大学院授業科目内容一覧 数理科学研究科 ＊客員教員及び非常勤講師 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-01 代数幾何学 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 小木曽 啓示 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 辻 雄 詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-02 講義題目 授業の目標・概要 授業の方法 成績評価方法 その他 901-03 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 901-05 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 整数論 p 進 Simpson 対応 複素数体上の射影的非特異代数多様体における基本群の表現と Higgs 束に関する Simpson の対応の p 進体上での類似である p 進 Simpson 対応について講義する． 理論の背景にある p 進 Galois 表現に関する Sen の理論とその一般化， almost etale 理論などから解説する．余裕があれば標数 p の体上で の Simpson 対応の類似についても紹介する． 通常の講義で行う． レポート 理学部との合併科目「代数学 XF」（05076） 保型関数論 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 三枝 洋一 保型表現論と大域ラングランズ対応 代数体上の保型表現と Galois 表現を結ぶ大域ラングランズ対応について，主に保型表現側 の立場から解説を行う． 保型表現，Galois 表現，ラングランズ対応，Arthur 跡公式，モジュラー曲線，志村多様体 保型表現の定義から始めて，一般線型群に対する大域ラングランズ対応の現在知られてい る定式化を紹介する． また，Arthur 跡公式についての入門的な解説を行い，その応用として大域ラングランズ対 応の一部が構成されることを観察する． 以下の内容を予定している： 1. 保型表現の基礎理論 2. 代数体の Galois 表現 3. 大域ラングランズ対応の定式化 4. Arthur 跡公式 5. 保型表現の底変換と保型誘導 6. モジュラー曲線のエタールコホモロジーを用いた Galois 表現の構成 7. 関連する発展的な話題 通常の講義による． レポートによる． 応用代数学 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 石井 志保子 特異点とジェットスキーム 特異点に関する基本的知識と，特異点へのジェットスキームの応用を紹介する 特異点，特異点解消，jet scheme，arc space 1．代数多様体の孤立特異点についての classical な結果を紹介する 2．孤立していない特異点についての問題提起をする 3．jet scheme を使って特異点を理解する 講義による レポートによる 特に指定しない Introduction to Singularities, Shihoko Ishii, Springer-Verlag Hartshorne の教科書「Algebraic Geometry」に書かれている項目は既知のものとして扱う －5－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-06 数理代数学概論 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 川又 雄二郎 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 参考書 901-07 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 901-08 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 901-09 ホモロジー代数学 代数学の基礎の続きとして、ホモロジー代数学の基礎を学習する。 複体のホモロジー，各種のホモロジー，完全系列，スペクトル系列，層，アーベル圏，導来関手， 導来圏 講義 試験またはレポート Cartan-Eilenberg: Homological Algebra, Princeton UP, 1956. Mac Lane: Categories for working mathematicians, Springer, 1978. Weibel: An introduction to homological algebra, 1995. Gelfand-Manin: Methods of Homological Algebra, Springer, 2003. 微分幾何学 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 金井 雅彦 リーマン幾何入門 「微分幾何学において最も基本的かつ重要な概念は何か」と問われたとき，大多数の幾何学 者は「それは曲率である」と答えるのではないだろうか．この講義の目的は，とくにリー マン多様体の曲率を理解することにある．曲率を「見える」ようにする「道具」として， まずは測地線について学ぶことにする．測地線は，ユークリッド幾何における直線や線分 に相当するものであり，したがって極めて初等的な対象である．この講義においては，主 に測地線と曲率の関係に焦点をあてる． ちなみに，この講義はあくまで入門的なものである．これから幾何を学ぼうという者， あるいは学び始めたばかりの者，さらには幾何以外を専門とする大学院生を主な受講者と して念頭においている． リーマン幾何，曲率，測地線，変分公式，ヤコビ場，比較定理 初回の講義で説明する 通常の講義 レポートによる なし 講義を通じて知らせる 位相幾何学 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 古田 幹雄 特性類 ベクトル束の特性類についての基礎を学ぶ 幾何学 ● 写像度、Euler 類、Thom 類 ● 障害理論と障害類 ● Chern 類、Stiefel-Whitney 類 ● Pontrjagin 類 ● 分類空間とそのコホモロジー群 ● 接続と曲率、Chern-Weil 理論、 ● 応用 講義形式による。 レポート なし Milnor and Stasheff, "Characteristic classes" Bott and Tu, "Differential Forms in Algebraic Topology" 森田茂之 特性類と幾何学 質疑応答を歓迎します。 大域解析学 2 S ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 －6－ 選択 *John F.R. Duncan 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-10 複素多様体 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 足助 太郎 講義題目 授業の目標・概要 授業の方法 成績評価方法 参考書 901-11 講義題目 授業の目標・概要 複素多様体 複素ベクトル場（や複素解析的な写像）の定める力学系・葉層構造に関する講義を行う予 定である． 通常「複素多様体」で予想される内容とは恐らく大分異なるので注意されたい． 講義形式による． レポートを課す予定である．詳細は開講後に指示する． 必要に応じて講義において示す． 力学系 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 林 修平 双曲力学系理論 多様体上の微分力学系理論の基礎として位置づけられる双曲力学系理論の入門講義を行な う。以下の内容を扱う予定である。 ハルトマン - グロブマンの定理、安定・不安定多様体、双曲型集合、双曲型トーラス自己同 形写像、馬蹄形写像、DA アトラクタ、拡大性と擬軌道追跡性、構造安定性、Ω - 安定性、 スペクトル分解定理、クプカ - スメール の定理。 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 901-12 力学系としては、微分同相写像を中心に考えるが、時間が許せばフローについても触れたい。 双曲型集合， 安定・不安定多様体， 構造安定性， 生成的性質 通常の講義 レポートによる。（レポートの問題は講義中に配布する。） 大域幾何学概論 2 S ｾﾒｽﾀｰ 詳細は、掲示板等によりお知らせします。 －7－ 選択必修 吉野 太郎 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-13 線形微分方程式論 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 中村 周 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 線形微分方程式論 擬微分作用素を中心として、超局所解析の入門的を行う。古典的なシンボル・クラスとそ の定義する擬微分作用素の定義から始めて、楕円型作用素のパラメトリックス、波面集合 の伝播定理などの標準的な理論を説明する。さらに、もっと一般のシンボル・クラス、ワ イル量子化などのより一般の量子化、半古典的擬微分作用素の話題についても、時間の許 す範囲で説明する。 擬微分作用素，超局所解析，波面集合，量子化，半古典解析 以下の内容を中心に講義を行う。 1. 超局所解析の導入 2. 古典的シンボル・クラス 3. 振動積分 4. シンボルの演算 5. 擬微分作用素の定義、急減少関数族への作用 6. ソボレフ空間への擬微分作用素の作用 7. 変数変換 8. 線形偏微分方程式への幾つかの応用 9. 一般のシンボル・クラスと量子化 10. 半古典解析への応用 講義による。 学期中、学期末にレポートを課する。 特に指定しない。 1. Xavier Saint Raymond: Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators, CRC Press, 1991. 2. Andre Martinez: An Introduction to Semiclassical and Microlocal Analysis, Springer Verlag, 2002. －8－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-14 スペクトル理論 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 下村 明洋 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 履修上の注意 901-15 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 関連ホームページ その他 スペクトル理論 スペクトル理論の基本事項について講義する．無限次元ヒルベルト空間上の自己共役作用 素のスペクトル分解とその周辺が主題である． スペクトル理論，自己共役作用素のスペクトル分解，スペクトル，ヒルベルト空間論，関 数解析 概ね以下の内容を講義する予定である．これらは予定であり，以下の項目の変更（省略，追加， 順序の変更等）をする事があり得る．また，以下の各項目は各回の内容に対応するもので はない． 1. レゾルベント集合，スペクトル，固有値，レゾルベント 2. レゾルベントの性質，スペクトルの性質 3. コンパクト作用素とその基本性質 4. コンパクト作用素のスペクトル 5. 共役作用素，ユニタリ作用素 6. 対称作用素と自己共役作用素 7. 自己共役作用素のスペクトル，自己共役性の判定 8. 単位の分解，単位の分解による作用素解析 9. 自己共役作用素のスペクトル分解定理（の主張） 10. スペクトル分解の実例，自己共役作用素の関数 11. 自己共役作用素のスペクトルとスペクトル測度との関係 12. コンパクト自己共役作用素のスペクトル分解 13. 自己共役作用素のスペクトル分解定理の証明（ユニタリ作用素のスペクトル分解，ケー リー変換等） 講義による． レポートによる． 関数解析の基本事項を仮定する． 代数解析学 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 片岡 清臣 代数解析学 学部 6 学期までの解析の知識を基礎にして，主に複素解析的な手法や代数的手法に基づく 微分方程式の解析方法を修得することを目的とする．今年度は佐藤超関数論の立場から解 析的な係数を持つ線形偏微分方程式系の超局所解析の基本事項を解説する． 線形偏微分方程式，解析性，佐藤超関数，超局所解析，擬微分作用素，マイクロ関数，フー リエ積分作用素，FBI 変換，境界値，境界条件 佐藤超関数，マイクロ関数を FBI 変換を利用する事によって，コホモロジー論を使わない より直観的な方法で定義，解説した後に擬微分作用素，特性多様体，量子化接触変換（フー リエ積分作用素とほぼ同義語）と微分方程式の超局所標準形，境界値問題の超局所解析な どの入門的な解説をする． 講義形式 期末レポートによる． 特になし． 超函数・FBI 変換・無限階擬微分作用素 ( 共立叢書 現代数学の潮流：青木 貴史 , 山崎 晋 , 片岡 清臣 著 ) 代数解析概論（岩波書店，柏原正樹著） 予備知識は 3 年までの講義．特に関数論と線形代数，フーリエ解析など． http://agusta.ms.u-tokyo.ac.jp/microlocal.html 数理分類番号 730 －9－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-16 関数解析学 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 下村 明洋 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 関数解析学 関数解析の基本事項について講義する．主に，無限次元のバナッハ空間及びヒルベルト空 間と，その上の線型作用素について講義する． 関数解析，バナッハ空間，ヒルベルト空間，線型作用素 概ね以下の内容を講義する予定である．これらは予定であり，以下の項目を変更（省略， 追加， 順序の変更等）をする事があり得る．また，以下の各項目は各回の内容に対応するもので はない． 1. バナッハ空間，バナッハ空間の例 2. ヒルベルト空間，ヒルベルト空間の例 3. ヒルベルト空間に於ける射影定理，完全正規直交系 4. 線型作用素，有界作用素，有界作用素の例 5. 双対空間とその実例 6. ヒルベルト空間に於けるリースの表現定理 7. 閉作用素と前閉作用素 8. ベールのカテゴリー定理 9. 一様有界性の原理 10. 開写像定理，閉グラフ定理 11. ハーン・バナッハの定理とその応用 12. 反射的バナッハ空間 13. 弱収束と汎弱収束 講義による． レポートによる． －10－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-17 確率解析学 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 舟木 直久 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 その他 901-18 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 確率微分方程式論 マルチンゲールとブラウン運動について簡単に復習した後、確率積分と確率微分方程式に ついて基礎から講義する。受講者が伊藤の公式を使いこなせるようになることが一つの目 標である。受講者には確率過程論・確率統計学 III の講義内容である（離散時間）マルチンゲー ルについて、ある程度慣れていることを期待する。 マルチンゲール，ブラウン運動，マルコフ性，確率積分，伊藤の公式，確率微分方程式， 生成作用素，マルチンゲール問題，強解と弱解，偏微分方程式，ディリクレ問題，コーシー 問題，角谷の定理，Feynman-Kac の公式，Cameron-Martin の公式，Girsanov の公式，丸 山の公式，ドリフト変換公式，不変測度，可逆測度，Ornstein-Uhlenbeck 過程，Bessel 過程， ブラウン橋，ピン止めブラウン運動，Hilbert 空間上のブラウン運動，無限次元確率微分方 程式，確率偏微分方程式 1. 連続時間マルチンゲール 2. ブラウン運動の復習 3. ブラウン運動のマルコフ性と強マルコフ性 4. 確率積分 5. 伊藤の公式 6. 確率微分方程式、強解の存在と一意性 7. 確率微分方程式の解のマルコフ性、 8. マルチンゲール問題と弱解、生成作用素 9. 偏微分方程式との関係、Feynman-Kac の公式 10. Cameron-Martin-Girsanov- 丸山の公式 11. 確率微分方程式の例、不変測度、可逆測度 12. Hilbert 空間上のブラウン運動、確率積分 13. 無限次元確率微分方程式と確率偏微分方程式 講義による。 レポートにより行う。 