ ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 時間の関数 電圧 2つの要素からなる電圧 → 複素数で表現しよう。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。 虚数単位を なので、 j とします。 ベクトル記号法 時間の関数 電圧 電気回路第1 第9回 時間 ０ 電流 ーベクトル記号法ー e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 電気回路第1スライド9-2-6 たとえばRL直列回路では、同相の電圧 と90°進んだ電圧を加える。 このとき、 実際に(電力になる)効く電圧 と ←1V ←j V 実際には効かない電圧 がかかる。 ０ 電流 時間 ０ ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 虚数単位を なので、 j とします。 2つの要素からなる電圧 たとえば、 ←1+j V → 複素数で表現しよう。 ①RL直列回路を考える。 ②位相の合った電圧と合わない電圧の波形の合成。 ③電圧は実際に効く電圧と効かない電圧の和。 ④二つの要素からなるので複素数を用いる。 ⑤実際に効く電圧を１Vと実数で、効かない方をjV。 ⑥この電圧は合計１＋j V。 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 ０ たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 電流 実際には効かない電圧 時間 ０ ←１V ←j V 2つの要素からなる電圧 虚数単位を jとします。 → 複素数で表現しよう。 ←1+j V オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ オイラーの公式 cosθ 実軸 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-1 ベクトル記号法 電圧 時間 もう1度グラフから ０ 出しますね。 電流 時間 ０ ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 ？ ！ 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ なぜ、記号法で扱うか？ 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 ０ たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 ←１V ←j V 実際に(電力になる)効く電圧 電流 実際には効かない電圧 時間 ０ 2つの要素からなる電圧 虚数単位を jとします。 → 複素数で表現しよう。 ←1+j V オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ cosθ 実軸 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-2 ベクトル記号法 時間の関数 として表わすと、 時間 電圧 電流 オイラーの公式 ０ e＝E sin(ωt+θ) Rm +ELm cos(ωt+θ) などとなり ます。 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) のとき、 ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 ？ ！ 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ なぜ、記号法で扱うか？ 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 ０ たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 電流 実際には効かない電圧 時間 ０ ←１V ←j V 2つの要素からなる電圧 虚数単位を jとします。 → 複素数で表現しよう。 ←1+j V オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ cosθ 実軸 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-3 ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 電流 オイラーの公式 ０ e＝E sin(ωt+θ) Rm これを、 +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ 電圧、電流、（抵抗ではな く）インピーダンスを複素数 位相の合った部分 ここでは、 と90°ずれた部分 で表現することにしよう。 i＝Im sin(ωt+θ) ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 ？ ！ 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ なぜ、記号法で扱うか？ 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 ０ たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 電流 実際には効かない電圧 時間 ０ ←１V ←j V 2つの要素からなる電圧 虚数単位を jとします。 → 複素数で表現しよう。 ←1+j V ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 電流 ０ e＝E sin(ωt+θ) Rm +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ オイラーの公式 cosθ 実軸 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-4 これを、ベクトル記号法 と呼ぶ。 電圧、電流、（抵抗ではな く）インピーダンスを複素数 位相の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 とします。 で表現することにしよう。 。 i＝Im sin(ωt+θ) ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 ？ ！ 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ なぜ、記号法で扱うか？ 位相のずれた電圧（イントロ） 電圧 時間 ０ たとえばRＬ直列回路では、同相の 電圧と90°進んだ電圧を加える。 実際に(電力になる)効く電圧 電流 実際には効かない電圧 時間 ０ ←１V ←j V 2つの要素からなる電圧 虚数単位を jとします。 → 複素数で表現しよう。 ←1+j V ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 電流 ０ e＝E sin(ωt+θ) Rm +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) ①電圧、電流のグラフ。 ②時間の関数で表現する。 ③今度は位相の合った部分と90°ずれた部分とする。 ④ベクトル記号法では実部と虚部でそれを表現。 ⑤正弦波の電圧、電流を定常として扱います。 オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ オイラーの公式 cosθ 実軸 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 電気回路第1スライド9-3-5 ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではな く）インピーダンスを複素数 位相の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直 流同様(定常解）に扱う。 ？ ！ 複素数を用いてなぜ ベクトルなの？ なぜ、記号法で扱うか？ ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 ０ 電流 e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) です。 電気回路第1スライド9-4-1 オイラーの公式 導出は省略して、 オイラーの公式 は覚えて下さい。 εjθ＝cosθ＋jsinθ これです。 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 ？ ？ なぜこうかるのかというと 複素数の演算は ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 ０ 電流 e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 オイラーの公式 jθ sinθ ε 虚 軸 複素数の極座標 １ 表示をご存知で したら、 θ ０ 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) 電気回路第1スライド9-4-2 オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ cosθ 実軸 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 です。 ？ ？ なぜこうかるのかというと 複素数の演算は ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 ０ 電流 e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 オイラーの公式 jθ sinθ ε 虚 軸 ０ i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) です。 電気回路第1スライド9-4-3 オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ 複素電圧、複素電流 なお、εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 cosθ また、この変な関数の性質は、… 実軸 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 ？ ？ なぜこうかるのかというと 複素数の演算は ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 ０ 電流 e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 オイラーの公式 jθ sinθ ε 虚 軸 ０ i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) です。 電気回路第1スライド9-4-4 オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ 複素電圧、複素電流 cosθ 実軸 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 また、この変な関数の性質は、… 虚数の累乗はちゃんとは掛けていないので、 で、どんな意味があるかというと、 、絶対値ですが。 大きくはならないと思います。 実は振動的になるんですね。 。そこで、 ？ ？ なぜこうかるのかというと 複素数の演算は ベクトル記号法 時間の関数 電圧 時間 ０ 電流 e＝ERm sin(ωt+θ) +ELm cos(ωt+θ) 時間 ０ i＝Im sin(ωt+θ) ベクトル記号法 電圧、電流、（抵抗ではなく） インピーダンスを複素数位相 の合った部分 ⇒実数 と90°ずれた部分 ⇒虚数 で表現する。 正弦波の電圧、電流を直流 同様(定常解）に扱う。 オイラーの公式 jθ sinθ ε 虚 軸 ０ i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) です。 電気回路第1スライド9-4-5 オイラーの公式 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ 複素電圧、複素電流 cosθ 実軸 ①オイラーの公式は覚えてください。 ②図ではこのとおり。 ③自然対数の底にεを使う。 ④この変な関数の意味は？ ⑤cosとsinが出てくるので便利。 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくる また、この変な関数の性質は、… で、どんな意味があるかというと、 ので正弦波を表わすのに用います。 