MATE 4032: ´Algebra Abstracta Asignación 6. Instrucciones: Trabaje

Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matem´aticas
San Juan, Puerto Rico
´
MATE 4032: Algebra
Abstracta
Asignaci´
on 6.
Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios. El siguiente quiz va a estar basado en
esta asignaci´on.
1. Defina R = C[0, 1] (funciones continuas en el intervalo [0,1]). Asuma que R es
un anillo (la explicaci´on est´a en sus notas de la clase). Defina
S = {f ∈ R | f es diferenciable en (0, 1)}.
Demuestre que S es un subanillo de R, pero no un dominio integral.
2. Suponga que I, J son ideales de un anillo R. Demuestre que I ∩ J es un ideal
de R.
√
√
3. Demuestre que Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q} es un cuerpo.
4. Suponga que ϕ : R → R0 es un epimorfismo de anillos.
(a) Demuestre que si R es un anillo con identidad, entonces R0 es un anillo
con identidad.
(b) Demuestre que si R es un anillo conmutativo, entonces R0 es un anillo
conmutativo.
(c) Suponga que I ⊆ R es un ideal. Demuestre que ϕ(I) es un ideal de R0 .
5. Cierto o Falso. Explique su respuesta.
(a) Si ϕ : R → R0 es un epimorfismo de anillos y R tiene divisores de 0,
entonces R0 tiene divisores de cero.
(b) Si ϕ : R → R0 es un epimorfismo de anillos y R es un dominio integral,
entonces R0 es un dominio integral.
6. Considere el mapa ϕ : Z12 → Z3 dado por ϕ(a mod 12) = a mod 3.
(a) Demuestre que ϕ es un epimorfismo de anillos.
(b) Encuentre Ker(ϕ).
(c) Utilice el Primer Teorema de Homomorfismo para demostrar que
Z12 /Ker(ϕ) ' Z3 .
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7. Considere el epimorfismo can´onico
ϕ : Z → Z20 .
(a) Encuentre todos los ideales de Z20 .
(b) Encuentre todos los ideales de Z que contienen a 20Z (Teorema de Correspondencia).
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