Title Author(s) Citation Issue Date 「白銀比の教材化」 : 中学3年「平方根」の学習場面で（個人研究）( fulltext ) 松尾,吉陽研究紀要/東京学芸大学附属小金井中学校(50): 115-118 2014-03-28 URL http://hdl.handle.net/2309/135613 Publisher 東京学芸大学附属小金井中学校 Rights 東京学芸大学附属小金井中学校『研究紀要』第50号 201 4 ｢白銀比の教材化｣ ∼中学 3年｢平方根｣の学習場面で∼ 松尾吉陽本校数学科では研究の柱に思考をおいている｡｢思考したことをもとにして判断をする｣｢思考した結果を友だちに表現して伝える｣と考え,数学科指導の核となるものを思考としたのである｡このような思考場面で,白銀比が含まれているルート長方形 ( 規格紙)の,教材としての価値を明らかにすることを研究の目的とする｡研究方法は,身のまわりにある規格紙を題材として,ルート長方形の拡大･縮小を思考する場面で授業実践を行った｡その結果,白銀比となっているルート長方形は,平方根の学習において価値ある教材であるという知見を得た｡ [キーワード] 教材開発平方根白銀比ルート長方形問題解決学習 1.研究の目的と方法 1-1.研究の目的 3年では, 2次の世界を学習する｡新たな数｢平方根｣である｡数学は,全ての学習が思考場面といっても良い｡その 1つにこの数概念の拡張がある｡このような概念拡張の学習においては,身のまわりにある教材を活用することが有効と考えている｡それは,生徒の学習-の興味関心を高めることが期待できるからである｡生徒が毎日目にするコピー用紙 ( ルート長方形である規格紙 ) が,教材としてどのような価値があるかを明らかにすることを研究の目的とする｡端的に述べれば,平方根の学習における教材開発である｡ 1-2.研究の方法研究方法は,授業実践である｡ 3年｢平方根｣の単元において,身のまわりにある 4種類の規格紙を教材として,短辺 :長辺 -1: JFになっているコピー用紙の長さの関係を思考する場面を設定する0 A判同士のA 3とA 4の関係, B判同士の B4とB5の関係だけでなく, A判とB判の関係を追究する思考場面から,思考の様相をとらえていく｡つまり, コピー用紙の教材としての価値を明らかにするため,問題解決の授業実践を通して検証していく研究方法をとる｡ 2.｢平方根｣について平方根の学習の意義を,以下の 3点からとらえてみる｡ 2-l.無理数という観点から 2-1-1.数の拡張中学校数学の数の世界は, 1年で負の数-の拡張がなされた｡ 2回目の拡張が本単元で学ぶ無理数の拡張である｡無理数の存在を視野に入れることで,有理数の理解を充実させる｡つまり,無理数が分数に表せない数であることから,有理数の理解を明確にしていく｡ 2-1-2.計算の拡張無理数も, これまでの有理数と同じように四則計算ができることから,計算でも拡張が行える｡交換法則や結合法則,分配法則が成り立つことより計算の世界での拡張を感得させる｡ -1 1 5- 2-2. 身のまわりにある平方根という観点から 2-2-1.正方形 0の正正方形には,JFが潜んでいるo対角線の長さである.方眼紙を利用して面積が 2, 5, 8, 1 方形をかかせることから, J F,JF,Jg,Ji. すの存在を知る｡ 2-2-2.規格紙 A 3, A 4, B4, B 5の 4種類の規格紙 (コピー紙 )には,短辺 :長辺 - 1 :JT という共通の性質がある｡この性質があるので,半分にしても相似な長方形となる｡またこの比率は｢白銀比｣と呼ばれ古来より美しい比の形として好まれている｡ A判は,面積が 1m2 の｢ルート長方形｣をA Oとしている｡ B判は,面積が 1. 5m2の｢ルート長方形｣を BOとしている｡ 2-3. 白銀比の教材化という観点から 2-3-1.数学的活動と思考場面縦と横の長さの比が, 4種類のコピー用紙とも 1:1. 41--- となることから,規格紙の縦と横の長さの比を 1 : J f と類推して確認する数学的活動を行った｡･規格紙を 2回折ることにより,縦と横の長さの比を 1 : J f と確認する｡･コンパスを用いて正方形の対角線の長さを移動し,縦と横の長さの比を 1: /21と確認する. 2-3-2.