Universidad de Santiago de Chile
Departamento de Matem´
atica y C.C.
Ingenier´ıa Civil
Gu´ıa de Ejercicios N◦ 1
´
Coordinador de Algebra
Ricardo Santander Baeza
Mayo del 2007
La matem´
atica viene impresa en el cerebro y,
s´
olo se hace carne cuando palpita en el coraz´
on.
1. Autores
Luis Arancibia, Ricardo Santander.
2. Objetivo de la gu´ıa
Estimados estudiantes, les proponemos estos ejercicios con el objetivo de que a trav´es del trabajo que significa
analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en el m´
as breve plazo, desarrollar competencias
adecuadas que les permitan de manera eficiente
(1) Operar con polinomios
(2) Demostrar el valor de verdad de proposiciones l´
ogicas, usando tablas de verdad o bien propiedades
(3) Demostrar la validez de f´
ormulas proposicionales usando el m´etodo de Inducci´
on matem´
atica
(4) Determinar r´
apida y eficientemente los elementos de sucesiones num´ericas que poseen las propiedades
de progresiones aritm´eticas y geom´etricas
(5) Determinar r´
apida y eficientemente cualquier t´ermino de un desarrollo binomial
(6) Determinar los elementos b´
asicos de una relaci´
on, y en particular de las relaciones de equivalencia.
3. Algunas sugerencias
(1) Lea cuidadosamente el problema
(2) Reconozca lo que es informaci´
on, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta y debe hacer.
(3) Gestione de forma eficiente la informaci´
on
4. Ejercicios Propuestos
1
en nuestro sistema decimal se escribe 0, 33333.... = 0, 3, y la misma en el sistema Binario
3
5
se escribe 0, 01010101.... = 0, 01, escriba usted, en el sistema Binario la fracci´
on
7
(1) La fracci´on
(2) Determine la base del sistema de numeraci´
on en el cual el n´
umero 1331 se anota 1000.
1
Coordinaci´
on de Algebra Ingenier´ıa Civil
2
(3) Un n´
umero escrito en el sistema binario tiene ocho cifras, ¿cu´
antas puede tener el es sistema docenal
(base 12)?
(4) Si p y q son proposiciones l´
ogicas. Demuestre que
[∃(x) : p(x) ∧ ∃(x) : q(x)] ⇒
/ [∃(x) : (p ∧ q)(x)]
(5) Si p y q son proposiciones l´
ogicas, y A es un conjunto entonces niegue la proposici´
on
(∀(x), x ∈ A) : [p(x)∧ ∼ q(x)]
(6) Si An y Bn (∀n; n ∈ N), son conjuntos. Demuestre que
Bn =
n
[
i=1
Ai ,
(∀n ∈ N
!
=⇒
∞
[
Bi =
i=1
∞
[
i=1
Ai
!
(7) Determine si existe o no un polinomio p(x) de grado 3 tal que p(1) = 0, y p(−i) = −9 para i = 1, 2, 3.
Si la respuesta es afirmativa, determine p(x)
(8) Determine el conjunto
S =
n
p(x)R[x] |
p
o
x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = p(x)
(9) Desarrolle si es posible,el polinomio p(x) = x5 − 4x4 + 3x3 − 6x + 2 en potencias de x − 2
(10) Determine una f´
ormula para calcular: S =
n
X
k=1
9k2
1
− 3k − 2
(11) Demuestre usando Inducci´
on matem´
atica que 32n+1 + 2n+2
(∀n; n ∈ N), es m´
ultiplo de 7
(12) ¿Cu´
antos t´erminos hay que considerar en la progresi´
on aritm´etica 5, 9, 13, 17, ... para que su suma
sea 10877?
