フーリエ解析入門
参考書
「物理現象のフーリエ解析」小出昭一郎（東大出版会）
「スペクトル解析」日野幹雄（朝倉書店）
「なっとくするフーリエ変換」小暮陽三（講談社）
「キーポイントフーリエ解析」船越満明（岩波書店）
「工学を学ぶ人のためのフーリエ解析（演習書）」スピーゲル（マグロウヒル）
「ビギナーズデジタルフーリエ変換」中村尚五（東京電機大学出版局）
「特殊関数」戸田盛和（朝倉書店）
「岩波数学公式ＩＩ級数・フーリエ解析」森口・宇田川・一松（岩波書店）
良書多数
目次
•
•
•
•
関数の展開
フーリエ級数
関数の直交性
フーリエ変換
•
•
•
•
畳み込み
物理的な例
確率過程
高速フーリエ変換
関数の展開・フーリエ級数
関数の展開を、馴染み深いテイラー級数を例に
とって説明し、続けて周期関数のフーリエ級数展
開を説明する。任意の周期関数を三角関数の和
で表現する（できる）ことがフーリエ級数展開であ
る。特に展開係数の性質に注目する。
テイラー級数（マクローリン級数）
• 任意の関数ｆ（ｘ）をｘの多項式（ｘ１、ｘ２、ｘ３、ｘ４、・・・の和）で表
ｆ（ｘ）
す（ことが出来る）
f x   a0  a1 x1  a2 x 2  a3 x 3  
ｘ

  an x n
n 0
＋
ｘ
ｘ
問題はａｎの決め方。これは定理によって
1 (n )
an  f 0 
n!
ｆ（ｘ）を微分できれば計算できる
＋
ｘ
＋
ｘ
＋
・
・
・
テイラー級数（マクローリン級数）の例
f  x   a0  a1 x1  a2 x 2  a3 x 3    an x n  
1
n
 1  x  x 2  x 3     1 x n    x  1
1 x
x 2 x3 x 4
xn
x
e  1 x   
      x  
2 6 24
n!
x3 x5
x 2 n 1
n
sin x  x  
    1
   x  
2n  1!
6 120
2n
x2 x4
n x
cos x  1  
    1

2n !
2 24
 x  
n
x 2 x3
n 1 x
log1  x   x       1
   1  x  1
2 3
n
フーリエ級数
• ［－Ｌ、Ｌ］のパターンを繰り返す周期関数を、ｓｉｎ（ｘ）、ｃｏｓ（ｘ）
ｆ（ｘ）
の和で表す（ことが出来る）
a0
x
2x
3x
 a1 cos  a2 cos
 a3 cos

2
L
L
L
x
2x
3x
 b1 sin  b2 sin
 b3 sin

L
L
L
a0  
nx
nx 
    an cos
 bn sin

2 n 1 
L
L 
f x  
1 L
nx

dx
問題はａｎとｂｎの決め方。 an   L f x  cos
L
L
ｆ（ｘ）にｃｏｓ、ｓｉｎをかけて 
L
1
nx
dx
積分すれば計算できる。  bn   L f x sin
L
L

上のｆ（ｘ）を代入して、ａｎ，ｂｎが得られることを確認せよ
ｘ
Ｌ
－Ｌ
ｘ
＋
ｘ
＋
・
・
・
フーリエ級数展開の例１
矩形関数定義域［－π，π］
square-func
矩形関数のフーリエ級数による近似
1.5
１
－π
０
－１
π
 1   2  x   2
f x   
 1    x    2 ,  2  x   
ｘ
1
0.5
0
-0.5
この関数をフーリエ級数展開すると
-1
f x  
4
4
4
cos3 x 
cos5 x  

3
5

4
n
   1
cos2n  1x 


2
n

1

n 1
cos x 
ｃｏｓ関数だけで表すことができる
無限項の和
６項の和
５項の和
４項の和
２項の和
３項の和
１項のみ
-1.5
-3
-2
-1
0
x
偶関数 f  x   f x 
1
2
3
フーリエ級数展開の例２
矩形関数定義域［－π，π］
1.5
１
－π
０
－１
１項のみ
２項の和
３項の和
４項の和
５項の和
６項の和
無限項の和
π
 1 0  x   
f x   
 1    x  0
この関数をフーリエ級数展開すると
f x  
4

sin x 
4
4
sin 3x 
sin 5 x  
3
5

4

sin 2n  1x 


2
n

1

n 1
ｓｉｎ関数だけで表すことができる
ｘ
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-3
-2
-1
0
x
奇関数 f  x   f x 
1
2
3
フーリエ級数展開の例３
鋸歯状波定義域［－π，π］
例１：
１
f x   x
2
1
 2 sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  
3
2

n 1 2
   1
sin nx
n
n 1
－π
０
－１
例２：
定義域［－π，π］
f x   cos


π
ｘ
2

2

x
2
4  cos x cos 2 x cos3x cos 4 x

 



 
 3
15
35
63


4
n 1
   1
cos nx




2
n

1
2
n

1
n 1
１
－π
０
－１
π
ｘ
演習問題
次の関数を図示し、フーリエ級数展開せよ。
またｎを横軸、係数ａｎ，ｂｎを縦軸にとって図示せよ。
０． f x  cos2 x ［－π，π］
1. f x   x ［－π，π］
2.
3.
f  x   cos
x
2
4.
［－π，π］
［－π，π］
 2x
1  L
f x   
2x
1 
L