実は振動的になるんですね。 。そこで、 ？ ？ なぜこうかるのかというと 複素数の演算は オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ オイラーの公式 cosθ 実軸 εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電気回路第1スライド9-5-1 複素電圧、複素電流 とりあえず、天下りに電圧と電流を決めます。 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 ？ 複素電圧の意味について オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ 簡略化ー交流100Vと呼んでー オイラーの公式 cosθ 実軸 I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電気回路第1スライド9-5-2 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) これを、 e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) としていましたが、 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としましょう。 ？ 複素電圧の意味について オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ 簡略化ー交流100Vと呼んでー オイラーの公式 cosθ 実軸 I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電気回路第1スライド9-5-3 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 指数関数 ？ 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 複素電圧の意味について オイラーの公式 εjθ 虚 sinθ 軸 εjθ＝cosθ＋jsinθ １ θ ０ 簡略化ー交流100Vと呼んでー オイラーの公式 cosθ 実軸 I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） εは自然対数の底（2.71828182845）ですが、 この科目ではeを使わないでεとしました。 虚数の指数関数ですが、cosとsinが出てくるので 正弦波を表わすのに用います。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電気回路第1スライド9-5-4 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) + jIm sin(ωt+θ) もちろん、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) ①天下りに関数を設定。 ②εのjωt乗とする。 ③（虚数の）指数関数。 ④展開するとsinとcos。 ？ 複素電圧の意味について です。 指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt = jωE 、 dI dt = jωI di dt edt = Li i=C de dt idt = Ce ∫ ∫ E および∫ Edt = 、 Idt = jω ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 dE です。 e=L I です。 jω 電気回路第1スライド9-6-1 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝II＝I ε mI＝I εmI＝I ε mε mε まず、先ほどの、複素電圧、 mε I＝I mε I＝I mε I＝I mεI＝I mεI＝I mεI＝I mI＝I j（ωt+θ+Φ） j（ωt+θ+Φ） j（ωt+θ+Φ） j（ωt+θ+Φ） j（ωt+θ+Φ） j（ωt+θ+Φ） 複素電流を持ってきましょう。 E＝E E＝E εE＝E εE＝E εE＝E E＝E εj（ωt+θ+Φ） E＝E εj（ωt+θ+Φ） E＝E εE＝E εE＝E εE＝E εj（ωt+θ+Φ） εj（ωt+θ+Φ） εj（ωt+θ+Φ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） j（ωt+θ） m m m m m ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 m m m m m m ！ 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。 指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt = jωE 、 dI dt = jωI di dt edt = Li i=C de dt idt = Ce ∫ ∫ E および∫ Edt = 、 Idt = jω ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 dE です。 e=L I です。 jω 電気回路第1スライド9-6-2 簡略化ー交流100Vと呼んでー εjωt I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） これらを、 これと、 εjωt これと、 εjωtだけ分けて書くことができますね。 もちろん、指数関数の性質を使います。 ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 ！ 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。 指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt = jωE 、 dI dt = jωI di dt edt = Li i=C de dt idt = Ce ∫ ∫ E および∫ Edt = 、 Idt = jω ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 dE です。 e=L I です。 