スライド 1

数学－－－＞抽象化、一般化
一次関数
ｙ＝ａｘ＋ｂ
要素
ｘ
ｘ1
ｘ2
・
・
ｘn
より複雑な関係ー＞解析学
より多くの要素ー＞線形代数
関係
ｆ（ｘ）
要素
ｙ
ｙ1
ｙ2
線形
・
・
ｙm
連立１次方程式
要素
ｘ
ｘ1
ｘ2
・
関係
ｆ（ｘ）
ｙ
ｙ1
ｙ2
線形
・
・
・
ｙm
ｘn
ｘ
要素
Ａｘ
ｂ
基本変形
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
(Ⅴ)
2x+3y=8
x+2y=5
-y= -2
x+2y=5
-y= -2
x
=1
x
=1
-y= -2
x
=1
y= 2
①＋②×(-2)
②＋①×2
①と②を入れ替えた
②×(-1)
基本変形
連立１次方程式の基本変形
（１）１つの式を何倍か（≠０倍）する。
（２）２つの式を入れ替える。
（３）１つの式に他の式の何倍かを加える。
・基本変形は可逆的である。
・基本変形を行って得られる連立１次方程式
は全て同等である。
掃き出し法
基本変形を行って連立１次方程式を解く方法
係数行列を単純な形（単位行列）にする。
行列の（行）基本変形
（１）１つの行を何倍か（≠０倍）する。
（２）２つの行を入れ替える。
（３）１つの行に他の行の何倍かを加える。
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
(Ⅴ)
2x+3y=8
x+2y=5
-y= -2 ①＋②×(-2)
x+2y=5
-y= -2
x
=1
②＋①×2
x
=1
-y= -2 ①と②を入れ
x
=1
y= 2
2 3 8
1 2 5
0 -1 -2
1 2 5
0 -1 -2
1 0 1
替えた
1 0 1
0 -1 -2
②×(-1)
1 0 1
0 1 2
簡約な行列
一般的な連立方程式を解くために、拡大係数行列を
扱いやすい行列に変形する。
行列の零ベクトルでない行ベクトルの０でない最初の成分－＞その行の主成分
簡約な行列
（１）行ベクトルのうち零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある。
（２）零ベクトルでない行ベクトルの主成分は１である。
（３）第ｉ行の主成分をａiji とすると、ｊ1＜ｊ2＜ｊ3＜・・・となる。
すなわち各行の主成分は、下の行ほど右にある。
（４）各行の主成分を含む列の他の成分は全て０である。すなわち、
第ｉ行の主成分がａijiならば、第ｊi 列のａiji以外の成分は全て０である。
簡約な行列の例
主成分：各行の最初の１
0 1 3 0 2
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
1 0 1 4 0 -1
0 1 7 -4 0 1
0 0 0 0 1 3
0 1 0 0 2 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 6 0 3 0
0 0 0 0 0 1 2 8
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 2 3 2
0 3 6 -9 -4 7
0 2 4 -6 -4 2
0 1 2 -3 -2 1
0 0 0 1 3/2 1 ③×(1/2)
0 0 0 0 2 4 ②
0 2 4 -6 -4 2 ①と③ 0 1 2 0 5/2 4 ①＋②
0 3 6 -9 -4 7 を入替 0 0 0 1 3/2 1 ×3
0 0 0 2 3 2
0 0 0 0 2 4
0 1 2 -3 -2 1 ①×(1/2)
0 1 2 0 5/2 4
0 3 6 -9 -4 7
0 0 0 2 3 2
0 0 0 1 3/2 1
③×(1/2)
0
0
0
0
1
2
0 1 2 -3 -2 1
①＋③
0 0 0 0 2 4 ②＋①×(-3)
0 1 2 0 0 -1 ×(-5/2)
0 0 0 2 3 2
0 0 0 1 0 -2 ② ＋③
0 0 0 0 1 2 ×(-3/2)
行列の簡約化
行列Aに基本変形を繰り返して簡約な行列Bを得る
ー＞行列Aを簡約化する。
行列B：行列Aの簡約化
定理２.２.１
任意の行列は、基本変形を繰り返すことにより簡約化できる。
また、与えられた行列の簡約化は唯一通り定まる。
行列の階数
行列Ａの階数：rank(Ａ)
rank(Ａ)＝Ｂの零ベクトルでない行の個数
Ｂ：行列Aの簡約化
rank(Ａ)＝Ｂの行の主成分を含む列の個数
定理２.２.２
Ａがｍ×ｎ行列ならば
rank(Ａ)≦ｍ，
rank(Ａ)≦ｎ
連立１次方程式を解く
rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)
または
rank(Ａ)＋１
rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)＋１の場合
1
0
0
0
・
・
0
＊
0 1
0 1
…….
0
0
・
・
0
…………
…………
…………
0x1+0x2+ ･････ +0xn = 1
0 1
0
0
・
・
0
1
0
・
・
0
ー＞Ａｘ＝ｂは解をもたない
定理２.３.１
連立１次方程式Ａｘ＝ｂが解をもつ必要十分条件は
rank［Ａ：ｂ］＝rank(Ａ)
である。
定理２.３.２
ｎ変数の連立１次方程式
Ａｘ＝ｂ
に解が唯一つ存在する必要十分条件は
rank(Ａ) ＝rank［Ａ：ｂ］＝ｎ．
同次形の連立１次方程式
Ａｘ＝ｂ
において
Ａｘ＝０
ｘ＝０
ｂ＝０のとき
－＞同次形の連立１次方程式
－＞自明な解
定理２.３.３
（１）同次形の連立１次方程式
Ａｘ＝０
（Ａ：ｍ×ｎ行列）
の解が自明なものに限る必要十分条件は
rank(Ａ) ＝ｎ．
（２）ｍ＜ｎならばＡｘ＝０は自明でない解をもつ．
正則行列
逆行列
ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅn
－＞
Ａ：ｎ次正方行列
Ｂ：Ａの逆行列
・Ａが逆行列を持つとき、Aの逆行列はただ１つ決まる．
・正方行列Ａは逆行列をもつとき正則であるという．
Ａ－１：Ａの逆行列
定理２.４.１
Ａ，Ｂはｎ次の正方行列でＡＢ＝Ｅならば
ＢはＡの逆行列である．
定理２.４.２
Ａがｎ次正方行列のとき、次の（１）～（５）は同値である。
（１）ｒａｎｋ（Ａ）＝ｎ．
（２）Ａの簡約化はＥnである．
（３）Ａｘ＝ｂは任意のｎ次の列ベクトルｂに対し
唯一つの解を持つ．
（４）Ａｘ＝０の解は自明な解ｘ＝０に限る．
（５）Ａは正則行列である．
0
, ・・・ , en =
0
0
0
･･･
, e2 =
0
1
･･･
･･･
e1 =
1
0
1
Ax = e1 , Ax = e2 , ・・・ , Ax = en 解を各々 ci とする
Ac1 = e1 , Ac2 = e2 , ・・・ , Acn = en
C = [c1 c2
・・・
cn ] とする
AC = A [c1 c2 ・・・ cn ] = [Ac1 Ac2
= [e1 e2 ・・・ en ] = En
・・・
C はAの逆行列である：Ａ-1 = C
[ A E ] ー> [ E A -1 ] （簡約化）
Acn ]

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