規格紙の拡大･縮小と思考場面 A判同士 ( A 3とA 4の関係 )とB判同士 (B4とB5の関係 )は面積が 2倍と 1/2の関係になっているので, 141%の拡大や 70%( もう少し正確には 0. 7071067-)の縮小は,根号を含む式の計算･有理化が未習のため,答えを求めるための式が分かれば良い程度にする｡また, A判とB判との間の拡大縮小は, A判の面積の 1. 5倍が, B判の面積になっているという事実から拡大縮小を考えていかなければならない｡白銀比の教材化という観点から,平方根の学習が,思考と深く関係していることが分かる｡特に本実践では, コピーする時の拡大縮小の比率が課題である｡その課題を問題解決していく過程で平方根の理解を深めていく｡ 3.実践の概要 3-1.単元名平方根 3-2.単元の指導計画 ( 1 2 時間扱い) 第 1次平方根の理解･根号の意味,平方根の意味,平方根の基本性質･無理数,有理数の意味第 2次身のまわりにある平方根･用紙の縦と横の長さの割合 ( 本時 3/ 3) ･拡大縮小から平方根を考える第 3次根号を含む式の計算 3-3.本時の目標･規格紙の拡大縮小に関心をもち, 身のまわりにある平方根を考えようとする｡ ( 数学- の関心∴ 意欲･態度) -1 1 6- ･規格紙の縦と横の比率を平方根で考え,拡大縮小の求め方を考えることができる｡ ( 数学的な見方や考え方) ･規格紙の比率の求め方を式に表すことができる｡ ( 数学的な技能) ･身のまわりに平方根が有効に使われていることを知る｡ ( 数量や図形などについての知識･理解) 3-4.本時の主題身のまわりにある平方根 3-5. 白銀比に着目した指導の工夫本実践を通して,実践者は次のような指導の工夫を意図する｡ 315-l.数学的活動実際に規格紙を折ったり,作図したりして無理数の存在を実感させる指導をする｡ 3-5-2.倍率の予想拡大縮小の倍率を予想する場面では,生徒の自由な発想を大切にして予想させる｡あくまで予想なので,見た目の感じで予想することを認める｡ 141%のように､白銀比が分かっている半端な数の倍率を答える反応も認める｡ 3-5-3.電卓を利用した実測値の活用 E3]と匡司の関係,匡 j]と匝司の関係をとらえるのに苦労する生徒がいる場合には,実測した結果から導く方法を認める｡ 3-5-4.拡大コピーの提示 0 0%の拡大コピーを提示することによって, 面積で縮尺を求めることにこだわっている生徒には,2 拡大倍率や縮小倍率が辺の長さの比であることを理解させる｡ 3-5-5.倍率の関係図の活用 A3, A4, B4, B5の拡大縮小の関係を次のような図でまとめる｡ 81% 61% E ] 〒 [≡ ] E ∃- -1 1 7- [≡ ] 3-6.規格紙の関係 1 4 5 6 m m 1 1 8 9 m m B1 - -1 ■ ■ 4.実践の考察 4-1.成果実践者の意図した指導の工夫から,生徒の思考をうながし考えを深める場面が見られた｡｢ 3-5. 白銀比に着目した指導の工夫｣で述べた観点と対応させ,実践を考察する｡数学的活動として取り入れた,規格紙を実測させる活動,規格紙を実際に折る活動,正方形を作図する活動は,無理数 (白銀比 )の存在を理解するために有効であった｡倍率の予想では,生徒の自由な発想を大切にして予想させたため,多くの生徒が発言した./F倍という白銀比を根拠に予想した生徒が見られた｡電卓を利用した実測値の計算は,倍率の値を求める手段の 1つとして有効であった｡ 00% の拡大拡大コピーを提示することによって,拡大縮小のイメージを掴むことができた｡特に,2 コピーの提示は,倍率が長さで表されていることを視覚的にとらえることができた｡倍率の関係図の活用については,√｢一百という表現や, B判の面積が A判の面積の 1. 5倍という関係から,生徒が白銀比を掴むのは難しいということが分かった｡ 4-2.課題実践を通し,生徒の思考を深めるための今後の課題が明らかになった｡･生徒の思考が深まらない場面は,生徒に｢何を考えればよいか｣という教師の指示がはっきりしていなかった｡教師の発間･指示をどのように構成していくかをはっきりさせていく必要がある｡･AOとBOの面積の比を 1:1. 5と表したり,平方根の近似値の表示が統一できていなかったりした｡生徒が思考を深めるための分かりやすい表現方法の改善が重要である｡ -1 1 8-