Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras Facultad de Ciencias Naturales Departamento de Matem´aticas San Juan, Puerto Rico Apellidos: No. estudiente: Mate 4032 Examen III: 30 de abril de 2013 Nombre: Profesor: Dr. Luis A. Medina INSTRUCCIONES 1. Esta prueba consiste de dos partes en 6 p´aginas. 2. Escriba su nombre y n´ umero de estudiante ahora. 3. Muestre su trabajo. Para recibir cr´edito, sus respuestas deben estar bien escritas, justificadas y bien organizadas. 4. Por favor, apage el tel´efono celular y cualquier otro aparato electr´onico que pueda interrumpir a otros tomando el examen. 5. Esta prueba es de 2 horas. NO ESCRIBA DEBAJO DE ESTA LINEA P´agina Valor Puntuaci´on 2 20 3 25 4 15 5 20 6 25 Total 100 ´ Exito 1 1. Defina: (a) Ideal Maximal (2 pts) (b) Ideal Principal (2 pts) (c) Dominio de Ideales Principales (2 pts) 2. Enuncie el Criterio de Eisenstein. (2 pts) 3. Cierto o Falso. Explique su respuesta. No se otorgar´an puntos a respuestas sin explicaci´ on. (a) El ideal (x2 + 1) es maximal en Z5 [x] (3 pts) (b) Suponga que R es un anillo y M un ideal maximal de R, entonces R/M es un cuerpo. (3 pts) (c) Supona que R es un anillo y a ∈ R. Entonces a ∈ (a). (3 pts) (d) El polinomio f (x) = x6 + 12x5 − 18x4 + 36x3 − 162x2 + 12x + 15 es irreducible en Q[x]. (3 pts) 2 4. Haga lo siguiente: (a) Demuestre que es un ideal maximal de Z13 [x]/(x3 + 2) es un cuerpo. (b) Multiplique [2x + 5] · [4x + 3] en Q[x]/(x2 + x + 1). (c) Encuentre el inverso de [2x + 6]. (15 pts) (5 pts) (5 pts) 3 5. Encuentre gcd(x2 + x + 2, 3x3 + x + 2) en Z11 [x]. 4 (15 pts) 6. Construya un cuerpo con 343 elementos. (10 pts) 7. Demuestre que (x2 + x + 1) es un ideal maximal de Q[x]. (10 pts) 5 8. Considere R = 2Z y M = 4Z. Se puede demuestar que M es un ideal maximal de R. Demuestre que R/M no es un cuerpo. ¿Por qu´e ´esto no es una contradicci´on? (10 pts) 9. Considere el anillo Z[x] y defina I = {p(x) ∈ Z[x] | coeficiente constante de p(x) es par}. Haga lo siguiente: (15 pts) (a) Demuestre que I es un ideal. (b) Demuestre que I no es principal. 6