なし [1] 舟木直久：確率微分方程式、岩波書店、2005 年 (1997 年 ) [2] I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus, Graduate Texts in Math., Volume 113, Springer, 2nd ed., 1991 年 数理分類番号：541 基礎解析学概論 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 宮本 安人 実解析入門 関数解析学と実解析学の基本的なトピックをいくつか選び，独立に取り扱う．前半は，主 にユークリッド空間上の測度やルベーグ空間を扱い，後半ではソボレフ空間とそれらの埋 め込み定理，有界領域から全領域への拡張作用素等を扱う．時間があれば，これらの定理 が非線形楕円型偏微分方程式の研究にどのように使われるかを例を用いて解説したい． ルベーグ空間，ソボレフ空間，埋め込み定理，ラドン・ニコディムの定理，レリッヒの定理， 非線形楕円型偏微分方程式 1. ルベーグ空間 2. 複素測度とラドン・ニコディムの定理 3. ソボレフ空間 4. ソボレフの埋 め込み定理 5. その他（順序や詳細は，変更する可能性があります） 黒板を用いる通常の講義形式． 学期末にレポート問題を出題する． 講義中に適宜紹介する． 講義中に適宜紹介する． －11－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-19 代数構造論 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 寺杣 友秀 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 901-26 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 リーマン面入門 リーマン面、代数曲線に関する種々の理論の概説を行う。 リーマン面，代数曲線，アーベル多様体 リーマン面と代数曲線に関する概説をおこなう。おおむね次ぎの トピックスについて講義する。 （1）リーマンの分岐、リーマン面の種数 （2）リーマン・ロッホの定理 （3）リーマン面の因子類群 （4）アーベル多様体とヤコビ多様体、積分周期 講義形式で行う レポートによる評価を行う。 非線形数理 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 時弘 哲治 離散系による自然現象のモデル化 3 人の教員がオムニバス形式で、様々な分野における自然現象を記述する離散的な数理モデ ルやセルオートマトンの構成法及び、それらの数理的モデルの解析について講義する。 今年度予定されるトピックは、感染症の離散的数理モデル、生物医学における現象（血管 新生、遺伝子の転写など）の数理的記述などである。 離散化，離散的数理モデル，超離散化，セルオートマトン，感染症，転写 3 人の教員がオムニバス形式で様々な自然現象の離散的数理モデルによるモデル化について 講義する。 レポート提出（詳細を授業中に明示する） －12－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-27 確率過程論 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 舟木 直久 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 参考書 マルチンゲール論 確率過程の中の重要なクラスであるマルチンゲールについて講義する。 主に離散時間の場 合を扱い，停止時刻と任意抽出定理，各種のマルチンゲール不等式，収束定理とこれらの 応用について述べる。連続時間マルチンゲールにも簡単に触れ，その例としてブラウン運 動やポアソン過程を取り上げる。時間が許せば，連続時間マルコフ連鎖についても学ぶ。 条件付き確率，条件付き期待値，マルチンゲール，Doob 分解，停止時刻，任意抽出定理， Doob の不等式，マルチンゲール収束定理，マルチンゲール変換，横断数評価，Burkholder の不等式，一様可積分性，Doob-Meyer 分解，2 次変分，ブラウン運動，Wiener 測度，ポ アソン過程，マルコフ連鎖 1. 確率論の基礎概念 ( 確率統計学 I の復習 ) 2. 離散時間マルチンゲール，Doob 分解，停止時刻 3.Doob の任意抽出定理 4.Doob の不等式 5. 劣マルチンゲールの収束定理 6. マルチンゲールのモーメント不等式 7. 一様可積分性と L^1- 収束 8. 連続時間マルチンゲール 9. 停止時刻，任意抽出定理，Doob の不等式 10.Doob-Meyer 分解，2 次変分 11. ブラウン運動の定義 12. ブラウン運動の構成 13. ブラウン運動の性質 14. ポアソン過程 15. 連続時間マルコフ連鎖 講義による。 レポートにより行う。 [1] 舟木直久：確率論 , 朝倉書店 , 2004 年 [2] 舟木直久：確率微分方程式 , 岩波書店 , 2005 年 (1997 年 ) －13－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-28 数値解析学 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 齊藤 宣一 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 関連ホームページ その他 偏微分方程式の数値解析 コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商 品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑か つ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ， それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コン ピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの 数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現 実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という 幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である． すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づ く近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに 差分法と有限要素法を取り上げる． 数値解析，偏微分方程式，差分法，有限要素法 1. 熱方程式 2. 差分法 3. 差分法の収束解析 4. Neumann 境界条件 5. 半線形反応拡散方程式 6. 変分原理 7. 有限要素法 8. 関数解析の準備 9. 弱解と正則性 10. 正則な三角形分割 11. 有限要素法の収束解析 12. FreeFem++ による数値計算 13. Lax-Milgram の理論 14. Galerkin 近似 教室における講義 レポート 指定しない 1. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店 , 2010 年． 2. K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005. 3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965. 4. 山口昌哉 ( 編 )：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996 年 ( オリジナルは 1981 年 ) 5. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂 , 1991 年． http://www.infsup.jp/saito/ 数理分類番号：551 －14－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-29 数理統計学 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 吉田 朋広 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 参考書 履修上の注意 関連ホームページ その他 統計的漸近理論 数理統計学の入門講義．今回は漸近理論の基礎について解説する． 大標本理論，漸近理論，確率分布，最尤推定，大数の法則と一様性，最小コントラスト推定， M 推定量の漸近正規性，ワンステップ推定量，尤度比検定，多項分布の検定，尤度比確率 場の局所漸近正規性，中心極限定理 1．最尤推定 2．大数の法則と一様性 3．