PowerPoint プレゼンテーション

定常状態，時間によらないシュレディンガー方程式

シュレディンガー方程式 i   H の波動関数のうち，
t
エネルギーが一定の解を考えよう。
E  
この解は一定の振動数ωをもち時間に関係する部分は
e i t の形をしている。
   ei t   eiEt / 
ψ は t を含まないとする
|  |2 |  |2 は t によらないので
この状態は定常状態と呼ばれる
  ψ eiEt /  を i

  H に代入すると E  H
t
 2 2


 ψ  E ψ を得る。



V
(
xyz
)
すなわち 
 2m

時間によらないシュレディンガー方程式
単にシュレディンガー方程式
固有値方程式
H  E
（演算子）×（関数）＝（ある数）×（同じ関数）
固有値方程式
E を演算子 H の固有値といい
 をその固有値に属する固有関数という。
E はエネルギーをあらわすのでエネルギー固有値という。
例
d
を考えてみよう
演算子
dx
d
関数 f ( x)  x にこの演算子を作用させると
f ( x)  2 xで，
dx
2
これは x の定数倍とは異なるので，
2
f (x) は
d
の固有関数ではない。
dx
一方
d
f ( x)  2e 2 x で，
dx
2x
これは f ( x)  e の2倍になっている。したがって
関数 f ( x)  e2 x にこの演算子を作用させると
f (x) は
d
の固有関数であり，固有値は２である。
dx
１次元井戸型ポテンシャル
・原子核の中にα粒子が捕まっている。原子核の中で
α粒子はどんな運動をするだろうか。
・金属の中にある自由電子は，金属内ではどのような
運動をするのだろうか。
何を学んでほしいか
量子力学での，問題の解き方
量子力学と古典力学の違い
① シュレディンガー方程式を書くこと
② シュレディンガー方程式を解くこと
③ 「一価，有限，連続」の条件に合う波動関数を
求める。
境界条件
④ エネルギー固有値を求める
離散的エネルギー固有値
⑤ 古典力学と量子力学の違い
１次元井戸型ポテンシャル
シュレディンガー方程式
2 d 2

ψ ( x)  V ( x)ψ ( x)  Eψ ( x)
2
2m dx
V0 for　| x | a
V ( x)  
for　| x | a
0
シュレディンガー方程式を書く
2 d 2

 ( x )  V ( x) ( x)  E ( x )
2m dx2
ポテンシャルの形から，領域を３つに分けてシュレディンガー方程式を書く。
領域 I では V ( x )  0
2 d 2

ψ ( x)  Eψ ( x)
2m dx2
II
領域 IIでは V ( x)  V0
2 d 2

ψ ( x)  V0 ψ ( x)  Eψ ( x)
2
2m dx
E  V0 の場合について考える
I
II
領域 I を解く
2 d 2

ψ I ( x)  Eψ I ( x)
2
2m dx 2m
両辺に  2 をかけると

d2
2m E
ψ I ( x)   2 ψ I ( x)
2
dx

2m E とすると


d2
２
ψ
(
x
)


α
ψ I ( x)
I
2
dx
II
I
II
したがって
ψ I ( x)  A sin(α x)  B cos(α x)
II
領域 II を解く
I
II
2 d 2

ψ II ( x)  V0 ψ II ( x)  Eψ II ( x)
2
2m dx
2m
V0 を右辺に移項し両辺に  2 をかけると

d2
2m(V0  E )
（但し E  V0 である事を考慮した）

(
x
)


(
x
)
となる。
II
II
dx2
2
2m(V0  E )
β

とすると
d2
２

(
x
)


 II ( x)
2 II
dx
したがって
ψII  Ce β x  De β x
量子力学の波動関数は，一価，有限，連続でなければならない
「一価」であることは明らか
有限であるためには
x  a : D  0 の場合 x   で ( x)    x  aではD  0
x  a : C  0 の場合 x   で ( x)    x  aではC  0
II
x
 xx
 II  Ce