 L  x  0

b
a
5.
f x   x 2
［－π，π］
6.
1 
f x   
0
  2  x   2
other
パルス関数［－Ｌ，Ｌ］
0  x   L 
4
2 2
4


f
x

x

2

x


7.
［－Ｌ，Ｌ］
部分積分の公式を活用
   x  0
0
f x   
sin x 0  x   
［－π，π］
f x g x dx   f x g x a   f x g x dx ｆ（ｘ）をｘなど、微分して定数になるよう選ぶと良い
a
b
b
パルス関数のフーリエ級数
• パルス関数
– 短い区間εだけ有限の値を持
ち、その他は０
• パルス関数のフーリエ級数
– ｓｉｎｃ関数形となる
• ｎに対してａｎを図示
– εが小さいほど、ｎが大きい級
数ａｎまで値がある
– εが大きい場合、ｎが少し大き
くなると級数ａｎはすぐに０に
近づく
狭いパルスを級数展開すると
大きなｎの級数が現れる
1 
f x   
0
  2 ,  x   2
other
１／ε
－Ｌ
０
ｘ
Ｌ

1
2
n
nx
f x  

sin
cos
2 L n 1 n
2L
L
2
n
an 
sin
n
2L
1 sin z n
zn  n / 2 L 

L
z
n
ａｎ
これをｓｉｎｃ関数という
ｎ
ｎε／２Ｌ＝１
ｎε／２Ｌ＝２
フーリエ級数展開の例：高調波
周期的な時間の関数ｆ（ｔ）のフーリエ級数
• ひずんだ波
• 単振動の波＝正弦波
周期２π／ω
周期２π／ω
ｔ
f t   A cost 
ｔ
f t   a1 cost   a2 cos2t   
 b1 sin t   b2 sin 2t   
 c1eit  c2e 2it  
フーリエ級数
ａ０＝０、ａ１＝Ａ、ａ２＝０、ａ３＝０・・・
基準振動ωの係数ａ１だけ特定の値Ａ、他は０
音波の場合は「純音」、電磁波の場合は「ＣＷ」という
基準振動ωの係数ａ１，ｂ１の他に、２倍の周波数、３倍の
周波数、・・・の係数も０でない値をとる。これを基準振動
＝基本波に対して高調波と呼ぶ。
音波の場合、高調波の混合の程度で「音色」が変化する。
ひずみが激しい＝尖った波ほど、高い高調波が現れる。
複素関数を使ったフーリエ級数
• ［－Ｌ、Ｌ］のパターンを繰り返す周期関数を、ｅｘｐ（ｉｘ）の和で
表す（ことが出来る）
f x  

 cne
i
n
x
L
和が－∞からとなって
いる点に注意
n  
n
i
x
1 L
L
cn  c 
f x e
dx


L
2L
1
 an  ibn 
2
*
n
係数の求め方
これはｓｉｎ、ｃｏｓを使った展開と同じ。式変形で確かめられる。
２個の係数（ａｎ，ｂｎ）を１個の係数ｃｎで表せる。ただしｃｎは一
般に複素数なので、実数２個の組を含んでいる。
オイラーの式
• 任意の複素数ａ＋ｉｂはオイラーの公式によって「振幅Ａ
と位相θ」に変換できる。
Ｉｍ
Aei  A cos  iA sin 
 a  ib
• これを使ってフーリエ係数を表現
cn  Anein
f x  

c e
n  
n
cn  An
i
n
x
L

An  an2  bn2
θｎ
０

A e
n  
ｂｎ
 n

i
x  n 
 L

n
関数ｆ（ｘ）を指数関数ｅｘｐ（ｉｘ）の和で表している。
ただし、振幅Ａｎで重みをつけ、また足し合わせる
ときにθｎの位相回転を加えている。
ａｎ
Ｒｅ
関数の直交性
ベクトルの直交の概念を拡張し、関数の内積と
直交を定義する。それぞれが直交する関数の一
群を直交関数列と呼ぶ。その代表例が三角関数
である。直交間数列を用いて任意の関数を展開
できる。
ベクトルの直交
• 直交する２つのベクトル • やや抽象的な、大きな次
は、内積が０である
元（ｎ次元）のベクトル
– 高校数学の復習
２つのベクトルｘ，ｙ
 x1 
 
x   x2 
x 
 3
 y1 
 
y   y2 
y 
 3
x  y  x1 y1  x2 y2  x3 y3
0
内積が０なのでｘとｙは直交している
 x1 
 
x 
x 2
x
 3

 
 y1 
 
y 
y  2
y
 3
  
 
• 内積
x, y   x1 y1  x2 y2  x3 y3  
n
  xi yi
i 1
＝０なら２つのベクトルは直交している
関数の直交性
• 関数の内積
ベクトルの内積
n
– ２つの関数ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の内積の定義
 f , g   x f xg * xdx
x y
i 1
i
i
x2
1
＊は複素共役
– 内積が０なら「関数ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）は直交する」という
• 例：ｓｉｎ（ｘ）とｓｉｎ（２ｘ）は直交する定義域は［－π，π］

 f , g    sin x sin 2 x dx

1
cos x  cos3x dx
 2


1
1

 sin x  sin 3x   0
2
3
 
ｓｉｎ（ｎｘ）は、ｎが異なれば直交する
ｃｏｓ（ｎｘ）とも直交する
直交しないのは自分自身だけ
直交関数列
一群の系列をなす関数群
互いに直交する
このような性質を持つ関数の
系列を直交関数列ｕｎ（ｘ）という
直交関数列ｕｎ（ｘ）の例
• 三角関数［－π，π］
• ルジャンドル関数列Ｐｎ（ｘ）
［－１，１］・・・直交性を確認せよ
P0  x   1, P1  x   x, P2  x   
eix , e 2ix , e3ix , e 4ix 


