PowerPoint プレゼンテーション

プロセス制御工学
２．プロセスモデル
京都大学
加納学
Division of Process Control & Process Systems Engineering
Department of Chemical Engineering, Kyoto University
[email protected]
http://www-pse.cheme.kyoto-u.ac.jp/~kano/
講義内容
 プロセスモデルの構築
 ラプラス変換
2
動的なプロセスモデルの必要性
 プロセス制御を実現するためには，プロセスの入力変数
（操作変数と外乱）が変化したときに出力変数（制御変
数）が時間的にどのように変化するか，すなわちプロセ
スの動特性を表現できるモデルが必要である．
 プロセス設計に利用されるモデルは，定常状態におけ
る変数間の関係を表現するものであり，動特性は無視
されている場合が多い．
 アクセルやブレーキと車速の関係を
知らなかったら，どうなるだろうか？
3
プロセスモデルの種類
 物理モデル（現象論的モデル）
物理や化学の法則に基づいて化学プロセスの動特性を
一連の微分方程式や代数方程式で表現するモデル
 ブラックボックスモデル（統計的モデル）
プロセスの運転データから導出されるモデル
例えば，操作変数を人為的に変化させることによって，操
作変数が制御変数に与える影響を知ることができるため，
そのときの入出力データからモデルを構築できる．
システム同定：入出力データから統計的モデルを構築す
ること
 グレイボックスモデル＝現象論的モデル＋統計的モデル
4
5
状態変数と状態方程式
 プロセスの動特性を表現するためには，プロセスの状態
を表す変数（状態変数）とその時間的変化を表す数式
（状態方程式）が必要である．
例）物質収支式や熱収支式などのプロセス方程式
dx
状態方程式
 f ( x, u )
dt
状態変数
x
 初期状態 x0 と入力 u が与えられれば，プロセスの状態
が変化する様子を知ることができる．
プロセス方程式から状態方程式へ
 プロセス方程式が 1 階微分方程式で与えられるとは限
らないが，状態変数の 1 階から n-1 階微分までを状態
変数に加えることにより， n 階微分方程式に変形できる．
2
d y
dy
a
 g ( y, u )
2
dt
dt
dy
x1  y, x2 
dt
x2

d  x1  




dt  x2   g ( x1 , u )  ax2 
6
定常状態と非定常状態
 定常状態
状態変数が時間的に変化しない状態
0  f (~
x , u~)
 非定常状態
状態変数が時間的に変化する状態
dx
 f ( x, u )
dt
7
例題２．１
物質収支
エネルギー収支
dL
A
 Fi  F
dt
d ( LT )
c p A
 c p FiTi  c p FT  Q
dt
8
例題２．１
物質収支
エネルギー収支
dL
A
 Fi  F
dt
d ( LT )
Q
A
 FiTi  FT 
dt
c p
d ( LT )
dT
dL
dT
A
 AL
 AT
 AL
 T ( Fi  F )
dt
dt
dt
dt
dT
Q
AL
 F (Ti  T ) 
dt
c p
9
10
例題２．１
状態方程式
dL
A
 Fi  F
dt
dT
Q
AL
 F (Ti  T ) 
dt
c p
状態変数
L
T
自由度
 プロセス自由度
プロセスの定常状態を決めるために必要十分な変数の
数，あるいは互いに独立に変化させることのできる変数
の数
プロセス自由度＝変数の数－式の数
 制御自由度
制御可能な変数の数
制御自由度＝プロセス自由度－外部条件変数の数
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自由度の計算例（例題２．２）
状態方程式
dL
A
 Fi  F
dt
dT
Q
AL
 F (Ti  T ) 
dt
c p
プロセス自由度
４
＝
変数の数
６
ー
式の数
２
制御自由度＝プロセス自由度－外部条件変数の数
２
４
２
12
線形化
 化学プロセスの物理モデルの多くは非線形微分方程式
で与えられる．しかし，プロセスが狭い条件範囲で運転
される場合には，線形モデルによって非線形モデルを
十分な精度で近似できる．
 プロセスをある定常状態に保つことが目的である場合
には，その定常点周りでのプロセスの動特性は線形近
似したモデルを用いて表現できるため，その線形モデル
に基づいて制御系を設計すればよい．
 近年，反応器など非線形性が強く，かつ高い制御性能
を要求されるプロセスに対して，非線形モデルに基づく
モデル予測制御の適用などが進められている．
13
14
線形化
テイラー展開
2
x  x0
(
x

x
)
( 2)
0
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )
 f ( x0 )

