MATE 4081: ´Algebra Abstracta Asignación 8. Instrucciones: Trabaje

Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matem´aticas
San Juan, Puerto Rico
´
MATE 4081: Algebra
Abstracta
Asignaci´
on 8.
Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios. El siguiente quiz va a estar basado en
esta asignaci´on.
1. Encuentre el m´aximo com´
un divisor (gcd) d(x) de los siguientes polinomios sobre
Q, el cuerpo de los n´
umeros racionales. Exprese d(x) como una combinaci´on de
los polinomios, i.e. si d(x) = (f (x), g(x)), entonces encuentre a(x), b(x) ∈ Q[x]
tal que
d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x).
(a) x3 − 6x + 7 y x + 4.
(b) x2 − 1 y 2x7 − 4x5 + 2.
2. Encuentre el gcd, d(x), de f (x) = x3 + x + 1 y g(x) = x2 + 2x + 2 en Z13 [x].
Luego, encuentre a(x), b(x) ∈ Z13 [x] tal que
d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x).
3. Suponga que R es un dominio de ideales principales. Demuestre que R tiene
identidad multipicativa.
4. Si f (x), g(x) ∈ F [x] (F cuerpo) y g(x)|f (x), entonces demuestre que
(f (x)) ⊆ (g(x)).
5. Si f (x), g(x) ∈ F [x] son co-primos y f (x)|h(x) y g(x)|h(x), entonces demuestre
que f (x)g(x)|h(x).
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