1
1  3x 2
2
1
1
P3  x    3 x 2  5 x 4 , P4  x   3  30x 2  35x 4 
2
8
sin x, sin 2 x, sin 3x, sin 4 x 
cos x, cos2 x, cos3x, cos4 x 




• エルミート関数列Ｈｎ（ｘ）※
［－∞，∞］
※エルミート関数列は内積を
2
作るために重み e  x が必要
H 0 x   1, H1 x   2 x, H 2 x   4 x 2  1
H 3 x   8 x 3  12x, H 4 x   16x 4  48x 2  12
直交関数列による関数の展開
• たいていの関数ｆ（ｘ）は、直交関数列ｕｎ（ｘ）の和とし
て表せる。フーリエ級数展開も、この一種
f x   C0u0 x   C1u1 x   C2u2 x   C3u3 x   
  Cnun x 
n
• 係数Ｃｎは内積の計算で得られる
Cn   f , un 
※フーリエ級数展開が上の式に当てはまることを確認せよ
スツルム・リウビル定理
スツルム・リウビルの微分方程式
d 
dy 
 px    qx  y  r x  y  0
dx 
dx 
• どんな関数列が直交関
数列ｕｎ（ｘ）となるか
微分演算子Ｌを導入すると
L
d 
d 
 p x    q x 
dx 
dx 
同一の境界条件でスツルム・リウビルの
微分方程式を満たす（固有関数となる）
関数群は、直交関数列をなす
固有値方程式としてかける
Ly  ry
三角関数はこの最も簡単な場合
（ｐ＝ｒ＝１、ｑ＝０）
この方程式を満たす関数群ｙｎ
（固有値はλｎ）は
 r xy xy xdx  0 
b
a
n
m
n
 m 
互いに直交する（ｒ（ｘ）は重み関数という）
フーリエ変換
フーリエ級数は周期的な関数にのみ適用される。
この方法を拡張したものがフーリエ変換であり、
周期性のない、任意の関数でもフーリエの方法
＝正弦波への分解、を使うことができる。
フーリエ級数の復習
周期［－Ｌ，Ｌ］の関数ｆ（ｘ）は、直交関数列（の
ひとつ、三角関数）ｕｎ（ｘ）を用いて展開できる。
直交関数列
n
1 iLx
un  x  
e
2L
1

2L は規格化の係数。
級数展開
1
f x    Cnun x  
2L
n  
展開係数
1
Cn   f , un  
2L

C e
n  
 f xe
L
L
i
i
n
x
L
n
n
x
L
dx
パルス関数のフーリエ級数
1 
f x   
0
  2  x   2
other
－Ｌ
• Ｌを２倍にすると
ａｎ
１／ε
０
ｘ
Ｌ

1
2
n
nx
f x  

sin
cos
2 L n 1 n
2L
L
2
n
an 
sin
n
2L
1 sin z n
zn  n / 2 L 

L
z
n
ａｎ
ｎ
ｎε／２Ｌ＝１
ｎε／２Ｌ＝２
• Ｌを４倍にすると
ａｎ
ｎ
ｎε／２Ｌ＝１
ｎ
ｎε／２Ｌ＝１
ｎε／２Ｌ＝２
ｎε／２Ｌ＝２
周期Ｌが長いほど、係数の間隔は狭まる
周期的関数の周期Ｌを伸ばす
• 周期Ｌを伸ばすと、係数の間隔は狭まる
• 無限の周期では、係数の間隔は０
• 係数自体が「関数」をなす
フーリエ変換
もとの関数ｆ（ｘ）から、別の関数Ｆ（ｋ）への変換
フーリエ変換
1

 f  x   2

1
 F k  

2






F k e dk
ikx
f  x e ikxdx
２組の式でフーリエ変換
対をなす。フーリエ変換・
逆変換という用語を使う
こともある。
フーリエ変換をｆ→Ｆ→ｆと
２回行えば、元の関数に
戻る。
フーリエ変換の性質
f x  g x  F k   Gk ,
•
•
•
•
af x  aFk 
ある関数ｆ（ｘ）をＦ（ｋ）の積分（～和）で表す
Ｆ（ｋ）はｆ（ｘ）から積分によって計算できる
ｆ（ｘ）とＦ（ｋ）の式は対称
ｆ（ｘ）が実数の関数でも、Ｆ（ｋ）は一般に複素関数
– ｆ（ｘ）が偶関数の場合にはＦ（ｋ）は実関数（ｃｏｓのみ）
1
2
は規格化係数なので、
あまり気にしなくて良い
フーリエ級数とフーリエ変換
n
i
x

