Universidad de Santiago de Chile Departamento de Matem´ atica y C.C. Ingenier´ıa Civil Gu´ıa de Ejercicios N◦ 1 ´ Coordinador de Algebra Ricardo Santander Baeza Mayo del 2007 La matem´ atica viene impresa en el cerebro y, s´ olo se hace carne cuando palpita en el coraz´ on. 1. Autores Luis Arancibia, Ricardo Santander. 2. Objetivo de la gu´ıa Estimados estudiantes, les proponemos estos ejercicios con el objetivo de que a trav´es del trabajo que significa analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en el m´ as breve plazo, desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente (1) Operar con polinomios (2) Demostrar el valor de verdad de proposiciones l´ ogicas, usando tablas de verdad o bien propiedades (3) Demostrar la validez de f´ ormulas proposicionales usando el m´etodo de Inducci´ on matem´ atica (4) Determinar r´ apida y eficientemente los elementos de sucesiones num´ericas que poseen las propiedades de progresiones aritm´eticas y geom´etricas (5) Determinar r´ apida y eficientemente cualquier t´ermino de un desarrollo binomial (6) Determinar los elementos b´ asicos de una relaci´ on, y en particular de las relaciones de equivalencia. 3. Algunas sugerencias (1) Lea cuidadosamente el problema (2) Reconozca lo que es informaci´ on, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta y debe hacer. (3) Gestione de forma eficiente la informaci´ on 4. Ejercicios Propuestos 1 en nuestro sistema decimal se escribe 0, 33333.... = 0, 3, y la misma en el sistema Binario 3 5 se escribe 0, 01010101.... = 0, 01, escriba usted, en el sistema Binario la fracci´ on 7 (1) La fracci´on (2) Determine la base del sistema de numeraci´ on en el cual el n´ umero 1331 se anota 1000. 1 Coordinaci´ on de Algebra Ingenier´ıa Civil 2 (3) Un n´ umero escrito en el sistema binario tiene ocho cifras, ¿cu´ antas puede tener el es sistema docenal (base 12)? (4) Si p y q son proposiciones l´ ogicas. Demuestre que [∃(x) : p(x) ∧ ∃(x) : q(x)] ⇒ / [∃(x) : (p ∧ q)(x)] (5) Si p y q son proposiciones l´ ogicas, y A es un conjunto entonces niegue la proposici´ on (∀(x), x ∈ A) : [p(x)∧ ∼ q(x)] (6) Si An y Bn (∀n; n ∈ N), son conjuntos. Demuestre que Bn = n [ i=1 Ai , (∀n ∈ N ! =⇒ ∞ [ Bi = i=1 ∞ [ i=1 Ai ! (7) Determine si existe o no un polinomio p(x) de grado 3 tal que p(1) = 0, y p(−i) = −9 para i = 1, 2, 3. Si la respuesta es afirmativa, determine p(x) (8) Determine el conjunto S = n p(x)R[x] | p o x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = p(x) (9) Desarrolle si es posible,el polinomio p(x) = x5 − 4x4 + 3x3 − 6x + 2 en potencias de x − 2 (10) Determine una f´ ormula para calcular: S = n X k=1 9k2 1 − 3k − 2 (11) Demuestre usando Inducci´ on matem´ atica que 32n+1 + 2n+2 (∀n; n ∈ N), es m´ ultiplo de 7 (12) ¿Cu´ antos t´erminos hay que considerar en la progresi´ on aritm´etica 5, 9, 13, 17, ... para que su suma sea 10877? (13) Sea A = {a1 , a2 , . . . } ⊂ R una progresi´ on aritm´etica. Si Demuestre que: n1 X ai = S1 , i=1 S1 S2 S3 (n2 − n3 ) + (n3 − n1 ) + (n1 − n2 ) = 0 n1 n2 n3 n2 X i=1 ai = S2 y n3 X i=1 ai = S3 . Coordinaci´ on de Algebra Ingenier´ıa Civil 3 (14) Determine, si es posible, una progresi´ on geom´etrica tal que verifica las siguientes propiedades: • La diferencia entre el tercer y el primer t´erminos es igual a 9 y • la diferencia entre el quinto y el tercero es 36. (15) Determine, si es posible, cinco n´ umeros en progresi´ on geom´etrica tal que su suma: menos el primero es 19,5 y menos el u ´ltimo es 13. (16) Tres n´ umeros forman una progresi´ on geom´etrica. Si al tercero de ellos le restamos 64, se transforma en progresi´ on aritm´etica. Y realizado esto, le restamos 8 al segundo, entonces volvemos a tener una progresi´ on geom´etrica. Determine los tres n´ umeros iniciales. (17) Resolver la ecuaci´ on 2· 2n n =7· 2n − 2 n−1 donde n es un n´ umero natural (18) en el desarrollo binomial (1 + x2 − x3 )9 . Determine el coeficiente del t´ermino que contiene a x8 √ √ (19) En el desarrollo binomial ( 2 + 3 3)5 determine el conjunto E = {k ∈ Z | tk ∈ Z}, donde tk es el t´ermino de orden k (20) Sea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y P (A) = {X | X ⊂ A}. Defina en P (A) la siguiente relaci´ on . X R Y ⇔ X − {0, 1, 2, 4} = Y − {0, 1, 2, 4} • Demuestre que R es relaci´ on de equivalencia. • Determine las clases de ∅ y {5} (21) Sea A = {0, 1, 2, 3, 4} y P (A) = {X | X ⊂ A}. Defina en P (A) la siguiente relaci´ on X RY ⇔X ⊂Y . Determine las propiedades que cumple R y confeccione un diagrama que la represente (22) Si R y S son dos relaciones entonces demuestre que • (R − S)−1 = R−1 − S −1 • (S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 (23) Sea R una relaci´ on. Demuestre que R es transitiva ⇔ R ◦ R ⊂ R 4 Coordinaci´ on de Algebra Ingenier´ıa Civil (24) Diremos que una relaci´ on R es circular si verifica la siguiente propiedad. aRb∧bRc =⇒ cRa. demuestre que R refleja y circular =⇒ R es relaci´ on de equivalencia (25) Sean R ⊂ A2 y S ⊂ A2 dos relaciones de equivalencia ¿Es R ◦ S? una relaci´ on de equivalencia (26) Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0}. Define en R3 la relaci´ on (x1 , y1 , z1 ) R (x2 , y2 , z2 ) ⇐⇒ (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) ∈ W • Demuestre que R es una relaci´ on de equivalencia • Demuestre que W = (0, 0, 0) n o • Determine R3 = (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3 (27) Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y + 3z = 0}. Define en R3 la relaci´ on (x1 , y1 , z1 ) R (x2 , y2 , z2 ) ⇐⇒ (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) ∈ W • Demuestre que R es una relaci´ on de equivalencia • Demuestre que W = (0, 0, 0) n o • Determine R3 = (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3 (28) Sea W = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] | a0 − a1 = 0}. Define en R2 [x] la relaci´ on p(x) R q(x) ⇐⇒ (p(x) − q(x)) ∈ W • Demuestre que R es una relaci´ on de equivalencia • Demuestre que W = 0 + 0x + 0x2 n o • Determine R2 [x] = p(x) | p(x) ∈ R2 [x] BUEN TRABAJO !!!
© Copyright 2024 ExpyDoc