最小コントラスト推定 4．M 推定量の漸近正規性 5．ワンステップ推定量 6．尤度比検定 7．多項分布の検定 8．尤度比確率場の局所漸近正規性 9．擬似尤度解析と確率過程の統計学 講義をする． 原則的に試験による． Rao, C.R.: Linear statistical inference and its applications. 2nd ed. Wiley 1973 奥野忠一 他 訳．統計的推測とその応用（原著第 2 版）: 東京図書 1977 柳井晴夫 , 竹内 啓 : 射影行列・一般逆行列・特異値分解 . UP 応用数学選書 10. 東京大学出 版会 1983. 柴田義貞 : 正規分布 -- 特性と応用 . 東京大学出版会 1981 Ferguson, Th.S.: A course in large sample theory. London Weinheim New York Tokyo Melbourne Madras: Chapman & Hall 1996 Lehmann, E.L.: Elements of large-sample theory. New York Berlin Heidelberg: Springer 1999 赤平昌文：統計解析入門 . 森北出版 2003 稲垣宣生 : 数理統計学 . 改訂版 裳華房 2003． 高松俊朗 : 数理統計学入門 . 学術図書出版社 1977 竹村彰通：現代数理統計学．創文社現代経済選書 8. 創文社 1991 Ferguson, Thomas S.: Mathematical statistics: A decision theoretic approach. Probability and Mathematical Statistics, Vol. 1 Academic Press, New York-London 1967 竹内啓 他編：統計学辞典．東洋経済新報社 1989. 吉田朋広： 数理統計学．朝倉書店 2012（第 3 刷） 測度論は仮定する．確率分布の取り扱いについては確率統計学基礎でより詳しく述べられ る． http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ nakahiro/hp-naka 講義の内容は，吉田朋広：数理統計学．朝倉書店 2012（第 3 刷）に沿っている． 質問は講義中，講義終了後あるいはそのときにアポイントメントをとってください． －15－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-32 数理解析学概論 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択必修 加藤 晃史 講義題目 授業の目標・概要 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 901-34 量子力学・統計力学入門 量子力学および統計力学についての基礎的な講義を行う．公理的な体系としてよりも、具 体例を中心としてその考え方を説明したい．自然現象のモデルとしての側面や経路積分の 考え方なども触れたい． 講義による． レポートによる．課題は講義中に提示する． 教科書は使用しない． 講義の中で必要に応じて紹介する． 数学基礎論 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 渕野 昌 選択必修 長谷川 立 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-38 離散数理学概論 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 その他 901-42 901-44 概要： 同じ機能を実現するにしても、いくつかのアルゴリズムがあり、手法によって効率に差が 出ることはよくあることである。中でも、ソートや探索等の重要な問題に対するアルゴリ ズムについては、詳細な分析が行われている。いくつかの主要なアルゴリズムに対して深 く分析することで、それらのアルゴリズムの特徴を数学的に理解することは、実地におい てアルゴリズムを使う段になったときに役立つであろう。 アルゴリズム 二分探索木 平衡木 ハッシュ ソート オートマトン 1. 探索 2. 二分探索木 3. 平衡木 4. 二分探索木や平衡木の計算量 5. Euler-Maclaurin の公式 6. 二分探索木の確率論的分析 7. ハッシュ 8. Lagrange の逆関数公式 9. ハッ シュの確率論的分析 10. ソート 11. ソートアルゴリズムの解析 12. テキストマッチ 13. オートマトン 14. Chomsky-Schutzenberger の理論 講義による 授業中に明示する 使用しない A.V.Aho, J.E.Hopcroft, and J.D.Ullman, The Design and Analysis of Computer Algorithms. R.Sedgewick and P.Flajoret, An Introduction to the Analysis of Algorithms 実解析・複素解析の初等的知識を仮定する。 理学部との合併科目「応用数学 XF」（05102） 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 川又 雄二郎 双有理幾何学 極小モデル理論の最近の発展について解説する。 極小モデル，フリップの終結予想，アバンダンス予想 講義形式 レポート 基礎数理特別講義Ⅲ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 関連ホームページ A ｾﾒｽﾀｰ アルゴリズムの計算量解析 目標：アルゴリズムの実行効率の数学的解析の手法を学ぶ 基礎数理特別講義Ⅰ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 2 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 松尾 厚 頂点作用素代数とモンスター 頂点作用素代数や有限単純群モンスターに関連する話題を選んで概説する。 頂点作用素代数，有限単純群，モンスター 講義により行う。 期末レポートにより評価する。 http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ matsuo/classes/2015grad/index.html －16－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-45 基礎数理特別講義Ⅳ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 *Bent Ørsted 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 山本 昌宏 詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-46 基礎数理特別講義Ⅴ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 逆問題の数学解析と応用 方程式の係数などが既知の偏微分方程式の初期値問題のような順問題と異なり、係数やさ らには偏微分方程式が成立している領域形状などを解の観測データから決定するという逆 問題の数学解析を解説する。解のデータは通常、空間的に限定されたものであるので、デー タから未知量が一通りに決定できるのかという一意性やデータから未知量への対応が連続 かという安定性が数学解析の主な対象である。本講義ではそのような方法論や成果を解説 する。また、逆問題は様々な応用分野に現れ、産業現場でも重要性が増している。そのよ うな応用逆問題の事例紹介も行う。 逆問題，数学解析，応用 1．逆問題序説 2．双曲型方程式の係数決定逆問題のカーレマン評価による数学解析 3．放物型方程式の係数決定逆問題のカーレマン評価による数学解析 4．楕円型方程式の境界値逆問題の一意性 5．事例紹介 通常の講義 レポートによる M. Bellassoued and M. Yamamoto, Carleman Estimates and Applications to Inverse Problems for Hyperbolic Systems, Springer-Verlag, 2015 (summer) 山本昌宏、逆問題入門、岩波書店、2002 年 －17－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-47 基礎数理特別講義Ⅵ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 俣野 博 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 参考書 901-48 基礎数理特別講義Ⅶ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 非線型解析学 非線形関数解析についての入門的講義．