1 
L
f x  
Cn e



2 L n 

n
i
x
L
1
L
C 
f x e
dx
n


2L L

• フーリエ級数展開
– 周期関数
1

 f  x   2

1
 F k  

2






F k e ikxdk
f  x e ikxdx
• フーリエ変換
– フーリエ級数展開を無
限長の周期関数＝任意
の関数に適用する
フーリエ級数とフーリエ変換
• フーリエ級数展開
– 周期関数ｆ（ｘ）を、三角関数
ｓｉｎ、ｃｏｓの和として展開
– 「任意の周期関数は、ｓｉｎ、
ｃｏｓの和で表せる。つまり
関数ｆ（ｘ）は係数ａｎ、ｂｎで表
せる」
• フーリエ級数の係数
– 整数ｎによって指標付け
– 元の関数ｆ（ｘ）に含まれる三
角関数の割合の程度を表
す
• 例：ｓｉｎ３ｘが多く含まれると
きは、ｂ３が大きな値になる
– ｆ（ｘ）の偶関数部と奇関数部
がそれぞれａｎ，ｂｎに現れる
• フーリエ変換
– 任意関数ｆ（ｘ）を、三角関数
ｅｘｐ（ｉｋ）の積分（～和）とし
て展開
– 「任意の関数は、三角関数
の積分で表せる。つまり関
数ｆ（ｘ）はフーリエ変換した
関数Ｆ（ｋ）で表せる」
• フーリエ変換した関数
– 連続関数、変数はｋ
– 元の関数ｆ（ｘ）に含まれる三
角関数の割合の程度を表
す。ｋに対するグラフに表せ
ば、その「波数」ｋの成分が
多い・少ないを図示できる
– 複素関数なので振幅と位相
の２つの情報を持つ
フーリエ変換の例
例１：ｘ＞０で指数関数的に減少する関数
e x x  0
f x   
x0
0
1 
ikx


F k  
f
x
e
dx


2
1
1

2   ik
1   ik

2
2
2   k
例３：長さＬが有限な正弦波
L
L

cos
k
x


x

0

2
2
f x   
L
0
x
2

k  k0 L 
 k  k0 L
sin
sin

1 
2
2
F k  



k  k0
2  k  k0



ｘ
例２：ガウス関数
f x   e
F k  
x 2
Ｌ
  0
1 k 2 4
e
2
ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数
（計算が容易なので、逆フーリエ変換して元に戻ることを確認せよ）
－ｋ０
０
ｋ０
ｋ
長さＬが無限なら、２個のδ関数になる。Ｌが有限だ
と、すこし幅を持った関数になる。
パルス関数のフーリエ変換
1 
f x   
0
  2  x   2
other
フーリエ変換
フーリエ級数展開（周期２Ｌ）
１／ε
－Ｌ
０
１／ε
Ｌ

1
2
n
nx
f x  

sin
cos
2 L n 1 n
2L
L
2
n
an 
sin
n
2L
1 sin z n
zn  n / 2 L 

L zn
ｘ
ｘ
０
F k  
1
2
sin
k
2
k
2
０
ｋ
パルス関数のフーリエ変換はｓｉｎｃ関数。
εが小さくなる（鋭くなる）と、Ｆ（ｋ）はどんどん
広がった関数になる。εが０、つまりｆ（ｘ）がδ
関数になると、Ｆ（ｋ）は定数になる
δ関数にはあらゆる周波数の波が等しく含まれている
演習問題
（既出だが、自分で計算。Ｆ（ｋ）を図示せよ）
３．有限長の正弦波
１．減少する指数関数
e x
f x   
0
x0
x0
f x  e
L
L
 x
2
2
L
x
2
４．有限長のパルス
２．ガウス関数
x2

cosk0 x
f x   
0

  0
1 
f x   
0
  2  x   2
other
※パラメータα、Ｌ、εを変化させた場合（特に∞と０）について考察せよ
δ関数と正弦波
長さＬが有限な正弦波
パルス関数のフーリエ変換
1 
f x   
0
  2  x   2
other

cosk0 x
f x   
0

１／ε
L
L
x
2
2
L
x
2
ｘ
０
ｘ
Ｌ
k
sin
1
2
F k  
2 k
2
ε→０とすると、

０
f x    x  となる
このとき、 F k  
1
2
定数である
ｋ
F k  
1  sink  k0  L 2 sink  k0  L 2



k  k0
k  k0
2 

－ｋ０
ｋ０
０
ｋ
Ｌ→∞とすると、 f x   cosk0 x となる

このとき、 F k  
 k  k0    k  k0 
2
δ関数のフーリエ変換は定数
正弦関数のフーリエ変換はδ関数
周期無限大の正弦波＝定数のフーリエ変換もδ関数
δ関数と正弦波
sin k0 x の場合を自分で考えよ
δ関数のフーリエ変換は定数
 f x    x 

 F k   1

2
定数のフーリエ変換はδ関数
 f x   1

F k   2  k 
正弦関数のフーリエ変換はδ関数
 f x   cos k0 x

 F k     k  k    k  k 
0
0

2


k0  0
 2  k 
０以外の位置にあるδ関数の
フーリエ変換は正弦関数
 f x    x  x0 

 F k   1 e ix0 k

2
δ関数列
• δ関数が周期Ｌで無限に並んだ周期関数
• そのフーリエ変換もδ関数列
f x  
2
F k  
L

 x  nL
n  
０
ｘ



   k  n'
n ' 
ｋ
０
Ｌ
2 

L 
２π／Ｌ

 cosnx  
n  
2



2
   x  
n ' 

n' 

を使う
周期関数のフーリエ変換
単パルス関数のフーリエ変換
周期２Ｌのパルス列
1  2nL   2 , 2nL   2
f x   
other
0
１／ε
１／ε
－２Ｌ
－Ｌ
０
Ｌ
２Ｌ
ｘ
F k  
 k 
sin  
2
 

