周波数領域におけるフィルタリング 画像処理 z 画像のフーリエ変換 z 周波数フィルタリング 2次元フーリエ変換,画像のフーリエ変換 2015年度 (第6回) ローパスフィルタ,ハイパスフィルタ,バンドパスフィルタ 高域強調フィルタ z 空間フィルタリングと周波数フィルタリング 両者の関係 いくつかの具体的なフィルタの考察 中島 克人 情報メディア学科 [email protected] 2 画像のフーリエ変換 z 2次元フーリエ変換 z 画像のフーリエ変換 画像のフーリエ変換 z 2次元フーリエ変換 画像:2次元空間の関数f(x,y) そのフーリエ変換:F(u,v) (u,v:x,y方向の空間周波数) z式7.1 z式7.2 空間領域(spatial domain) z図7.1 3 画像のフーリエ変換 z z z 大きさ z z 位相 周波数領域(frequency domain) 4 (注) 画像のフーリエ変換 (注) を表す フーリエスペクトル画像がしばしば用いられる :画像のフーリエスペクトル(振幅スペクトル) 2:パワースペクトル :位相スペクトル 左:原画像 中:フーリエスペクトル 右:説明図 z式7.3 原点(0,0)の値は その画像の直流成分 =平均の明度を表す z式7.4 左:原画像 中:フーリエスペクトル 右:中央の断面 デジタル画像は離散値のため,実際には離散フーリエ変換, 離散逆フーリエ変換が行なわれる z 2 の場合も, その対数の場合もある 中心を原点とする(u,v)座標系にて F(u,v)(複素数)の性質は,その大きさと位相(偏角)で見る フーリエ逆変換 空間領域と周波数領域 画像のフーリエ変換 画像のフーリエ変換 フーリエ変換 高速化アルゴリズム:FFT(Fast Fourier Translation),IFFT 5 z図7.2 フーリエスペクトル画像の例 6 画像処理 1 画像のフーリエ変換 z 周波数フィルタリング 上:原画像 下:フーリエスペクトル 画像のフーリエ変換例 z 周波数フィルタリング ローパスフィルタ ハイパスフィルタ z バンドパスフィルタ z 高域強調フィルタ z z 高周波成分を 余り含まない (ぼけている) スペクトルが 中央部分に固まる z図7.3 実画像のフーリエスペクトル 7 周波数フィルタリング z 8 周波数フィルタリング 周波数フィルタ(frequency filtering) z z式7.5 ローパスフィルタ(low-pass filter) 入力画像の低周波成分は残し,高周波成分だけを除去 要素ごとの乗算 残したい周波数を 0~u0 とする時,H(u,v)は中心から 半径u0 までの部分を1,それより外側部分を0とすれば良い :入力画像のフーリエ変換 :周波数フィルタ(各周波数成分に掛ける倍率) :フィルタリング結果 z図7.5 z図7.4 周波数フィルタリングの処理の流れ 周波数フィルタリング z ローパスフィルタの適用結果(1) 入力画像 ローパスフィルタ 9 10 周波数フィルタリング 縦方向の正弦波 成分だけが残る z 出力画像 ローパスフィルタの適用結果(2) 入力画像 平滑化された 画像が得られる 出力画像 縦横に異なる 周波数の正弦波 成分を含む 横方向の周波数 成分のピーク フーリエ変換 高周波成分を除去 除去 逆フーリエ変換 × z図7.6 × ローパスフィルタの適用結果(1) 11 z図7.7 z図7. ローパスフィルタの適用結果(2) 12 画像処理 2 周波数フィルタリング z ローパスフィルタの適用結果(3) 入力画像 周波数フィルタリング 更に平滑化された 画像が得られる z ガウス分布型ローパスフィルタ 出力画像 :原点(u,v)=(0,0)において 1.0 となるガウス分布 特定周波数でいきなりカットすることによる不自然さを低減 先ほどの半分の 周波成分まで除去 × z図7.8 z図7. ローパスフィルタの適用結果(3) 周波数フィルタリング z z図7.9 13 上:原画像 下:フーリエスペクトル ガウス分布型ローパスフィルタの適用結果 ガウス分布型ローパスフィルタ 14 周波数フィルタリング z ハイパスフィルタ(high-pass filter) 入力画像の高周波成分は残し,低周波成分だけを除去 ローパスフィルタの逆の効果 