とくに，不動点定理（バナッハの不動点定理，シャ ウダーの不動点定理など） ，ルレ・シャウダーの写像度の理論，分岐理論などを中心に解説 する． 非線型関数解析，不動点定理，陰関数定理，写像度，ルレ・シャウダーの写像度，分岐理 論 1．バナッハの不動点定理 ・定理の概要 ・種々の非線形問題への応用 ・陰関数定理（有限次元，無限次元） 2．シャウダーの不動点定理 ・ブラウアーの不動点定理 ・シャウダーの不動点定理の概要 ・種々の非線形問題への応用 ・関連する話題（ナッシュ均衡など） 3．写像度と不動点指数 ・有限次元の写像度 ・ルレ・シャウダーの写像度と不動点指数 4．分岐理論 ・種々の例 ・リャプノフ・シュミット法による有限次元縮約 ・不動点指数の応用 ・大域的分岐理論 通常の講義形式で行う．また，複数回，レポート問題を出題する． レポート 「非線型数学」（増田久弥著，朝倉書店） 「Nonlinear Functional Analysis and its Applications I」 （E.Zeidler 著，シュプリンガー） 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 WILLOX RALPH 無限次元可積分系入門 無限次元可積分系への入門として、様々な観点から非線形偏微分方程式における「可積分 性」について講じる。対称性という概念から出発し、方程式の保存量や特殊解、またはハ ミルトン構造などについて説明する。さらに、無限次元可積分系に付随する線形問題（Lax pair）と保存量との関係及び、その線形問題の拡張から得られる無限次元可積分系の階層と 対称性（ダルブー変換）と階層の特殊解について講じる。最後に無限次元可積分系の離散 化における課題をいくつか紹介する。 無限次元可積分系，対称性，保存量，ハミルトン構造，ソリトン，Lax pair，佐藤理論，簡 約，Darboux 変換，離散可積分系 聴講者の予備知識に合わせて授業の進め方を決めるつもりである。 講義形式で行う。 成績評価：レポート提出（詳細を授業中に明示する） －18－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-49 基礎数理特別講義Ⅷ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 稲葉 寿 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 参考書 関連ホームページ 901-50 感染症の数理モデル 個体群における感染症の流行は、感染個体群と感受性個体群の相互作用モデルとして記述 されるが、ここでは主に微分方程式によって記述される連続的かつ決定論的な感染症数理 モデルの基礎的側面について講義する。感染症数理モデルは、インフルエンザ、エイズ、 マラリア、デング、エボラ等、現代医学でも治癒、根絶が難しい感染症流行を予測したり、 制御するために必須の実践的ツールであると同時に、数学的に興味深い構造をもっている。 感染症数理モデル，人口モデル，基本再生産数，閾値原理，年齢構造 講義 レポートによる。 稲葉 寿 [ 編著 ] (2008),「感染症の数理モデル」, 培風館 . ミンモ・イアネリ､ 稲葉寿、國谷紀良 [ 著 ](2014),「人口と感染症の数理」, 東京大学出版会 稲葉寿 [ 著 ](2002),「数理人口学」, 東京大学出版会 O. Diekmann, J. A. P. Heesterbeek and T. Britton (2013), Mathematical Tools for Understanding Infectious Disease Dynamics, Princeton University Press, Princeton and Oxford. http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ inaba/index.html 応用数理特別講義Ⅰ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 土屋 卓也 選択 * 若野 友一郎 選択 * 内田 雅之 選択 * 成瀬 弘 選択 * 内藤 聡 選択 * 作間 誠 選択 * 小薗 英雄 選択 * 小林 真一 選択 * 浅岡 正幸 選択 * 藤家 雪朗 選択 * 朝倉 政典 選択 * 五味 清紀 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-51 応用数理特別講義Ⅱ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-52 応用数理特別講義Ⅲ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-53 応用数理特別講義Ⅳ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-55 数理科学特別講義Ⅰ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-56 数理科学特別講義Ⅱ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-57 数理科学特別講義Ⅲ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-58 数理科学特別講義Ⅳ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-59 数理科学特別講義Ⅴ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-60 数理科学特別講義Ⅵ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-61 数理科学特別講義Ⅶ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-62 数理科学特別講義Ⅷ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 －19－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-63 数理科学特別講義Ⅸ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 廣恵 一希 選択 * 松下 大介 選択 * 河添 健 選択 * 谷口 雅治 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-64 数理科学特別講義Ⅹ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-65 数理科学特別講義 XI 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 901-66 数理科学特別講義 XII 2 A ｾﾒｽﾀｰ 集中講義。詳細は、掲示板等によりお知らせします。 －20－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-68 数理科学特別講義 XIV 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 田中 仁 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 関連ホームページ 基礎数理特別講義 XV 講義概要： この講義では， 「特異積分」の理論を「加重の理論」と共に解説してゆきます．正則関数の 実部または虚部が調和関数になることは良く知られていますね．その逆に，与えられた調 和関数からそれを実部または虚部に持つような正則関数を構成するときには，Hilbert 変換 が必要となります．また，Fourier 変換の像に対して制限を加える等の「細工」をしたいと きにも，この Hibert 変換は必須なものとなります． Hilbert 変換は，原点と遠方とに特異性を持つ積分核により表現される積分作用素です． このような作用素は「特異積分作用素」と呼ばれており，その理論は，調和解析の分野の 一つの中心テーマを成すものです． 特異積分は別なところにも表れます．滑らかで台がコンパクトな関数 f に対して，Poisson 方程式⊿ u=f を満たす関数 u は，次元が 3 以上であれば，Newton 核による分数積分作用素 を f に施すことで得られます．