 2
F k  
  k  n' 

k n ' 
2L
L 
2
単パルスによる
  2 ,  2
other
1 
f x   
0
1
2
sin
k
2
k
2
ｋ
０
δ関数列のフーリエ変換（周期２Ｌ）
f x  
δ関数列による

  x  2nL
n  
０ π／Ｌ
ｘ
０
ｋ
周期関数のフーリエ変換は周期の逆数のδ関数列
列の分布（振幅と位相）は、１周期分の関数で決まる
F k  
2
2L
０２Ｌ



   k  n' L 
n ' 
０ π／Ｌ
ｘ
ｋ
変数の対
1

 f  x   2

1
 F k  

2
• ｘとｋ






F k e ikxdk
f  x e ikxdx
• ｔとω
– ｘ：空間の位置［ｍ］
– ｋ＝２π／λ：波数［ｍ－１］
– ｔ：時間［ｓ］
– ω＝２π／Ｔ：周波数［ｓ－１］
＝２πν
他にもいろいろあるが、この２つをよく理解すれば応用できる。
例：量子力学における位置（ｘ）と運動量（ｐ）
スペクトル
• 時系列関数ｆ（ｔ）のフーリエ変換＝スペクトルＦ（ω）
– 時間とともに変動する値に、特定の周波数成分がどれほど含まれて
いるかを示す
– Ｆ（ω）の絶対値の２乗|F()|２をパワースペクトルという
• スペクトルの例
–
–
–
–
–
–
音声信号ｆ（ｔ）と音声スペクトルＦ（ω）
受信電波信号ｆ（ｔ）と電波スペクトルＦ（ω）
風速の時間変化ｆ（ｔ）と風速スペクトルＦ（ω）
海面波の時間変化ｆ（ｔ）と海面波スペクトルＦ（ω）
株価の時間変化ｆ（ｔ）と株価スペクトルＦ（ω）
太陽が放射する電磁波ｆ（ｔ）と太陽の放射スペクトルＦ（ω）
どんな時系列関数でもスペクトルを考えられる
時系列関数以外にもスペクトルの定義を拡張できる
－空間分布関数のフーリエ変換は空間周波数スペクトル
フーリエ変換の重要性
• 様々な物理の問題にフーリエ変換が現れる
– 特に波・振動を扱う現象
• 波動現象、光回折、Ｘ線回折、電波・・・
• スペクトルを知ることが出来る
– 信号・関数だけではわからない性質が見える
– 薄く広がった信号を集められる
• 正弦波がδ関数になるので測定しやすい
• 様々な解法・演算に使える
– 偏微分方程式を解く
• 最初にフーリエが適用したのは熱伝導の問題の解法
– 画像処理をする
• 次の畳み込みにも関係が深い
– データ解析をする
• ・・・
多次元のフーリエ変換
• 直交座標（ｘ，y，ｚ）
– 平面状に分布する値を表す関数ｆ（ｘ，ｙ）
• 例：四角い膜の振動、温度分布、密度分布・・・
– 立体的に分布する値を表す関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）
• 例：直方体空間中の電磁場、電子密度分布、・・・
• 一次元のフーリエ変換を、そのまま多次元に拡張
 1 
f x, y, z   

 2 
1



f
x


2

1
 F k  

2






F k e dk
ikx
f  x e ikxdx
3


  

  
F k x , k y , k z e

i kx xk y ykz z

dkx dky dkz

1

ik x




f
r

F
k
e
dk k  r  k x x  k y y  k z z

3  
8



ik x
 F k   1


f
r
e
dr
3  

8
ｘ，ｙ，ｚを別々に、順番に計算すればよい
多次元の級数展開
• 原点からの距離ｒで表すのが好都合な場合
（１）２次元平面の例：円形の膜の振動ｖ（ｒ，θ）
（２）角度（方向）のみの関数：アンテナの指向性Ｄ（θ，φ）
（３）３次元球の例：太陽の質量密度分布 ρ（ｒ，θ，φ）
よく性質のわかった直交関数列、三角関数やベッセル関数などで展開
• 極座標（ｒ，θ、φ）
– ２次元極座標上の関数は、ベッセル関数と三角関数で展開できる
• 簡単に言えば、円盤形の問題ではベッセル関数を使う
• ケース（１）ｒとθに分離、半径ｒ方向はベッセル関数Ｊｎ（ｒ）を使って表現、θ方
向は三角関数で表現できる＝これらの関数の和としてもとの関数ｖ（ｒ，θ）を
表すことができる
– 角度のみの関数は、球面関数（ルジャンドル関数＋三角関数）で展開
• ケース（２） θとφに分離、球面関数Ｙｎｍ（θ，φ）で表現
• 例：量子力学における波動関数の「角度成分」
– ３次元極座標上の関数は、球ベッセル関数と球面関数で展開
• 球対称の場合や、３次元で半径と角度を分離すれば球ベッセル関数と球面
関数
• ケース（３）ｒとθ・φに分離、半径ｒ方向は球ベッセル関数ｊｎ（ｒ）、角度部分は球
面関数Ｙｎｍ（θ，φ）で表現
畳み込み
２つの関数の合成法の１種が畳み込み演算である。その
基本的な意味は、２つの関数で互いに平滑化することであ
る。実験・観測データは真の値と測定装置の特性関数の
畳み込みであるなど、この考え方は極めて応用範囲が広
い。相関関数やグリーン関数の考え方も共通する。またδ
関数列との畳み込みは、周期的構造を作り出すこと、デジ
タル信号処理の基礎であることから重要である。
畳み込み演算（Convolution）
• ２つの関数ｆ１（ｔ）とｆ２（ｔ）を合成したｇ（ｔ）
– 畳み込み、接合積、合成積、Convolution

