第5回黒体放射とその応用

第５回
黒体放射とその応用
東京大学教養学部前期課程
2015年冬学期宇宙科学II
松原英雄（ＪＡＸＡ宇宙研）
1
黒体放射とは？
• 放射吸収する物質と熱平衡にある放射のこと。黒体放射
する物質の量・表面の性質は関係ない
黒体
の壁
全く同じ放射
• 黒体＝完全吸収体
黒体
黒体
放射
背後から来る光は
完全に吸収
一部が透過
背後から来る光
物質からの放射
通常の物質
2
キルヒホップの法則
• 放射輸送の式(4.24)で左辺＝０とおく：
S  j /   B T 
(5.2)
• 天井も床も同じ温度Ｔの箱を考えましょう。天井は黒体、下の箱の
床は反射率がＲの物質でできているとします。
床Ｂからの反射光＋床Ｂの放射光＝天井Ａの放射光
Ｒ・Ｂ（Ｔ）＋ＩＢ＝Ｂ（Ｔ）
黒体天井（温度Ｔ）
ＩＢ＝Ｂ（Ｔ）ーＲ・Ｂ（Ｔ）
Ｂ（Ｔ）
＝（１－Ｒ）・Ｂ（Ｔ）
＝Ｅ・Ｂ（Ｔ）
床から放射される光Ｅ・Ｂ（Ｔ）は
同時に床が吸収する光の量に
等しい：（吸収率をＡとすると）
Ａ・Ｂ（Ｔ）＝Ｅ・Ｂ（Ｔ）
ＩＢ
Ｒ・Ｂ（Ｔ）
床Ｂ（温度Ｔ）
3
振動数の光子の量子状態の数
• 一辺がＬの立方体を考え、その中にある光子の量子状態数をもとめましょ
う。量子力学では光子が箱の中で安定な波になっていると考えます。その
条件はｘ、ｙ、ｚの各方向で辺長 L が波長の整数倍になることです。
Ｌ/λＸ＝１，２，３、．．．、
Ｌ/λＹ＝１，２，３、．．．、
Ｌ/λＺ＝１，２，３、．．．
• ですが、電磁波には２成分の偏光があるので２倍して、Ｌ３の箱内の安定
な光子の量子状態の数 ΔＮＢｏｘは、
ΔＮＢｏｘ＝２Δ（Ｌ/λＸ）・ Δ（Ｌ/λＹ）・ Δ（Ｌ/λＺ）
• で与えられます。単位体積当たりの状態数 ΔＮUnit は、箱の体積で割っ
て
ΔＮUnit ＝ ΔＮＢｏｘ/Ｌ３＝２Δ（１/λＸ）・ Δ（１/λＹ）・ Δ（１/λＺ）です。
• 光子の密度を振動数ν空間で考えると（ ΔＶν 振動数空間での体積要
素）
ΔＮUnit ＝（２/ｃ３）Δ（ｃ/λＸ）・ Δ（ｃ/λＹ）・ Δ（ｃ/λＺ）
＝（２/ｃ３）Δ（νＸ）・ Δ（νＹ）・ Δ（νＺ）＝（２/ｃ３） ΔＶν
球座標で書くと ΔＶν ＝ ν２ｄΩｄν
よって ΔＮUnit ＝（２/ｃ３） ν２ｄΩｄν
 （5.10）式
4
参考： http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
黒体輻射の数値表現
h=6.626×10-34 Js,
x
k=1.381×10-23 J/K,
h
hc 1.4388


kT kT mT4


T 
 m 
, T4  4 
1m
10 K 

B ( , T )
2h 3
 2
c
B ( , T )
1
 h 
exp
 1
 kT 
2hc2

5
x3
 1.33510 T
exp x   1
19
3
3.973107
m
W/m2 /Hz
3
x
 1.33510 T
exp x   1
7

ｃ＝2.998×108 m/s
3
1
W/m2 /Hz
 ch   1

kT



exp 
8
1.191 10

5
m
Jy
 1.4388
 1
exp

 mT4 
3.9731019
1

Jy
3
 1.4388
m
 1
exp

 mT4  参考：
3
1
1
 1.4388
 1
exp 
 T 
 m 4 
W/m
2
/m
5
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
Planck Spectra
T=6000K
T=6000K
波長 (ｃｍ)
振動数（Hｚ）
http://www.shokabo.co.jp/sp_e/optical/labo/bb/bb.htm
6
黒体輻射
25
レーリージーンズ領域
log Ｂ（ν、Ｔ）　[Ｊｙ]
20
T=30000
T=10000
T=3000
T=1000
T=300
T=100
T=30
T=10
T=3
T=1
傾き一定、
強さはＴに比例
15
10
ウィーン領域
5
傾きと強さが
大きく変化する
0
-2
-1
0
1
log λ(μ)
2
3
4
7
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
天体からの（近似的に）黒体放射の例
赤外線でみた
燃えるマッチを
持つ人
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黒体輻射スペクトルの例
天体
典型的な温度
宇宙開闢の頃
1032 K
高温降着円盤
109-13 K
低温降着円盤
107 K
中性子星表面
107 K
太陽中心
107 K
白色矮星表面
10000 K
高温度星表面
10000 K
太陽表面
６000 K
宇宙の晴れ上がり
４000 K
星間雲
１０ ‐１００K
現在の宇宙背景放射
２．７４ K
http://www.shokabo.co.jp/sp_e/optical/labo/bb/bb.htm
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第５回の問題
• 問5－1. 黒体放射のフラックスは
BT   
2
0
 /2 
 
0
0
B T d cos sin dd
で与えられる。これを計算して
4


B T  T
となることを示せ。ただし
2 5 k 4

15c 2 h 3
（シュテファン・ボルツマン定数）
また次の関係は使って良い。


0
x3
4
dx 
x
e 1
15
ところで、
天体からの放射はどういうときに黒
体放射になるのか？
注：放射物質が熱平衡だからと
いって放射が黒体とは限らない。
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放射が黒体になる条件（１）
物質が熱平衡にあること
• 源泉関数S=B(T)が成立すること。
– 必ずしも、物質の温度と放射場の温度が同じとは限
らない。
– 放射場は非熱的な場合もある：レーザー／メーザー
– 以下の場合には動力学的な温度＝放射場の温度
が成立
• 条件① 系の大きさが平均自由行程よりも十分に大きい
こと
• 条件② 平均衝突時間が系の年齢よりも十分に短いこと
• 条件③ 物質が放射場光子を非弾性散乱する機能を持
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つこと（色々な光の振動数に変換できること）
放射が黒体になる条件（２）
光学的に十分に厚いこと
• I = I(0)exp(-t) + B (T) (1 - exp(-t))
なので、 t >> 1が必要。
星間塵のように、波長によって光学的厚みが著しく異なる場
合、近赤外線ではBlackbodyでも、遠赤外～サブミリ波では
I = tB (T)～b B (T) (b=1-2) となる
★天体（特に希薄な宇宙空間）は一様温度とは限らない：
– そのときでも局所的になりたっている場合が多い（局所熱力学的平
衡：LTE）
– 熱平衡を達成するには衝突緩和時間に比べて十分長い時間が必要。
– 銀河間空間のプラズマ：電子と陽子で温度が違う可能性がある：
teq(e,e) ～ 3.1×105 (Te/108K)3/2(ne/10-3cm-3)-1 yr
teq(p,p) = √(mp/me) teq(e,e)
～ 1.3×107 (Te/108K)3/2(ne/10-3cm-3)-1 yr
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