1!
2!
n
(
x

x
)
(n)
0
 f ( x0 )

n!
f (x)
２次以上の項を無視
f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 )(x  x0 )
x0
x
例題２．３
dL
A
 Fi  a L
dt
1
~
~
L L
~ (L  L )
2 L
dL
a
~
~
A
 Fi  a L 
(L  L )
~
dt
2 L
15
定常値からの変化量に着目
定常値からの変化量
x  x  ~
x
状態方程式の線形近似
dx
 f ( x)  f ( ~
x )  f ' (~
x )( x  ~
x)
dt
定常状態
d~
x
0
 f (~
x)
dt
dx
 f ' (~
x )x
dt
16
17
例題２．４
定常値からの変化量
物質収支式
定常状態
~
L  L  L
dL
A
 Fi  a
dt
~
0  Fi  a
a
~
~
L
~ (L  L )
2 L
~
L
dL
a
A
 Fi 
L
~
dt
2 L
~
Fi
 Fi  ~ L
2L
撹拌槽型加熱器の線形モデル（例題２．５）
~
Fi
dL
A
 Fi  ~ L
dt
2L
dT ~
~ ~ Q
AL
 Fi (Ti  T )  Fi (Ti  T ) 
dt
c p
状態空間表現
~
 Fi
d L   2 AL~



dt T  
0

 1

0  L  
A~
~

~    T  T
Fi  T   i

 AL
AL 
0
~
Fi
AL
 F
 i 
 Ti 
1  
c p AL  Q 
0
18
講義内容
 プロセスモデルの構築
 ラプラス変換
19
20
ラプラス変換
 ラプラス変換の定義と基本特性
定義

L[ f (t )]  F (s)   f (t )
0
線形性
合成積
e  st
dt
L[af (t )  bg(t )]  aF(s)  bG(s)
t
L[  f (t   ) g ( )d ]  F ( s)G( s)
0
21
ラプラス変換
 微積分のラプラス変換
( n)
L[ f
(t )]  s F (s)  s
n
L[ f ( n) (t )]  s n F (s)
n1
f (0)   f
t
n
 指数関数のラプラス変換
L[e
 at
1
]
sa
(0)
初期値がすべて０の場合
1
L[   f (t )(dt ) ]  n F ( s)
0
0
s
t
( n1)
22
例題２．６
b (t  0)
dx
 ax  f (t ), x(0)  0, f (t )  
dt
0 (t  0)
ラプラス変換
逆変換（合成積）
sX (s)  aX (s)  F (s)
F ( s)
X ( s) 
sa
t
x(t )   e
0
 a ( t  )
f ( )d
b
 (1  e  at )
a
ラプラス変換
 移動定理
 ds
L[ f (t  d )]  e F (s)
 最終値定理
lim f (t )  lim sF ( s )
t 
s 0
23
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例題２．７
b (t  0)
dx
 ax  f (t ), x(0)  0, f (t )  
dt
0 (t  0)
b
F (s) 
s
b
X ( s) 
s( s  a)
最終値定理
lim x(t )  lim sX ( s)
t 
s 0
b
b
 lim

s 0 s  a
a
t
x(t )   e
0
 a ( t  )
f ( )d
b
 (1  e  at )
a
ラプラス逆変換（例題２．８）
7 s  20
7 s  20
a
b
c
F ( s)  3

 

2
s  7 s  10s s( s  2)(s  5) s s  2 s  5
s を掛けて s=0 を代入
s+2 を掛けて s=-2 を代入
20
a b0 c0
 

25 1 s  2 s  5
7(2)  20 a  0 b c  0

 
(2)(2  5)
s
1 s5
2 1
1
F (s)  

s s2 s5
項ごとに逆変換
f (t )  2  e
2t
e
5t
25
おわり
 宿題？
26

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