g t   f1 t  f 2 t    f1   f 2 t   d

– 畳み込み演算の性質
f1 t  f 2 t   f 2 t  f1 t ,
f  g  h   f  g  h,
f  g  h   f  g  f  h
• 畳み込み演算の意味：
– ２つの関数は、畳み込によって互いに平滑化する。
• 最も重要な応用：
– 実験装置から得られる値は、真の値ｆ（ｘ）と実験装置の特性関数
ｈ（ｘ）の畳み込みになっている。真の値を知るために畳み込みを
解く操作をデコンボリューション（deconvolution）という。
畳み込み演算の例１
（場合分けに注意が必要）
指数関数と一次関数
２つの矩形関数
1
f1 t   
0
0  t  T 
,
other
１
０
1
f 2 t   
0
ｔ
Ｔ
t  T

g t   f1  f 2 t   T  t
0

－Ｔ
 T  t  0
other
１
０
ｔ
０
0  x 
,
x  0
 T  t  0
0  t  T 
other
x
f 2 x   
0
１
0  x  1
other
１
ｔ
０
ｘ
０１
0

g x   f1  f 2 x    x  1  e  x
 ex

Ｔ
－Ｔ
e  x
f1 x   
0
x  0
0  x  1
x  1
１
Ｔ
ｔ
０
１
ｘ
畳み込み演算の例２
２つのガウス関数
f1 x  e
 ax 2
指数関数と矩形関数
f 2 x  e
,
e  x
f1 x   
0
bx 2
１
１
ｘ
０
g x   f1  f 2 x  
ｘ
０

ab
e

ab 2
x
a b
0  x  X 
other
１
ｘ
０
ｘ
Ｘ
x  0
0

0  x  X 
f  g  x   1  e  x
 e X 1 ex
x  X 



1
f 2 x   
0
１
０

ｅＸ－１
ab
０
0  x 
,
 x  0
ｘ
２つのガウス関数の畳み込みはガウス関数
ただし幅が少し大きくなる
※２つのガウス関数の畳み込みで、関数の幅がどのように
変化するか確かめよ
１
０
Ｘ
ｘ
畳み込み演算は、２つの関数を平滑化する
畳み込み演算の例３
ガウス関数と十分長い矩形関数
f1 x   e
 ax 2
1
f 2 x   
0
,
x  X 
other
１
１
ｘ
０
－Ｘ
０
ｘ
Ｘ
g x 
初等関数では表せないが、
平滑化効果から関数形は
容易に想像できる

－Ｘ
０
Ｘ
ｘ
畳み込み演算は、２つの関数を平滑化する
畳み込み演算の例４
δ関数と任意関数
f1 x   x,
周期Ｌのδ関数列と任意関数
f 2 x   f x 
f1 x    x  nL,
f 2 x   f x 
n
０
ｘ
ｘ
０
０
０
ｘ
g x    f x  nL
g x  f1  f 2 x  f x
０
ｘ
Ｌ
n
ｘ
δ関数との畳み込みは、元の関数と同じ
０
ｘ
Ｌ
δ関数列との畳み込み演算は、
周期関数を作る
畳み込みの実例
• 画像処理
• 結晶構造の表現
– 例：ピンボケ写真は、真
の画像とぼやけ関数（Ｐ
ＳＦ）の畳み込み
– 結晶の構造は単位胞と
δ関数列の畳み込み
＊
＊
単位胞
元画像
ピンボケ画像
ＰＳＦ（Point Spread Function）
点のぼやけ具合を表す関数
結晶構造
δ関数列
畳み込み定理
f1 x   f 2 x 

2 F1 k F2 k 
F1 k   F2 k 

2 f1 x  f 2 x 
２つの関数ｆ１（ｘ）とｆ２（ｘ）の畳み込み関数をフーリエ変換すると、
２つの関数のフーリエ変換Ｆ１（ｋ）とＦ２（ｋ）の単純な積となる
この定理は応用上きわめて重要。様々な関数・測定値は複数の関数の畳
み込みや掛算として表されることが多い。それをフーリエ変換すると畳み込
みと掛算が入れ替わる。
この考え方は制御工学のラプラス変換、グリーン関数法、相関関数とウイ
ナー・ヒンチンの定理などに通じる考え方である。
畳み込み定理の応用例
周期関数
周期２Ｌのパルス列＝単パルス＊δ関数列
1  2nL   2 , 2nL   2
f x   
other
0
１／ε
－２Ｌ
－Ｌ
０
Ｌ
２Ｌ
単パルス関数のフーリエ変換
１／ε
ｘ
畳み込み定理を使えば
 k 
sin  
2
 

