Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Matem´aticas San Juan, Puerto Rico ´ MATE 4081: Algebra Abstracta Soluci´ on Asignaci´ on 8. 1. Encuentre el m´aximo com´ un divisor (gcd) d(x) de los siguientes polinomios sobre Q, el cuerpo de los n´ umeros racionales. Exprese d(x) como una combinaci´on de los polinomios, i.e. si d(x) = (f (x), g(x)), entonces encuentre a(x), b(x) ∈ Q[x] tal que d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x). (a) x3 − 6x + 7 y x + 4. Soluci´on: Aplique el Algoritmo de Euclides para polinomios para encontrar que d(x) = 1. Ahora, haciendo “back-track”, obtenemos que a(x) = − b(x) = 1 33 x2 4x 10 − + . 33 33 33 Muerto el Pollo. (b) x2 − 1 y 2x7 − 4x5 + 2. Soluci´on: Con f (x) = 2x7 − 4x5 + 2 y g(x) = x2 − 1. Aplique el Algoritmo de Euclides para polinomios para encontrar que d(x) = x − 1. Ahora, haciendo “back-track”, obtenemos que 1 2 b(x) = x5 − x3 − x. a(x) = − Muerto el Pollo. 2. Encuentre el gcd, d(x), de f (x) = x3 + x + 1 y g(x) = x2 + 2x + 2 en Z13 [x]. Luego, encuentre a(x), b(x) ∈ Z13 [x] tal que d(x) = a(x)f (x) + b(x)g(x). Soluci´on: Aplique el Algoritmo de Euclides para polinomios para encontrar que d(x) = x + 6. Ahora, haciendo “back-track”, obtenemos que a(x) = 9 b(x) = 4x + 5. Muerto el Pollo. 1 3. Suponga que R es un dominio de ideales principales. Demuestre que R tiene identidad multipicativa. Demostraci´on: Como R es un dominio de ideales principales, entonces todo ideal de R es principal. Ahora, R es un ideal de R, por lo tanto, es principal, o sea, existe a ∈ R tal que R = (a). Concluimos que todo elemento de R es un multiplo de a. Pero a ∈ R, por lo tanto, existe e ∈ R tal que a = ea. El elemento e es nuestro candidato para la identidad multiplicativa. Para demostrar que e es en realidad la identidad multiplicativa, tenemos que demostrar que si r ∈ R, entonces er = r (note que no tenemos que demostrar que re = r, pues re = er al R ser conmutativo). Suponga que r ∈ R. Entonces r es un multiplo de a, i.e. existe n ∈ R, tal que r = na. Luego, er = e(na) = (en)a = (ne)a = n(ea) = na = r. Concluimos que er = r para todo r ∈ R. En otras palabras, e es la identidad multiplicativa de R. 4. Si f (x), g(x) ∈ F [x] (F cuerpo) y g(x)|f (x), entonces demuestre que (f (x)) ⊆ (g(x)). Demostraci´on: Suponga que g(x)|f (x). Entonces, existe a(x) ∈ F [x] tal que f (x) = a(x)g(x). Tome h(x) ∈ (f (x)). Entoces, h(x) es un multiplo de f (x), i.e. existe b(x) ∈ F [x] tal que h(x) = b(x)f (x). Como f (x) = a(x)g(x), entonces h(x) = b(x)f (x) = b(x)a(x)g(x) ∈ (g(x)). Concluimos que (f (x)) ⊆ (g(x)). 5. Si f (x), g(x) ∈ F [x] son co-primos y f (x)|h(x) y g(x)|h(x), entonces demuestre que f (x)g(x)|h(x). Demostraci´on: Como f (x)|h(x), entonces existe a(x) ∈ F [x] tal que h(x) = a(x)f (x). Ahora, g(x)|h(x), o sea, g(x)|a(x)f (x). Como f (x) y g(x) son coprimos y como g(x)|a(x)f (x), entonces concluimos que g(x)|a(x), i.e. existe b(x) ∈ F [x] tal que a(x) = b(x)g(x). Finalmente, observe que h(x) = a(x)f (x) = b(x)g(x)f (x). Concluimos que f (x)g(x)|h(x). 2