Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Matem´aticas San Juan, Puerto Rico ´ MATE 4081: Algebra Abstracta Asignaci´ on 7. Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios. El siguiente quiz va a estar basado en esta asignaci´on. 1. Haga lo siguiente: (a) Sin utilizar el hecho de que Z3 es un cuerpo, demuestre que (3) = 3Z es un ideal maximal de Z. Nota. Suponga que I es un ideal de Z que contiene a (3). Demuestre que si I 6= (3), entonces I = Z. (b) Sin utilizar el hecho de que Z4 no es un cuerpo, demuestre que (4) = 4Z no maximal encontrando un ideal propio de Z que contiene a (4). 2. Considere el conjunto M2×2 (Z2 ) de matrices 2 × 2 con entradas en Z2 , i.e. si A ∈ M2×2 (Z2 ), entonces a11 a12 A= a21 a22 con aij ∈ Z2 . Defina la suma de matrices como a11 + b11 a12 + b12 b11 b12 a11 a12 = + A+B = a21 + b21 a22 + b22 b21 b22 a21 a22 donde las entradas se modulan m´odulo 2 y defina la multiplicaci´on como a11 a12 b11 b12 a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 AB = = a21 a22 b21 b22 a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 donde las entradas se modulan m´odulo 2. Haga lo siguiente: (a) Demuestre que M2×2 (Z2 ) es un anillo no conmutativo con identidad. (b) M2×2 (Z2 ) tiene orden 16, enliste todos sus elementos. (c) Demuestre que M2×2 (Z2 ) no es un dominio. (d) Un elemento a 6= 0 en un anillo R se llama nilpotente si existe un entero positivo n tal que an = 0. Encuentre los elementos nilpotentes de M2×2 (Z2 ). 0 0 1 0 (e) Demuestre que S = , es un subanillo de M2×2 (Z2 ). 0 0 0 1 1 a b (f) Demuestre que R = | a, b, c ∈ Z2 es un subanillo de M2×2 (Z2 ). 0 c 0 0 0 1 (g) Demuestre que S = , es un ideal de R (no de 0 0 0 0 M2×2 (Z2 )). (h) Encuentre R/I. 2