jω 電気回路第1スライド9-6-3 簡略化ー交流100Vと呼んでー εjωt I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） εjωt jωtだけ分けて書くことができますね。 もちろん、指数関数の性質を使います。 εここでε jωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） jωtはいつも (電流、電圧とも）くっついてきます。 こうしてみるとε時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 ！ 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。 指数関数を微積分して 複素電圧、複素電流 i ＝ Im sin(ωt +θ) I＝Imεj（ωt+θ） e ＝ Em sin(ωt +θ+Φ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ） としていましたが、 としましょう。 I＝Imεj（ωt+θ） ＝ Im cos(ωt+θ) 複素電流、電圧 IとEを例の虚数 の指数関数（振 動する）にします。 + jIm sin(ωt+θ) E＝Emεj（ωt+θ+Φ）＝ Em cos(ωt+θ+Φ) + jEm sin(ωt+θ+Φ) I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） dt = jωE 、 dI dt = jωI di dt edt = Li i=C de dt idt = Ce ∫ ∫ E および∫ Edt = 、 Idt = jω ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 dE です。 e=L I です。 jω 電気回路第1スライド9-6-4 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝Imεj（ωt+θ） I ＝ │I│εjθ E＝Emεj（ωt+θ+Φ） E ＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 ①εのjωt乗を簡略化する。 ②εjωtの部分だけ分けて書く。 ③全部に出てくる、εjωtは省くことにする。 ④大きさの部分は実効値を用いる。 ！ 一応わかったら、数値を 入れてみましょう。 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） I ＝ │I│εjθ E＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 今日のまとめ 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、 電流を、複素数で表す。 複素電圧 、複素電流 実効値を用いる。 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 電気回路第1スライド9-7-1 指数関数を微積分して tで微分や積分をしたいと思います。 I＝Imεj（ωt+θ） j（ωt+θ+Φ） そこで、ε もある式を持ってきます。 E＝Ejωt mε とすると大変メリットがあります。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 電流や電圧の微分積分 微分 ⇒ jω倍 1 積分 ⇒ jω 倍 ベクトル記号法 ？ 時刻 ｔ で微分することに ついて 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 今日のまとめ I ＝ │I│εjθ E＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電流や電圧の微分積分 微分 ⇒ jω倍 1 積分 ⇒ jω 倍 ベクトル記号法 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、 電流を、複素数で表す。 複素電圧 、複素電流 実効値を用いる。 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 電気回路第1スライド9-7-2 指数関数を微積分して I＝Imεj（ωt+θ） RL回路、RLC回路などで 懸案だったのは、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） di dt edt = Li e=L ∫ de i=C dt idt = Ce ∫ といった微積分する関係でした。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 ？ 時刻 ｔ で微分することに ついて 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 今日のまとめ I ＝ │I│εjθ E＝ │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電流や電圧の微分積分 微分 ⇒ jω倍 1 積分 ⇒ jω 倍 ベクトル記号法 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、 電流を、複素数で表す。 複素電圧 、複素電流 実効値を用いる。 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 電気回路第1スライド9-7-3 指数関数を微積分して I＝Imεj（ωt+θ） これらの式は、 E＝Emεj（ωt+θ+Φ） は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかでよい。 ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 di de i=C dt dt 微積分に対して、 edt = Li idt = Ce e=L ∫ ∫ ？ 時刻 ｔ で微分することに ついて 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 今日のまとめ I ＝ │I│εjθ E＝ 電流や電圧の微分積分 微分 ⇒ jω倍 1 積分 ⇒ jω 倍 ベクトル記号法 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、 電流を、複素数で表す。 │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 複素電圧 、複素電流 実効値を用いる。 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電気回路第1スライド9-7-4 指数関数を微積分して I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかでよい。 すなわち、 dI = Im ×jωεj(ωt+θ) dt di dt edt = Li e=L = jωI ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 ∫ Idt = Im de i=C dt idt = Ce ∫ εj(ωt+θ) ？ 時刻 ｔ で微分することに ついて jω I = jω 簡略化ー交流100Vと呼んでー I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） 今日のまとめ I ＝ │I│εjθ E＝ 電流や電圧の微分積分 微分 ⇒ jω倍 1 積分 ⇒ jω 倍 ベクトル記号法 時間の関数でsin（ωt+θ）の電圧、 電流を、複素数で表す。 │E│ εj（θ +Φ） ここでεjωtだけ省きます。（位相差のεj（θ +Φ）などはもちろん残します。） 複素電圧 、複素電流 実効値を用いる。 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） I ＝ │I│εjθ εjωｔを省略する。 時刻tの関数ではなくなります。記号法というのはこのためです。 さらに、振幅Imとかの代わりにルート２分の１倍の実効値を使用する。 通常の商用電源も実効値で交流100Vで良いです。 電気回路第1スライド9-7-5 指数関数を微積分して I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） di dt edt = Li de i=C dt idt = Ce e=L ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで、 、電圧も同様に、 ∫ +θ) j(ωt+θ+Φ) Eεj(ωt II E dE dI ε dI j(ωt+θ+Φ) ) jωI==jωI Idt Edt==ImEm 、 Idt == = です。 ==EIjωE jωE および ×jω、εj(ωt+θ= m×jωε m jω jω jω jωjωjω dt dt ∫ ∫∫ ①εの指数が何の役に立つのか述べる。 ②RLCなどの回路では微分、積分の関係が重要。 ③指数の微分積分は単にjωをかけるか割るか。 ④電流の微分、積分を実行。 ⑤電圧の場合も同様。 ？ 時刻 ｔ で微分することに ついて 指数関数を微積分して I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） e=L dt = jωE 、 dI dt = jωI dt edt = Li i=C de dt idt = Ce ∫ ∫ E および∫ Edt = 、 Idt = jω ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 dE di スライドの終了 I です。 jω 電気回路第1スライド9-8-1 今日のまとめ ベクトル記号法 では、 時間の関数でsin（ωt+θ）の電 圧、電流を、複素数で表す。 ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。 ？ ！ 最初のスライドに戻る。 次回までの演習問題です。 （余り問題らしくありませ んが…。） 指数関数を微積分して I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） e=L dt = jωE 、 dI dt = jωI dt edt = Li i=C de dt idt = Ce ∫ ∫ E および∫ Edt = 、 Idt = jω ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 dE di スライドの終了 I です。 jω 電気回路第1スライド9-8-2 今日のまとめ ベクトル記号法 時間の関数でsin（ωt+θ）の電 圧、電流を、複素数で表す。 まず、複素電圧 、複素電流 は、 のポイントは、 実効値を用いる。 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） や I ＝ │I│εjθ などで、 εjωｔを省略する。 ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。 ？ ！ 最初のスライドに戻る。 次回までの演習問題です。 （余り問題らしくありませ んが…。） 指数関数を微積分して I＝Imεj（ωt+θ） E＝Emεj（ωt+θ+Φ） e=L dt = jωE 、 dI dt = jωI dt edt = Li i=C de dt idt = Ce ∫ ∫ E および∫ Edt = 、 Idt = jω ∫ は指数ですから微積分はjωを 掛けるか割るかで電圧も同様に、 dE di スライドの終了 I です。 jω 電気回路第1スライド9-8-3 今日のまとめ ベクトル記号法 時間の関数でsin（ωt+θ）の電 圧、電流を、複素数で表す。 複素電圧 、複素電流 E ＝ │E│ εj（θ +Φ） I ＝ │I│εjθ 電流や電圧の微分積分 は、 微分 は、 ⇒ jω倍 すると、 1 ⇒ jω 倍 積分 は したり、 します。 と簡単に表現されます。 実効値を用いる。 εjωｔを省略する。 ①時間の関数、sin（ωt+θ)をεのj（ωt＋θ）乗とする。 ②複素電圧（電流）では実効値を用いεjωtを省く。 ③微分はjωを掛け、積分ではjωで割る。 ？ ！ 最初のスライドに戻る。 次回までの演習問題です。 （余り問題らしくありませ んが…。） 電気回路第1スライド付録 補足１：複素数を用いてベクトル記号法 ここでは、電圧、電流、（次回やります）インピーダンスを複素数で表現する手法を学習します。これをベク トル記号法と称しております。 記号法なのは、刻一刻と変化する電圧などを、位相の合っている実数、位相のずれている虚数とします と、時間 t の関数としてちゃんと扱わなくても、1、j といった記号で表現できるといったものです。 