De
 II  Ce
I
II
x x
 x


Ce

De
 IIII  De
 I ( x)  A sin( x)  B cos( x)
波動関数と波動関数の１階微分が連続でなければならない
x=-a で波動関数が連続
ψI ( x  a)  ψII ( x  a): A sin(α a)  B cos(α a)  Ce(  β a)
x=a で波動関数が連続
ψI ( x  a)  ψII ( x  a): A sin(α a)  B cos(α a)  De(  β a)
II
ψ II  Ce β x
I
II
ψII  De β x
 I ( x)  A sin( x)  B cos( x)
波動関数と波動関数の１階微分が連続でなければならない
x=-a で波動関数の１階微分が連続
d
d
ψ I ( x)|x   a  ψ II ( x)|x   a: α A cos( α a)  αB sin( α a)  β C e (  β a )
dx
dx
x=a で波動関数の１階微分が連続
d
d
ψ I ( x)|x  a  ψ II ( x)|x  a: α A cos( α a)  αB sin( α a)   βD e (  β a )
dx
dx
II
ψ II  Ce
βx
d
ψ II  β Ce β x
dx
I
II
 II  De  x
d
ψ II   β D e β x
dx
 I ( x)  A sin( x)  B cos( x)
d
 I ( x)   A cos( x)   B sin( x)
dx
こうして４つの式が得られる
ψI ( x  a)  ψII ( x  a) :
AAsin(
sin(αa)  B cos(
cos(αaa))Ce
Ce((βa)
ψ I ( x  a)  ψ II ( x  a):
A sin(α a)  B cos(α a)  D e(  β a)
d
d
ψ I ( x)|x   a  ψ II ( x)|x  a:
dx
dx
d
d
ψ I ( x)|x  a  ψ II ( x)|x  a:
dx
dx
Acos(
cos(α
aa))αB sin(
αA
αaa)) βCe
Ce(  β a)
II
ψ II  Ce β x
d
ψ II  β Ce β x
dx
(  a )
α A cos(α a)  α B sin(α a)   β D e(  β a)
I
II
 I ( x)  A sin( x)  B cos( x)
 II  De  x
d
 I ( x)   A cos( x)   B sin( x)
dx
d
 II    De  x
dx
A,B,C,D を消去してαとβが満たす式を作る
 A sin(α a)  B cos(α a)  C e(  β a )
A sin(α a)  B cos(α a)  D e(  β a)
α A cos(α a)  α B sin(α a)  β C e(  β a)
α A cos(α a)  α B sin(α a)   β D e(  β a)
②－①
③＋④
①＋②
③－④
2 A sin( a)   (C  D) e  a
2 A cos( a)   (C  D) e  a
2B cos( a)  (C  D) e  a
2 B sin( a)   (C  D) e  a
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
もし A  0 で C  D ならば ⑥／⑤より  cot( a)   
もし B  0 で C   D ならば ⑧／⑦より  tan( a)  
こうして
もし A  0 で C  D ならば ⑥／⑤より  cot( a)   
もし B  0 で C   D ならば ⑧／⑦より  tan( a)  
さ～て， A  0 で C  D 同時に B  0 で C   D ならば
 cot( a)    と  tan( a)   の左辺どうし右辺どうしをかけると
 2   2
を得る。しかしながらαとβはともに実数だから
これはあり得ない。したがって・・・・・
A  0 で C  D ならば B  0 で C   D であり  cot( a)   
B  0 で C   D ならば A  0 で C  D であり  tan( a)  
ところで
2m E
α

2m (V0  E)
β

2mV0
であったから     2

2
2
偶関数の解
2mV0
A  0 で C  D のとき  tan( a)   と    
2
2
2
の両方を満たすα，βからエネルギー固有値が求められる。
2m V0 a 2
ξ  α a, η  β a とすると  tan   と    
2
2
2
m
V
a
0
の交点
求める答えは tan   のグラフと  2   2 
2

2
   a より  

a
2
また　 
2m E

だから
2m E 
2
2

 E


a
2m a2
例えば，1  1.2 であったとすればこの値に対応する
2
2
エネルギーは E1 

(
1
.
2
)
となる
2
2m a
奇関数の解
B  0 で C   D のとき  cot( a)    と  2   2 
2mV0
2
の両方を満たすα，βからエネルギー固有値が求められる。
2m V0 a 2
ξ  α a, η  β a とすると  cot   と    
2
2
2
m
V
a
0
の交点
求める答えは  cot   のグラフと  2   2 
2

2
2
 tan  
 cot  
 tan  
量子力学では，エネルギー
は，図の 1, 2, 3 に対
応する値 E1, E2 , E3 が
許され，その中間の値は
許されない。
飛び飛びのエネルギーの値
離散的固有値
偶関数の解
A  0 のとき領域 I の波動関数  I ( x)  A sin  x  B cos x は
 I ( x)  B cos x
βx
ψ

Ce
， x  a では  II  Ce  x
C  D だから x  aでは II
奇関数の解
B  0 のとき領域 I の波動関数  I ( x)  A sin  x  B cos x は
 I ( x)  Asin  x
 x
x

a



Ce
では
C   D だから x  aでは II  Ce ，
II
x
量子力学と古典力学の違い
量子力学
古典力学
m gh
1 2
mv
2
壁の外には絶対に行かない
量子力学では，古典力学では絶対に粒
子が行かない場所にも存在確率がある。
h

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