 2
F k  
  k  n'   2 F1 k F2 k 

k n ' 
2L
L 
2
F1 k  
ｋ
周期関数は単位構造関数ｆ１（ｘ）とδ関数列ｆ２（ｘ）の畳み
込み。そのフーリエ変換は、単位構造関数のフーリエ変
換Ｆ１（ｋ）とδ関数列のフーリエ変換Ｆ２（ｋ）（別のδ関数
列）の単純な積。それぞれ別に計算すれば簡単。
1
2
sin
ｘ
０
k
2
k
2
ｋ
０
δ関数列のフーリエ変換（周期２Ｌ）
f 2 x  
０ π／Ｌ
  2 ,  2
other
1 
f1 x   
0
F2 k  

 x  2nL
n  
2
2L
０２Ｌ



   k  n' L 
n ' 
０ π／Ｌ
ｘ
ｋ
畳み込み定理の応用例
有限長の正弦関数
有限長Ｌの正弦波は、正弦波と矩形関数の掛け算
f x   f1 x  f 2 x 

cosk0 x
f x   
0


L
L
x
2
2
L
x
2
ｘ
Ｌ
f1 x  cosk0 x
F1 k  

2
 k  k0    k  k0 
畳み込み定理により
1
F k  
F1 k   F2 k 
2
k  k0 L 
 k  k0 L
sin
sin

1 
2
2




k

k
k  k0
2 
0



ｘ

1
f 2 x   
0


L
L
x
2
2
L
x
2
－Ｌ／２
F2 k  
１
－ｋ０
kL
sin
2
2
k
2
Ｌ／２
ｘ
０
ｋ０
ｋ
有限長の正弦関数は、無限長の正弦関数と矩形関数
の単純な積。そのフーリエ変換は、正弦関数のフーリ
エ変換（２個のδ関数）とｓｉｎｃ関数の畳み込み。
それぞれ別に計算すれば簡単。
有限長の任意の周期関数
f x   f1 x f 2 x f3 x
例：有限の大きさを持った結晶構造
基本構造とδ関数列の畳み込みに
矩形関数をかけたもの
f1 x 
ｘ
０
f 3 x 
f 2 x 
δ関数列
基本構造
矩形関数
１
０
ｘ
＊
０
F k   F1 k  F2 k  F3 k 
ｘ
×
F1 k 
ｘ
F2 k 
F3 k 
基本構造のフーリエ変換とδ関数列の掛け算に
ｓｉｎｃ関数を畳み込んだもの
ｋ
０
ｓｉｎｃ関数列となる。「列」となるのは周期関数の性質（ｆ２）から。
個々のｓｉｎｃ関数の形状・幅は構造全体の長さ（ｆ３）で決まり、全体が長いほどｓｉｎｃは細くなる。
列の振幅・位相分布は、基本構造（ｆ１）によって決まる。
物理的な例
物理現象や物理の問題に現れるフーリエ級数・
変換の例について述べる。ここに示したのはほ
んの一例である。また、任意の関数をフーリエ級
数展開・フーリエ変換できる、という性質を使うと、
様々な問題の解法が得られることにも注意する。
光回折
ｘ
ξ
平行光線
波長λ
ｘ１と原点の光路長の差＝ｘ１ｓｉｎθ
同
位相の差＝２πｘ１ｓｉｎθ／λ
Ｌ
ｘ１
０
θ
Ｒ
スクリーン
－Ｌ
マスク
原点から角度θの方向の光の強度は、ｘ軸上
の各点に到達した入射光を、光路長の差（位
相差）を考慮しながら足し合わせて得られる。
u     ae
S
i
2x sin 

dx   ae
位相差を考慮
した入射光
i
S
2x

dx
θは小さい
マスクの範囲で足し合わせ
波長λの平行光線が入射、ｘ軸上のマ
スクに開いた穴を通過して回折を起こ
す。十分長い距離Ｒ（＞＞Ｌ）離れたス
クリーン上の光の強度を考える。
ただしθは十分小さい。
角度θの方向の光の強度は、マスクパターンの
フーリエ変換になっている。この例では、マスクは
長さ２Ｌの矩形関数。したがって回折強度はｓｉｎｃ
関数になる。
マスクが十分小さい点なら、回折光強度は定数に
近づく。２つの穴が開いていれば正弦波、周期的
に穴が開いていれば周期的な回折光。
結晶構造とＸ線回折
偏微分方程式の解法
次の微分方程式を解き、解の関数ｘ（ｔ）を求める
x  02 x
単振動の方程式
（解）
関数ｘ（ｔ）はフーリエ変換できる。ｘ（ｔ）をＸ（ω）で表す。
このＸ（ω）がわかれば、ｘ（ｔ）は逆フーリエ変換で得られる。
1 
xt  
X  eit d

2 
これを元の方程式に代入し、左辺の時間微分を実行すると
1 
1 
2
it
2




X

e
d




X  eit d
0


2 
2 
左右が等しいので、つまりＸ（ω）はδ関数である
X    A   0   B   0 
・・・Ｘ（ω）がわかった
xt   Aei0t  Bei0t
単振動の式
普通の物理数学の解き
方は
xt   et
として、λの方程式に変
換する。得られたλを
使ってｘ（ｔ）を表す。
問題を解くにはどちら
の方法でも良く、いろい
ろ試して最適な方法を
使えばよい。
拡散方程式・熱伝導方程式１
u
 au
t
u
 2u
a 2
t
x
３次元の一般的な場合
１次元の場合
ａ：拡散係数、熱伝導係数
ux, t 
ある点ｘでの物体の温度ｕの時間変化（ｄｕ／ｄｔ）は、
その点の温度の空間２階微分（ｄ２ｕ／ｄｘ２）に比例。
流体中を別の流体が拡散する場合の濃度分布も同じ
方程式で表される
拡散方程式・熱伝導方程式２
ｘ
０
問題
十分細く長い棒（熱伝導係数ａ）を考える。ｔ＜０では温度は全て０だった。ｔ＝０の瞬
間だけ原点部分に熱を加えた。つまり初期条件はｕ（ｘ，０）＝ｕ０δ（ｘ）。その後の温度
分布がどのように変化するか考える。
（解）
ｕ（ｘ，ｔ）をｘについてフーリエ変換してＦ（ｋ，ｔ）
とし、熱伝導方程式に代入してｘで微分
ｔ＝０でのＦ（ｋ，０）はδ関数のフーリエ
変換だから定数
F k , t 
 ak 2 F k , t 
t
u0
F k ,0 
2
これはｔで積分できて
よってＦ（ｋ，ｔ）は
F k , t   F k ,0eak t
2
u0  ak 2t
F k , t  
e
2
拡散方程式・熱伝導方程式３
u0  ak 2t
F k , t  
e
2
ｔ１
をｋで逆フーリエ変換して
u0
ux, t  
2
1
e
2at