一方、ベクトルなのは、複素数の極座標表示を理解いただければ簡単です。複素数は、本来二つの要素 （1 と j です。）を考え、これらがいくらあるかと記述するものです。それらを、ｘ軸方向、(1, 0)の単位ベクト ルと、ｙ軸方向、(0, 1)の単位ベクトルと考えると複素数Zはx、ｙ座標でのベクトルになりますね。もともと、 電圧は実数、ただし時間の関数というものだったのを、複素数時間によらないとしてしまったわけです。 さらに、初期位相のみが残って、εjθ となってしまうと、これは最初から、実部、虚部を持つ値となって、上 の単純な説明とは少し異なります。よりわかりやすいのは複素電圧の大きさは、実効値、位相差はθと表 現していると思っていただくと良いかと思います。これを、初期位相ゼロの正弦波と比較して位相が合っ ている部分が実数部分です。このあと電力を計算する際には、さらに注意を払って、電圧と電流の位相 差がないときに実効値の積と計算できるようにします。 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足2：虚数の指数関数 わけわからん、虚数の指数関数は何者か考えます。εｊ0はもちろん何もかけませんから、 εｊ0 = ε0 =1 ① です。また、指数関数の本性としてかける関数ですから ε(ｘ+ｙ) = εｘ ×εｙ ② です。これらを虚数にして、 εｊ(ｘ+ｙ) = εｊｘ ×εｊｙ ③ ですね。また、（少しごまかして）虚数回かけるっていうのは、ちゃんとは掛けていませんので、どんどん掛 けていっても大きく（小さく）なっては困りますから、絶対値は1ということで、 │εｊｘ │= 1 ④ また、常にただの±１ではつまらないし、結果に虚数が入って複素数になるのはいいんじゃないかと考え ますと、あるθがあって、 εｊｘ = cosθ+ jsinθ ⑤ と書けるはずです。あとは、このθが x でどうなるかですが、安直にそのまま x をθにしてしまうと、 εｊθ = cosθ+ jsinθ ⑥ となります。これは、候補の１つに過ぎないようにも思えますが、③式を満たすか調べると、 εｊ(α+β) = cos (α+β) + j sin (α+β) = cosαcosβ－sinαsinβ+ j( cosαsinβ + sinαcosβ) = cosαcosβ＋j2 sinαsinβ+ jcosαsinβ + jsinαcosβ = cosα×cosβ＋ jsinα× jsinβ+ cosα× jsinβ + jsinα×cosβ = cosα×(cosβ＋ jsinβ) + jsinα×( jsinβ+cosβ) = (cosα + jsinα)×( jsinβ+cosβ) = εｊα ×εｊβ ⑦ わかったら（でなくっても） と満たしてくれる理想的な式なのです。もちろん3角関数の加法定理を用いて ここをクリックしてもとの います。したがって⑥式のオイラーの公式が得られました。j2を持ち出してきた スライドに帰りましょう。 のは結果のsinには jがかかっていることを知っているからできた変形ですね。 !! 電気回路第1スライド付録 補足3：複素電圧の意味について 複素電圧を天下りに、 │E│εjθ＝│E│cosθ+ j│E│cosθ ① と定義しました。これは、初めから、虚数部分 j│E│cosθをもっているように見えます。 これは、２つの見方をしてください。 （１）初期位相ゼロの（例えば）電流があったとすると、 │I│εj×0＝│I│ ② とくらべると位相の合った部分が│E│cosθ、位相の90°進んだ部分が、 j│E│cosθです。 （２）電圧、電流が、それぞれ、 │E│εj(θ+φ)＝│E│cos(θ＋φ) + j│E│cos(θ+φ) 、 │I│εjθ＝│I│cosθ+ j│I│cosθ のとき、指数関数の性質から、電圧の方を変形して、 │E│εj(θ+φ)＝│E│εjθ×εjφ ＝（電流と同じ位相のもの）×位相差εjφ ＝電流│I│εjθ×定数×位相差εjφ と表現され、位相差の部分がきれいに出せます。この⑥のような表現 （これから述べる、複素数のインピーダンス）を導くため、│E│εjθと いった表現を用いることとしました。 ③ ④ ⑤ ⑥ !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足4：関数と定数 さんざん出てくるのが、時刻tで微分すると、とか時刻tで積分するととかの表現です。 ax + bt というものがありますと、xで微分するとa、tで微分するとbと言った具合になります。tが出てこないところは、無視 して、tの関与するところだけちゃんと微分するとOKです。以上は微分積分学か解析学でちゃんと学習しますが、 使えるようになってくださいね。 さて、この章では、 aεbt+c をtで微分すると、最初の a はそのままでOK。εxの微分がそのままεxであったことと、x の代わりに関数が入ると、 εf(x) の微分は f’(x)εf(x) となることを利用すると、abεbt+c となります。でも、このあとのが大切で、 I = │I│εｊωt+ｊθ を t で微分すると、 dI/dt = jω│I│εｊωt+ｊθ だけでは、時間 t の露なままです。これを、 dI/dt = jωI とすると、話は大分変わってきて、この式には t は出てきません。でも、I は時間に依存しないのでしょうか。そん なことはありませんね、I も dI/dt もともに時間の関数です。ただ両者の関係は j なる変な数字（の亜流）が入っ てはいるものの、単なる比例関係で、両者の関係は時刻によって関係ありません。そこで、これからは、t の関 数を忘れて、比例関係で議論しましょうということにしました。jωt を書かなくなった のは、こういう意味です。もちろん、j は位相が90°進むという意味ですから、常に 位相差は一定ですよといういみで、瞬時の電圧電流じゃないよと理解してください。 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展１：記号法のメリット 交流電圧 e =√2 sin(ωt + θ） ① を1 [V] の交流と述べた段階で、既に時間や位相の情報を無視して、交流1 [V] という記 号で表したようなものです。こうすると、この電圧の効果を直流のアナロジーで解析できる というメリットがありますね。 もちろん抵抗だけをつないで回路をつくることは余りないので、インダクタンスやキャパシ タンスの効果もちゃんと取り込みたいと考えますね。こうして生まれたのが、複素電圧Eな どで、電圧は測定可能な物理量ですから、複素数ではありません。