z式7.6 ローパスフィルタ の適用結果 z図7.10 ガウス分布型ローパスフィルタの適用結果 周波数フィルタリング z ハイパスフィルタの適用結果(1) 入力画像 z図7.11 15 ハイパスフィルタ 16 周波数フィルタリング エッジ画像が 得られる z ガウス分布型ハイパスフィルタ z バンドパスフィルタ(band-pass filter) 出力画像 低周波成分を除去 z図7.13 ガウス分布型ハイパスフィルタ × z図7.12 z図7. ハイパスフィルタの適用結果(1) 17 z図7.14 バンドパスフィルタ 18 画像処理 3 周波数フィルタリング z 周波数フィルタリング z 高域強調フィルタ(high-emphasis filter) 上:原画像 下:フーリエスペクトル 高域強調フィルタの適用結果 低周波成分を残したまま,高周波成分を強調(=鮮鋭化) ローパスフィルタ やハイパスフィルタ 求める事が可能(k:強調の程度を指定する定数) から z式7.7 z式7.8 鮮鋭化画像 が得られる k=1 z図7.15 ガウス分布型高域強調フィルタ 19 ガウス分布型高域強調フィルタの適用結果 20 空間フィルタリングと 周波数フィルタリング 周波数フィルタリング z z図7.16 k=3 その他のフィルタリング適用結果 z式6.1 両者の関係 ハーフトーン 印刷画像 z式7.9 z式7.10 式 :式のフーリエ変換 :畳み込み積分(convolution :畳み込み積分(convolution integral) integral) マスク画像 ハーフトーン 除去後の 出力画像 × 直流成分は残す 参考: Introduction to Image Processing and Analysis, J.C.Russ 他,CRC Press 21 空間フィルタリングと 周波数フィルタリング z z (線形フィルタリング) z図7.17 空間フィルタリングと周波数フィルタリングの関係 22 空間フィルタリングと 周波数フィルタリング 両者の速度比較 z 空間領域における 線形フィルタリング (式6.1)に等価 ガウシアンフィルタに関する考察 空間フィルタリング(線形フィルタリング)では画素ごとに畳み込み演 算が必要 周波数フィルタリングでは,フーリエ変換と逆フーリエ変換が必要だ がフィルタリング操作は乗算だけで良い 一般に空間フィルタのサイズが大きい(5×5以上?)時は周波数フィ ルタリングが速度的に有利 z z ガウシアンフィルタ(ガウス分布による平滑化フィルタ/式6.4)の フーリエ変換はやはりガウス分布 広がりの度合い(σ)は両者では反比例の関係(σ大→平滑化大) z式6.4 z式7.11 z図7.17 空間フィルタリングと周波数フィルタリングの関係 23 z図7.9 ガウス分布型ローパスフィルタ 24 画像処理 4 空間フィルタリングと 周波数フィルタリング 空間フィルタリングと 周波数フィルタリング 平均化フィルタに関する考察 z LOG(Laplacian 平均化フィルタの連続関数表現 z of Gaussian)フィルタに関する考察 2次元ガウス分布関数のラプラシアン z式6.10 z式7.12 z式7.13 バンドパスフィルタ と見なせる のフーリエ変換 z z式7.15 z のフーリエ変換 ローパスフィルタ と見なせる z式7.14 z図6.31 z図7.18 平均化フィルタとそのフーリエ変換 25 空間フィルタリングと 周波数フィルタリング LOGフィルタのフーリエ変換 26 高域強調フィルタに関する考察(続) z z式7.8 高域強調フィルタ z図7.19 空間フィルタリングと 周波数フィルタリング 高域強調フィルタに関する考察 z LOGフィルタ の断面 空間領域において,元画像をk+1倍したものから,平滑化画像をk 倍したものを減算すると鮮鋭化フィルタが得られる による周波数領域の出力 k=9 z式7.16 = z = :ローパスフィルタの結果 空間領域において,元画像のk+1倍から,平滑化した画 像のk倍を減算する鮮鋭化処理に相当 27 z図7.20 高域強調の考え方から導かれる鮮鋭化フィルタ 28 画像処理 5
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