x2
4 at
となる。
この関数はｘに対してガウス型であり、ｔ
に対して最初増加やがて減少となる関
数である（右図）。
原点に加えられた熱が時間とともに拡
散していく様子を示している。広がりの
幅（ピークの半分になる幅）の時間変化
はｔの１／２乗に比例し、広がる速さは
次第にゆっくりとなる。ｘで積分すれば、
最初に与えたｕ０に一致する。
ｔ２
ｔ３
０
ｘ１
ｘ
全体として温度分布は広がってゆく
ｘ１の温度変化は最初上昇、やがて減少
シュレディンガー方程式１
時刻ｔ＝０においてガウス関数型の波束
（wave packet）を考え、それがどのように
時間変化するか考える。ただしｉｋ０ｘという
位相因子をかけておく。
波束

2 2
i   

2
t
2m x

    2 x 2 ik0 x
f x     e
e
 
14
１次元、自由空間のシュレディンガー方程式
波動関数をｘについてフーリエ変換で表す
1
 x, t  
2
位相因子



 k , t eikxdk
シュレディンガー方程式に代入してｘで微分
ｘ
波束は遠くから見れば一つの粒子のよ
うに振舞う。ｉｋ０ｘという位相因子は、波
束内の振動を表す。これは運動量に相
当することが後でわかる。
 k , t   2 k 2
i

 k , t 
t
2m
これはｔで積分できて
 k , t    k ,0e
k 2
i
t
2m
シュレディンガー方程式２

    2 x 2 ik0 x
f x     e
e
 
14
 k , t    k ,0e
2
k
i
t
2m
ｔ＝０の場合は、初期条件として与えられ
た波束のフーリエ変換
1
 k ,0  F k  
2



f x e ikxdx
これらの結果を使って波動関数を表すと

k 
i  kx
t
2 m 

2
  x, t  
1
2



F k e
dk
波動関数を書き表せた。次に初期条件の
ｆ（ｘ）を使って、具体的にＦ（ｋ）を計算する
14
 1 
F k   
 e
  
これを

k  k0 2

2
に代入すると
14
 1 
  x, t    3 
 4  



e

 k  k0 2 i  kx k 2 t 
2


2 m 
dk
  2




x

i
k
x


t
0
0 
 2
exp

1

i

t


14
 


  x, t    
1  it
 
積分すると
・・・解けた
シュレディンガー方程式３
  2




x

i
k
x


t
0
0 
 2
exp

1

i

t


14
 


  x, t    
1  it
 
ただし  

m
,
0 
2
0
k
2m
粒子の存在確率はψの絶対値の２乗に比例
ｘのガウス関数。ただしピーク位置は原点
から時間とともに離れていく。その速度は
v
k0 p0

m
m
ガウス関数の幅は時間とともに広がる。
幅Δｘは
1   2t 2
x 
2
v
 x, t 
2


e
2 2
1  t
規格化係数
 k 
  x  0 t 
m 

1 2t 2
関数形
・・・古典的な粒子の運動と同じ
（エーレンフェストの定理）
k0
m
2
ｘ
x 
t
2
シュレディンガー方程式４
ｋで表した波動関数（ｋについてガウス型）
14
 1 
 k , t     e
  

k  k0 2

2
e
k 2
i
t
2m
波数は運動量と等価
k0  p0
量子力学における運動量ｐと位置ｘは
フーリエ変換の関係になっている
分布の幅 k  
フーリエ変換
ｘで表した波動関数（ｘについてガウス型）

 
 x, t    
 
14
e
 x 2 i  k0 x 0t 
2
1it
1  it
1   2t 2
分布の幅 x 
2
運動量の幅Δｐと位置の幅Δｘの積
1   2t 2
px  

2
運動量と位置は同時に正確には決まらない
量子力学の不確定性原理
※この関係は、フーリエ変換の対の変数において、一般
的に成り立つ。パルス関数・有限長の正弦波を再考せよ。
画像処理
確率過程
時系列信号
相互相関関数
ウィナー・ヒンチンの定理
高速フーリエ変換ＦＦＴ
三角関数の式変形：メモ
sin  A  B   sin A cos B  cos A sin B
cos A  B   cos A cos B  sin A sin B
sin 2 A  2 sin A cos A
cos 2 A  cos2 A  sin 2 A
 A B   A B 
sin A  sin B  2 sin 
 cos

 2   2 
 A B   A B 
sin A  sin B  2 cos
 sin 

 2   2 
 A B   A B 
cos A  cos B  2 cos
 cos

2
2

 

 A B   A B 
cos A  cos B  2 sin 
 sin 

 2   2 
sin 3 A  3 sin A  4 sin 3 A
cos3 A  4 cos3 A  3 cos A
sin
A
1
1  cos A

2
2
A
1
1  cos A
cos 
2
2

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