（注:量子力学で、測定 可能な物理量は何がしかの実数になるとあります。）でも、位相差の部分を物理的にはイ ンチキでも、位相差の有無を適切に表現できる便利な記号として、 E = εjθ ② と表現します。 さらに、ここでは扱わないことにした、過渡応答（入力や系に変化のあった瞬間の応答を 解析）を調べる場合には別な記号法で、ラプラス変換法というものを用います。時刻tの関 １ 数を新しい変数sの関数（ほぼ１を１/s、ε－at を ――― などと変形します）としています。 s+a ポイントは時刻ｔの関数を使わずに、時刻によって変化する量を表現 していることです。ここでも指数関数を使っている点にも注目ください。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展2：jω…に数値を入れて… インダクタンスにかかる電圧はjωLIです。とか、キャパシタンスだと1/ｊωC×Iです。などとあ りましたが、値でみると前章の計算とおんなじ値になります。（どちらも同じ物理量を表現し ているので当然ですが。）一応値をいれておきましょう。 １）100V 60Hz（120πrad/s)の交流で、一応初期位相θを30°（ではなくπ/６）にしておきましょ う。この(i)複素電圧と、(ii) 1 kΩの抵抗1個に100 Vかけた場合、(iii) 1 mHのインダクタン ス1個に100Vかけた場合、(iv) 1μFのキャパシタンス1個に100Vかけた場合それぞれに流 れる電流の複素表示を示しましょう。 (i) 141Vではありません。E = 100εｊπ／6 [V]となります。 (ii) 抵抗だと電流はE/Rで良いですから、I＝E/103＝0.1εｊπ／6 [A] (iii) インダクタンスだとE=LdI/dtですから、 I=（1/L）∫Eｄｔ＝E/jωL＝(100εｊπ／6)/(j× 120π×10-3)＝-j(104/12π)εｊπ／6 [A] あと-j倍すると位相がπ/２だけ遅れると知って、(104/12π)ε―πｊ／3 [A]となります。かなり大き い値ですね。電源回路などでコイルの設計を誤ると焦げたり、ショートしたりいろいろしれ かしてくれますのでご注意ください。 (iv) キャパシタンスだと微分はjωをかけることを用いて、 I＝CdE/dt=jωCE＝j×120π×10-6×100εｊπ／6 ＝1.2×10-2πjεｊπ／6＝1.2×10-2πjε2πj／3 [A]となります。 ここをクリックしてもとの 0.1アンペアちょっとでしょうか。 !! スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展3：次回までの演習問題 [1] 交流100 [V]（実効値）を複素表示してください。初期位相はθとしましょう。 [2] εj（ωt＋π/6）を t で微分するといくらですか [3] 100εj（ωt－π/12）を t で積分するといくらですか [4] I ＝10εj（ωt＋θ）のとき、L [5] j + [6] jω + 1 j di を I であらわしなさい。（t を消去すること。） dt を計算しなさい。 1 ＝0 となるωを求めなさい。 jω !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1補助資料（複素数の演算） 電気回路第1補助資料 複素数の演算 これまでに複素数の加減乗除と共役複素 数について理解していれば不要です。 !! ここをクリックすると以降 のスライドを見ずに元の テキストにもどれます。 電気回路第1補助資料（複素数の演算） つぎへ 複素数の概念 •そこで、次の数を考えます。 虚数（想像した数） j2＝－1 （iは用いない。） 電気のみのグラウンドルールです。 iは電流のためにとっておく。 •一般的にすべての2次方程式を 複素数 解けたことにしようと思うと、 z＝a+bj aとbはもちろん実数で、虚数が 混ざっている数が複素数です。 (z－ １) 2＋１＝０の解 を考えよう。 まず、左辺のグラフを描くと (z－ １) 2＋１ ２ １ ０にはならない。 z ０ １ すると上の方程式は（ｚ－１）の二乗が ー１だから、ｚ－１がｊとなれば良い。 そこで、ｚ＝１＋ｊとなります。 電気回路第1補助資料（複素数の演算） つぎへ 極座標表示 次に、Zをもう少し別の 表現で表します。 虚 軸 b Z ｒ θ ０ a 実軸 Z＝a＋bj のaも ｂも実数ですから、 ＝rcosθ+jrsinθ ベクトル(状のもの）Zは すこし整理して、 さらにまとめて、 Zは二つの実数を組み 水平方向にa垂直方向 横縦の座標軸はそれぞれ 合わせたものです。 にbのだけ行った物。 実数の大きさと、虚数（に Zの長さをｒとすると、aと かかる実数）の大きさを表 aとｂもを対等に横軸a 、 bが垂直ですから、ｒは、 わします。それぞれ、実軸、 縦軸ｂの座標軸の中で 2 + b2 となります。 r2 ＝ aZを記述しましょう。 虚軸と呼びます。 さきほどのaや ｂはＺの実数 すると、aやbは三角関 部と虚数部で、記号では、 数を用いて、 a =rcosθ =Re(Z) となる。 となります。 b =rsinθ =Im(Z) 複素数の演算 電気回路第1補助資料（複素数の演算） つぎへ 加減 (a1+b1j)±(a2+b2j)＝(a1 ± a2 ) + (b1 ± b2) j 実部、虚部毎に加減 積 (a1+b1j)×(a2+b2j)＝ (a1a2ーb1b2) +(a1b2 +b1a2) j jを記号と思ってかける、j2＝－1 商 (a1+b1j) (a1+b1j)×(a2ーb2j) (a1a2＋b1b2) +(－a1b2 +b1a2) j ＝ ＝ (a2+b2j) (a2+b2j)×(a2ーb2j) (a22＋b22) 共役複素数（次のスライド）を 分子、分母にかける。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1補助資料（複素数の演算） 共役複素数 虚 軸 b r Z=a+bj θ ０ ーθ ーb r a • 共役複素数は、虚部だけマ イナス1倍したもの － Z=a－bj ー ZZ＝(a＋bj)(aーbj) ＝a２ー abj＋bja ー (bj)２ ２＋b２ ＝r２ ー ＝a Z=aー bj 実軸 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。
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