この u を微分したとき，特に∇ ^2u は，特異積分作用素に よる表現を持ち，その評価を通して多くの有用な結果を導くことができます． 特異積分の理論は，通常ユークリッド空間上で展開されますが，それを加重付きという 設定の下に展開することができて，この「加重の理論」は調和解析に深みを加え豊かなも のとする理論になっています． この講義では，これら二つのテーマについて紹介したいと思います． この分野はいくつかの統一原理に基づいて発展してきたのではなく，いくつかの根幹を なす計算手法の発見によって発展してきたという側面があるのではないかと思っています． これらの手法を理解して，ぜひ自身の研究の参考としてくだされば幸いです．この分野は「数 学として面白い数学である」と確信しています．その「面白さ」を皆さんと共有できれば 嬉しく思います． 私は視覚障害者です．講義は資料を配布し，スライドを用意して板書なしで行います． 受講者の皆さんとの対話を通して進めていければよいと願っています．今までに受けてこ られた授業とは少し趣を異にするものであるかもしれませんが，受講してくだされば幸い です． Hardy-Littlewood 最 大 関 数 と 微 分 定 理，Hardy-Littlewood-Sobolev の 不 等 式，CalderonZygmund 分解，シャープ最大関数と Hardy-Littlewood の最大関数の関係，特異積分（合成 積型）の理論，重み付きノルム不等式の理論，特異積分（非合成積型）の理論，T1 定理，概 直交性補題 資料を配布し，スライドを用いて板書なしで行います． 成績評価は平常点により行います． 薮田 公三著， 『特異積分』( 岩波数学叢書 ) L.Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis ,Pearson Education, Inc.. S.Z.Lu, Four Lectures on Real H^p Spaces ,World Scientific Publishing, Singapore. http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ htanaka/ －21－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-72 数理科学基礎セミナー I 8 通年 選択必修 各教員 修士課程の学生が対象。指導教員の指導のもとにセミナーなどを通して学習、研究をすすめ、その成果を修士論 文としてまとめる。 901-73 数理科学基礎セミナー II 8 通年 選択必修 各教員 修士課程の学生が対象。指導教員の指導のもとにセミナーなどを通して学習、研究をすすめ、その成果を修士論 文としてまとめる。 901-75 数理科学広域演習Ⅱ 講義題目 授業の目標・概要 授業の方法 成績評価方法 901-76 授業のキーワード 授業計画 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 関口 英子 リー群の表現論 リー群の表現論に関する最新の話題を紹介する。 集中講義形式で，黒板を用いて説明する形式で授業を行う。 レポートと平常点を基準にして評価を行う。 数理科学広域演習Ⅲ 講義題目 授業の目標・概要 2 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 一井 信吾 情報化数理科学 に向けてⅢ モバイルデバイスであらゆるメディアが扱え、クラウドサービスが覇を競う今日の情報環 境を、数学・数理科学の研究と教育に最大限活用する方策を探りたい。数理棟に新規整備 される設備を活用しながら、オンラインコラボレーションを行う・オンラインコースを作 成する・Web サービスを構築するなどの作業を実際に行うことを通じて、これまでになかっ た可能性を探りたい。 今年度は、特に、オンライン学習用ディジタルコースの開発を行う。数名でチームを組ん で開発を行うことで、共同作業によって一つの目的を達成することを学んでほしい。 情報化数理科学，オンラインコラボレーション・オンラインコース・Web サービス・ディ ジタル教材 - 近年発達しているオンラインコース・ディジタル教材の現況について学ぶ。 - MOOC 等によるオンライン学習を体験し、批判的に検討する。 - 2013 年度の成果である数学プレゼンテーションのためのビデオ活用事例、及び 2014 年度 の成果である数学ソフトウェア利用のためのチュートリアル資料等を振り返る。 - 数名でチームを作り、テーマを決めた上、分担してオンラインコースの作成を行う。 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 関連ホームページ - 発表会を行い、相互批評をしてまとめる。 一方向的な講義は最小限にとどめ、受講者のアイディアとアクティブな活動をすすめたい。 このコースの活動を通じて、数理棟に近年導入されている無線 LAN 環境、創造性開発スペー ス、大画面タッチパネル PC などを利用して、創造的なコラボレーションを生み出す best practice を蓄積したい。 最終成果物であるオンラインコース及び発表会のパフォーマンスによる。 特に指定しない。 必要があればその都度紹介する。 数学の勉強や研究には伝統的な型があり、その有用性や重要性は今も変わらないのだけれ ど、何か新しいことをやってみたいと思う人、 （時間的に又は空間的に）離れた人々ともつ ながってみたい人、に積極的に加わってほしい。 http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ ichii/2015itms/ －22－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-86 数理科学講究Ⅰ 6 通年 選択必修 各教員 博士課程の学生が対象。指導教員の指導のもとにセミナーなどを通して学習、研究をすすめ、その成果を博士論 文としてまとめる。 901-87 数理科学講究Ⅱ 6 通年 選択必修 各教員 博士課程の学生が対象。指導教員の指導のもとにセミナーなどを通して学習、研究をすすめ、その成果を博士論 文としてまとめる。 901-88 数理科学講究Ⅲ 6 通年 選択必修 各教員 博士課程の学生が対象。指導教員の指導のもとにセミナーなどを通して学習、研究をすすめ、その成果を博士論 文としてまとめる。 901-91 統計財務保険特論Ⅰ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 長山 いづみ 統計財務保険特論 I 数理ファイナンスにおけるデリバティブの価格付け問題を理解することを目的とする． ポートフォリオ，デリバティブ等の用語の説明をはじめ，ファイナンスにおける基本的事 項について解説する．デリバティブの価格付けの原理を理解することを主目的とするため， 離散時間モデルにおける説明を丁寧に行い，連続時間モデルについてはモデルの考え方の 説明と主たる結果の紹介にとどめる． ファイナンス，証券価格，配当，裁定機会，無裁定，デフレーター，状態価格デフレーター， ニューメレール，同値マルチンゲール測度，完備，自己資本的，ポートフォリオ戦略，ヨー ロピアンデリバティブ，アメリカンデリバティブ，オプション，先物価格，先渡し価格， 二項モデル，ブラック―ショールズモデル，伊藤の公式，測度変換，確率積分 1. 無裁定の考え方， 2. 離散時間モデル， 3. 離散時間の完備モデルにおけるデリバティブの価格付け， 4. 離散時間の非完備モデルにおけるデリバティブ価格， 5. 連続時間モデル 講義による 課題レポートによる． 講義の際にレジュメを配布予定． ファイナンスの問題の背景や用語の意味を知るためには，ジョンハル著の日本語訳「フィ ナンシャルエンジニアリング」（きんざい）など 確率過程論や確率解析学の内容である，マルチンゲール，確率積分，伊藤の公式などにあ る程度慣れていることが望ましい． －23－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-92 統計財務保険特論Ⅱ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 長山 いづみ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 履修上の注意 統計財務保険特論 II 貨幣的効用関数の考え方と性質を理解することを目的とし， アクチュアリーに関する基本的な事項について講義する． なお，アクチュアリー資格試験に対応するものではないので注意されたい． 保険，リスク，ポートフォリオ，効用関数，証券価格，配当，CAPM，ベーター値，バリューアッ トリスク，貨幣的効用関数，リスク尺度，キャッシュフロー，条件付き期待値，分散，キャッ シュフロー 1．