Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matem´aticas
San Juan, Puerto Rico
´
MATE 4081: Algebra
Abstracta
Asignaci´
on 9.
Instrucciones: Trabaje todos los ejercicios. El siguiente quiz va a estar basado en
esta asignaci´on.
1. Construya un cuerpo con 1331 elementos.
2. Haga lo siguiente:
(a) Demuestre que (x3 + x + 6) es un ideal maximal en Z7 [x].
(b) Por (a), sabemos que Z7 [x]/(x3 + x + 6) es un cuerpo. Haga lo siguiente,
i. Multiplique [2x + 1] con [x2 + x + 2].
ii. Encuentre el inverso multiplicativo de [x2 + x + 1].
3. Suponga que E es un dominio Euclideano. Demuestre que E es un Dominio de
Ideales Principales (PID).
4. Demuestre que f (x) = x4 + 1 es reducible en Z3 [x].
Los siguientes ejercicios dependen del Criterio de Eisenstein, el cual estamos pr´
oximos a aprender.
5. Si p es primo, entonces demuestre que 1 + x + x2 + · · · + xp−1 es irreducible en
Q[x].
6. Suponga que α ∈ C es tal que α2 + α + 2 = 0. Considere el conjunto
F = {a + bα | a, b ∈ Q}.
Demuestre que F es un cuerpo demostrando que F es isomorfo a un cuerpo de
la forma Q[x]/(p(x)).
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