(13) Sea A = {a1 , a2 , . . . } ⊂ R una progresi´
on aritm´etica. Si
Demuestre que:
n1
X
ai = S1 ,
i=1
S1
S2
S3
(n2 − n3 ) + (n3 − n1 ) + (n1 − n2 ) = 0
n1
n2
n3
n2
X
i=1
ai = S2 y
n3
X
i=1
ai = S3 .
Coordinaci´
on de Algebra Ingenier´ıa Civil
3
(14) Determine, si es posible, una progresi´
on geom´etrica tal que verifica las siguientes propiedades:
• La diferencia entre el tercer y el primer t´erminos es igual a 9 y
• la diferencia entre el quinto y el tercero es 36.
(15) Determine, si es posible, cinco n´
umeros en progresi´
on geom´etrica tal que su suma: menos el primero
es 19,5 y menos el u
´ltimo es 13.
(16) Tres n´
umeros forman una progresi´
on geom´etrica. Si al tercero de ellos le restamos 64, se transforma
en progresi´
on aritm´etica. Y realizado esto, le restamos 8 al segundo, entonces volvemos a tener una
progresi´
on geom´etrica. Determine los tres n´
umeros iniciales.
(17) Resolver la ecuaci´
on
2·
2n
n
=7·
2n − 2
n−1
donde n es un n´
umero natural
(18) en el desarrollo binomial (1 + x2 − x3 )9 . Determine el coeficiente del t´ermino que contiene a x8
√
√
(19) En el desarrollo binomial ( 2 + 3 3)5 determine el conjunto
E = {k ∈ Z | tk ∈ Z},
donde tk es el t´ermino de orden k
(20) Sea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y P (A) = {X | X ⊂ A}. Defina en P (A) la siguiente relaci´
on
.
X R Y ⇔ X − {0, 1, 2, 4} = Y − {0, 1, 2, 4}
• Demuestre que R es relaci´
on de equivalencia.
• Determine las clases de ∅ y {5}
(21) Sea A = {0, 1, 2, 3, 4} y P (A) = {X | X ⊂ A}. Defina en P (A) la siguiente relaci´
on
X RY ⇔X ⊂Y
.
Determine las propiedades que cumple R y confeccione un diagrama que la represente
(22) Si R y S son dos relaciones entonces demuestre que
• (R − S)−1 = R−1 − S −1
• (S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1
(23) Sea R una relaci´
on. Demuestre que
R es transitiva ⇔ R ◦ R ⊂ R
4
Coordinaci´
on de Algebra Ingenier´ıa Civil
(24) Diremos que una relaci´
on R es circular si verifica la siguiente propiedad. aRb∧bRc =⇒ cRa. demuestre
que
R refleja y circular =⇒ R es relaci´
on de equivalencia
(25) Sean R ⊂ A2 y S ⊂ A2 dos relaciones de equivalencia ¿Es R ◦ S? una relaci´
on de equivalencia
(26) Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0}. Define en R3 la relaci´
on
(x1 , y1 , z1 ) R (x2 , y2 , z2 ) ⇐⇒ (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) ∈ W
• Demuestre que R es una relaci´
on de equivalencia
• Demuestre que W = (0, 0, 0)
n
o
• Determine R3 = (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3
(27) Sea W = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y + 3z = 0}. Define en R3 la relaci´
on
(x1 , y1 , z1 ) R (x2 , y2 , z2 ) ⇐⇒ (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) ∈ W
• Demuestre que R es una relaci´
on de equivalencia
• Demuestre que W = (0, 0, 0)
n
o
• Determine R3 = (x, y, z) | (x, y, z) ∈ R3
(28) Sea W = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 ∈ R2 [x] | a0 − a1 = 0}. Define en R2 [x] la relaci´
on
p(x) R q(x) ⇐⇒ (p(x) − q(x)) ∈ W
• Demuestre que R es una relaci´
on de equivalencia
• Demuestre que W = 0 + 0x + 0x2
n
o
• Determine R2 [x] = p(x) | p(x) ∈ R2 [x]
BUEN TRABAJO !!!
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