保険会社や金融機関におけるリスクなど，問題の背景説明 2．1 期間のポートフォリオ理論 3．貨幣的効用関数とその性質 4．確定キャッシュフローの現在価値とリスク 5．保険のモデル 講義による． 課題レポートによる． 講義の際にレジュメを配布予定． 確率論の基礎的知識を前提とする． －24－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-93 統計財務保険特論Ⅲ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 吉田、* 猪ノ口、* 杉田、* 本多 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 その他 保険理論 生命保険・年金・損害保険の 3 つの話題について、実務に携わる 3 人の講師により 5 回ず つ計 15 回の講義を行っていく。それぞれの講義の目標・概要は以下の通り 生命保険：生命保険の基本的な商品類型を通して、生命保険の契約についての概論をなす。 そのため、生命保険商品についての概要を説明し、契約の基礎ならびに生命保険契約の契 約法上の特性についても説明する。 年金：われわれの老後の生活を支える年金制度について、公的年金・企業年金・個人年金 の概要と、その基礎となる年金数理を実務に即して解説する。また、年金資産運用につい ても年金負債との関連性を意識しつつ論じる。 損害保険：損害保険の基本的な商品及び数理的考え方を生命保険と対比して解説する。損 害保険の料率計算の基礎、決算、再保険等の説明をした上で、保険デリバティブについて も簡単に紹介する。 生命保険，契約，保険法，判例，生命保険数学，年金，公的年金，企業年金，個人年金， 年金ＡＬＭ，退職給付会計，損害保険，支払備金，再保険，保険デリバティブ，損保数理 1. 生命保険商品と登場人物 2. 保険法概説 1 契約の成立・効力 3. 保険法概説 2 契約の履行 4. 保険法概説 3 契約の終了 5. 生命保険の今後の広がりとまとめ 6. 様々な年金制度 7．年金数理の考え方、基礎率、現価 8．年金財政運営 9．年金財政と退職給付会計 10. 年金資産運用と年金ＡＬＭ 11. 損害保険商品の解説 12. 料率計算の基礎 13. 支払備金の考え方 14. 再保険形態 15. 保険デリバティブ 講義による 出席点およびレポートによる 授業中にプリントを配布する 特に指定しない 全 15 回（補講期間中の 7/14,7/21 も講義を行う予定。） －25－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-94 統計財務保険特論Ⅳ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 吉田 朋広 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 参考書 履修上の注意 その他 901-95 統計財務保険特論Ⅴ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 統計理論における確率過程の基礎 確率過程の統計学や保険数理では様々な確率過程がモデリングおよび解析に用いられる． そのような確率過程のクラスに関して，基礎理論を解説する． 確率過程の統計学，保険数理，セミマルチンゲール，ジャンプ型確率過程，点過程，レビ過程， 確率微分方程式 1．セミマルチンゲール 2．点過程 3．レビ過程 4．確率微分方程式 講義 レポート 講義中に紹介する 確率統計学 XF の履修を勧める．講義の内容や順序は進度に応じて調整する． 講義時間以外での質問は講義終了後あるいはそのときにアポイントメントをとってくださ い． 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 村田 昇 多変量解析と時系列解析 複数の特徴量・特性量を持つデータの構造を統計的に解析する方法である多変量解析法に ついて学ぶ． 本講義では，以下に挙げる基本的な方法に的を絞り，計算機を用いた演習を通してその考 え方を修得することを目的とする． 多次元の特徴量の線形結合によって新たな特徴量を構成しデータの構造をより鮮明に捉え るための手法として回帰分析および主成分分析を取り上げる．多次元の変量の間に内在す る関係を探り出し，それを手掛りにデータを分類する手法として判別分析およびクラスタ 分析を学ぶ．また時系列データのモデルとして基本的な自己回帰モデル・移動平均モデル を取り上げ，時系列の平滑化や予測についても学ぶ． 多変量解析，回帰分析，主成分分析，判別分析，クラスタ分析，時系列解析 1．多変量データの取り扱い 2．確率の基礎 3．線形代数の復習 4．回帰分析 5．主成分分析 6．判別分析 7．階層的クラスタ分析 8．多次元尺度構成法 9．時系列とその性質 10．自己回帰モデル・移動平均モデルの推定と予測 講義，計算機を用いた演習 レポート (70%)，演習 (30%) 教科書は特に指定しない．必要に応じて資料を配布する． 参考書としては以下のものを挙げておくので，適宜参照すること． 竹内啓「数理統計学 - データ解析の方法」東洋経済新報社 吉田朋広「数理統計学 ( 講座 数学の考え方 )」朝倉書店 永田靖・棟近雅彦「多変量解析法入門」サイエンス社 田中勝人「現代時系列分析」岩波書店 確率論と線形代数の基礎を学んでいることが望ましい． 演習は統計用の計算機言語 (R) を用いるので，可能であれば自身の notePC を持参すること が望ましい． －26－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-96 統計財務保険特論Ⅵ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 吉田 朋広 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 その他 非エルゴード統計と極限定理 分布の計算は統計推測理論を構築するための基礎である．統計モデルの非線形性を扱うた めに，分布の近似が不可欠であるが，それを系統的に与えるのが極限定理である．確率過 程に対する極限定理を紹介し，現代の理論統計学への応用について解説する．非エルゴー ド的統計学と極限定理は今回のテーマの一つであり，それらは近年，金融高頻度データの 統計解析において重要な役割を演じている． 混合型中心極限定理，非エルゴード的統計学，安定的収束，高頻度金融データへの応用 1. 非エルゴード的統計学 2. 混合型中心極限定理，安定的収束 3. 高頻度金融データへの応用 余裕があれば， 4. 確率積分の収束理論 について話す予定である． 講義 レポート 講義中に紹介する． 確率統計学 III，確率統計学 XA，確率統計学 XE の履修を勧める． 講義時間以外での質問は講義終了後あるいはそのときにアポイントメントをとってくださ い． －27－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-98 統計財務保険特論Ⅷ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 青沼 君明 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 その他 リスク評価とビジネス・モデルの構築（基礎） 企業経営では、不確実性（リスク）の評価が不可欠である。この授業では、こうした不確 実性の評価に不可欠となる、金融統計や数理ファイナンスの基礎とツールとして実装する ためのプログラミング手法について解説する。その上で、それらをコントロールための金 融商品やビジネス評価モデルの構築について学ぶ。Excel を使ってモデル開発、評価ツール 開発の演習を行うことで、理論を実践するプロセスについても学ぶ。 信用リスク，モンテカルロ・シミュレーション，プロジェクト評価，クレジット・デリバティ ブ，二項モデル ビジネスに不可欠なモデルを作成するために必要となる、数理ファイナンスと金融統計に ついて実例を用いながら学ぶ。 (1) 確率過程の基礎 (2) 信用リスク (3) モンテカルロシミュレーション (4) 風力発電プロジェクト (5) クレジットデリバティブ (6) 証券化商品 (7) 二項モデル (8) 企業倒産率、回収率の統計分析 (9) パラメータ推定手法 (10) 天候デリバティブ、商品デリバティブ、リアルオプションとプロジェクトの評価 この授業では、理論を実務で実践することに主眼を置く。ビジネスの分野では、金融理論 だけではなく、経営学、経済学などの幅拾い知識も要求される。ヒジネスを計量化して判 断することに興味のある学生を望む。 レポートの得点により、以下の基準で成績評価を行う。 