周波数領域におけるフィルタリング画像処理 z 画像のフーリエ変換 z 周波数フィルタリング 2次元フーリエ変換，画像のフーリエ変換 2015年度（第6回）ローパスフィルタ，ハイパスフィルタ，バンドパスフィルタ高域強調フィルタ z 空間フィルタリングと周波数フィルタリング両者の関係いくつかの具体的なフィルタの考察中島克人情報メディア学科 [email protected] 2 画像のフーリエ変換 z 2次元フーリエ変換 z 画像のフーリエ変換画像のフーリエ変換 z 2次元フーリエ変換画像：2次元空間の関数f（x,y）そのフーリエ変換：F（u,v）（u,v：x,y方向の空間周波数） z式6.1 z式6.2 空間領域（spatial domain） z図6.1 3 画像のフーリエ変換 z z z 大きさ z z 位相画像のフーリエ変換 4 （注） 2 の場合も，その対数の場合もある（注）を表すフーリエスペクトル画像がしばしば用いられる：画像のフーリエスペクトル（振幅スペクトル） 2：パワースペクトル：位相スペクトル左：原画像中：フーリエスペクトル右：説明図 z式6.3 原点（0,0）の値はその画像の直流成分＝平均の明度を表す z式6.4 左：原画像中：フーリエスペクトル右：中央の断面デジタル画像は離散値のため，実際には離散フーリエ変換，離散逆フーリエ変換が行なわれる z 周波数領域（frequency domain）中心を原点とする（u,v）座標系にて F（u,v）（複素数）の性質は，その大きさと位相（偏角）で見るフーリエ逆変換空間領域と周波数領域画像のフーリエ変換画像のフーリエ変換フーリエ変換高速化アルゴリズム：FFT（Fast Fourier Translation），IFFT 5 z図6.2 画像のフーリエ変換（合成画像） 6 画像処理 1 画像のフーリエ変換 z 周波数フィルタリング上：原画像下：フーリエスペクトル画像のフーリエ変換例 z 周波数フィルタリングローパスフィルタハイパスフィルタ z バンドパスフィルタ z 高域強調フィルタ z z 高周波成分を余り含まない（ぼけている）スペクトルが中央部分に固まる z図6.3 画像のフーリエ変換（実画像） 7 周波数フィルタリング z 8 周波数フィルタリング周波数フィルタ（frequency filtering） z z式6.5 ローパスフィルタ（low-pass filter）入力画像の低周波成分は残し，高周波成分だけを除去要素ごとの乗算残したい周波数を 0～u0 とする時，H（u,v）は中心から半径u0 までの部分を1，それより外側部分を0とすれば良い：入力画像のフーリエ変換：周波数フィルタ（各周波数成分に掛ける倍率）：フィルタリング結果空間フィルタリング z図6.6 z図6.4 周波数フィルタリングの処理の流れ周波数フィルタリング z ローパスフィルタの適用結果（1）入力画像ローパスフィルタ 9 10 周波数フィルタリング縦方向の正弦波成分だけが残る z 出力画像ローパスフィルタの適用結果（2）入力画像平滑化された画像が得られる出力画像縦横に異なる周波数の正弦波成分を含む横方向の周波数成分のピークフーリエ変換高周波成分を除去除去逆フーリエ変換 × z図6.7 × ローパスフィルタの適用結果（1） 11 z図6.8’ ローパスフィルタの適用結果（2） 12 画像処理 2 周波数フィルタリング z ローパスフィルタの適用結果（3）入力画像周波数フィルタリング更に平滑化された画像が得られる z ガウス分布型ローパスフィルタ出力画像：原点（u,v）＝（0,0）において 1.0 となるガウス分布特定周波数でいきなりカットすることによる不自然さを低減先ほどの半分の周波成分まで除去 × z図6.9’ ローパスフィルタの適用結果（3）周波数フィルタリング z z図6.10 13 上：原画像下：フーリエスペクトルガウス分布型ローパスフィルタの適用結果ガウス分布型ローパスフィルタ 14 周波数フィルタリング z ハイパスフィルタ（high-pass filter）入力画像の高周波成分は残し，低周波成分だけを除去ローパスフィルタの逆の効果 z式6.12 ローパスフィルタの適用結果 z図6.11’ ガウス分布型ローパスフィルタの適用結果周波数フィルタリング z ハイパスフィルタの適用結果（1）入力画像 z図6.13 15 ハイパスフィルタ 16 周波数フィルタリングエッジ画像が得られる z ガウス分布型ハイパスフィルタ z バンドパスフィルタ（band-pass filter）出力画像低周波成分を除去 z図6.15 ガウス分布型ハイパスフィルタ × z図6.14’ ハイパスフィルタの適用結果（1） 17 z図6.16 バンドパスフィルタ 18 画像処理 3 周波数フィルタリング z 周波数フィルタリング z 高域強調フィルタ（high-emphasis filter）上：原画像下：フーリエスペクトル高域強調フィルタの適用結果低周波成分を残したまま，高周波成分を強調（＝鮮鋭化）ローパスフィルタやハイパスフィルタ求める事が可能（k：強調の程度を指定する定数）から z式6.14 z式6.15 鮮鋭化画像が得られる k＝1 z図6.18 ガウス分布型高域強調フィルタ 19 ガウス分布型高域強調フィルタの適用結果 20 空間フィルタリングと周波数フィルタリング周波数フィルタリング z z図6.19’ k＝3 その他のフィルタリング適用結果 z式5.1 両者の関係ハーフトーン印刷画像 z式6.6 z式6.7 式：式のフーリエ変換：畳み込み積分（convolution ：畳み込み積分（convolution integral） integral）マスク画像ハーフトーン除去後の出力画像 × 直流成分は残す参考： Introduction to Image Processing and Analysis, J.C.Russ 他，CRC Press 21 空間フィルタリングと周波数フィルタリング z z （線形フィルタリング） z図6.5 空間フィルタリングと周波数フィルタリングの関係 22 空間フィルタリングと周波数フィルタリング両者の速度比較 z 空間領域における線形フィルタリング（式6.1）に等価ガウシアンフィルタに関する考察空間フィルタリング（線形フィルタリング）では画素ごとに畳み込み演算が必要周波数フィルタリングでは，フーリエ変換と逆フーリエ変換が必要だがフィルタリング操作は乗算だけで良い一般に空間フィルタのサイズが大きい（5×5以上？）時は周波数フィルタリングが速度的に有利 z z ガウシアンフィルタ（ガウス分布による平滑化フィルタ／式6.4）のフーリエ変換はやはりガウス分布広がりの度合い（σ）は両者では反比例の関係（σ大→平滑化大） z式5.4 z式6.8 z図6.5 空間フィルタリングと周波数フィルタリングの関係 23 z図6.10 ガウス分布型ローパスフィルタ 24 画像処理 4 空間フィルタリングと周波数フィルタリング空間フィルタリングと周波数フィルタリング平均化フィルタに関する考察 z LoG（Laplacian 平均化フィルタの連続関数表現 z of Gaussian）フィルタに関する考察 2次元ガウス分布関数のラプラシアン z式5.9 z式6.9 z z式6.10 バンドパスフィルタと見なせるのフーリエ変換 z式6.13 z のフーリエ変換 z式6.11 ローパスフィルタと見なせる z図5.27 z図6.12 平均化フィルタとそのフーリエ変換 25 LoGフィルタの断面（ガウス分布のラプラシアン） z図6.9 LoGフィルタのフーリエ変換 26 画像処理 5