Ａ：90 点以上 Ｂ：80 点以上、90 点未満 Ｃ：70 点以上、80 点未満 Ｄ：60 点以上、70 点未満 Ｆ：60 点未満 レジュメを配布、青沼君明・村内佳子『Excel&VBA , で学ぶ VaR』,金融財政事情研究会 ,2009 年 ; 青沼君明・村内佳子『Excel&VBA , で学ぶ 信用リスク評価の基礎』 , 金融財政事情研究会 , 2010 年 木島正明・青沼君明 ,『Excel&VBA で学ぶ ファイナンスの数理』, 金融財政事情研究会 , 三菱証券訳 ,『フィナンシャル・エンジニアリング第 6 版』, 金融財政事情研究会 , 2010 年 青沼君明・市川伸子 ,『Excel で学ぶ バーゼルⅡと信用リスク評価手法』, 金融財政事情研 究会 , 2008 年 金融理論は、金融機関だけでなくあらゆる事業会社にとって、経営判断をする際の不可欠 な理論となっている。経営には決まった方法はないが、選択可能性としてどのようなもの があり、どのように理論化されているかという実践的な知識の深さが、経営にとって不可 欠であることは言うまでもない。 理論を実践で活用する力をつけたい意欲ある学生を望む。 講師略歴 1977 年 ソニー株式会社入社 1990 年 三菱銀行 ( 現、三菱東京ＵＦＪ銀行 ) 入行 ( 現在に至る ) 数理科学博士（東京大学） 三菱東京ＵＦＪ銀行 融資企画部 チーフクオンツ 一橋大学大学院 経済学研究科 客員教授 大阪大学大学院 基礎工学研究科 招聘教授 －28－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-99 統計財務保険特論Ⅸ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 * 青沼 君明 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 その他 リスク評価とビジネス・モデルの構築（応用） 企業経営では、収益とコストのバランスだけでなく、リスクのコントロールが重要である。 もっと積極的な言い方をすれば、企業は何らかのリスクを取ることで、ビジネス機会を得 ている。リスクは、利益やコストの不確実性であるが、これを計量化しない限りビジネス 上の判断はできない。本講義では、リスクなどを計量化するためのモデルの概念を学び、 モデル構築と評価、さらにはそれらを用いたリスクコントロールの具体的な方法、それを 実用化するためのプロセスなどを学ぶ。理論の導出よりも理論の利用法・応用を重視し、 その理論を実務で適用する具体的な手順などについて解説する。 リスク評価，信用リスク，市場リスク，デリバティブ ビジネス上の以下の問題を、どのようにモデル化し、ビジネス性をどのように評価するか を学ぶ。 (1) 金利と現在価値 (2) リスクとは何か (3) 確率論の基礎 (4) 金融商品の基礎 (5) スワップ取引 (6) 割引債とリスク評価 (7) 金融統計 (8) 市場リスク評価とポートフォリオ理論 (9) 信用リスク評価モデル ビジネス・モデルというものの概念を学び、モデル構築、評価、さらにはそれらを用いた リスクコントロールの具体的な方法、それを実用化するためのプロセスなどを学ぶ。なお、 ここで学ぶモデルは金融機関に限定したものではなく、全企業共通の概念であり、企業経 営の判断に必要な基礎概念である。 授業では、理論の実践を重視する立場から、Excel による評価ツールの作成などを行う。 成績は中間レポート 50％、期末試験 50％のウエイトで評価。出席点は取らないが、講義の 内容にはテキストには含まれていない部分も多くあるので、出席が望ましい。また、中間 レポートの未提出、期末試験の未受験者については、履修放棄として取り扱う。中間レポー ト、期末試験ともに、形式的な計算や証明ではなく、経営上の実際の問題を想定し、経営 者の立場で自分なりの評価手法を立案する形式の問題となる。 レジュメを配布 青沼君明・村内佳子 ,『Excel&VBA で学ぶ VaR』, 金融財政事情研究会 , 2009 年 青沼君明・村内佳子 ,『Excel&VBA で学ぶ 信用リスク評価の基礎』, 金融財政事情研究会 , 2010 年 参考書 （Reference Books）木島正明・青沼君明 ,『Excel&VBA で学ぶ ファイナンスの数理』, 金 融財政事情研究会 , 2003 年 金融理論は、金融機関だけでなくあらゆる事業会社にとって、経営判断をする際の不可欠 な理論となっている。経営には決まった方法はないが、選択可能性としてどのようなもの があり、どのように理論化されているかという実践的な知識の深さが、経営にとって不可 欠であることは言うまでもない。 理論を実践で活用する力をつけたい意欲ある学生を望む。 講師略歴 1977 年 ソニー株式会社入社 1990 年 三菱銀行 ( 現、三菱東京ＵＦＪ銀行 ) 入行 ( 現在に至る ) 数理科学博士（東京大学） 三菱東京ＵＦＪ銀行 融資企画部 チーフクオンツ 一橋大学大学院 経済学研究科 客員教授 大阪大学大学院 基礎工学研究科 招聘教授 －29－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-109 数物先端科学Ⅰ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 小林 俊行 講義題目 リー群と表現論 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 Lie Groups and Representation Theory 有限次元およおび無限次元における対称性を記述する表現の理論について、 幾何的なアイディアおよび解析的な手法について基本的に重要な事柄を解説する。 時間が許せば、表現の分岐則に関する最先端の理論やその考え方を具体的な例を通じて紹 介する。 表現論，リー群，等質多様体，対称性の破れ，分岐則，リー環，テンソル積，超関数 毎週、黒板を用いて講義を行う。 学期末にレポートを課す。 参考書 関連ホームページ At the end of the semester, students are requested to submit a report answering some of the questions that I give during the course. 小林俊行・大島利雄著 『リー群と表現論』 岩波書店 2005 http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ toshi/lec/2015summer-a.html 授業の目標・概要 901-110 数物先端科学Ⅱ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 植田 一石 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 シンプレクティック幾何学 シンプレクティック幾何学に関わる様々な話題について概観する シンプレクティック幾何学，可積分系，ミラー対称性 シンプレクティック幾何学について、基本事項から発展的な話題まで幅広く概説する。 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 1. 解析力学からシンプレクティック多様体へ 2. Noether の定理 3. いろいろなシンプレクティック多様体 4. 運動量写像とシンプレクティック商 5. Liouville-Arnold の定理 6. AKS の定理 7. 戸田格子 8. トーリック多様体 9. 2 次元のゲージ理論 10. Frobenius 多様体 11. モノドロミー保存変形 12. 特殊 Lagrange 部分多様体 13. Floer コホモロジー 14. ミラー対称性 15. 最近の話題 授業形式で行う レポートによる 特に指定しない 特に指定しない 予備知識は特に仮定しない －30－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-111 数物先端科学Ⅲ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 斎藤 毅 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 関連ホームページ 901-112 講義題目 授業の目標・概要 授業の方法 成績評価方法 エタール層の特性サイクル 正標数の多様体上の l 進層には、複素多様体上の D 加群との類似に基づけば、その特性サ イクルが余接束のサイクルとして定義され、オイラー数についての指数公式などがなりた つことが期待される。特異台とよばれる特性サイクルの台で、局所非輪状性に関する条件 をみたすものの存在を仮定して、ミルナー公式で特徴付けられる特性サイクルの存在を示 し、指数公式も証明することを目標とする．そのために必要な、消失輪体の一般論、局所 的ラドン変換などの幾何的な構成、分岐理論なども解説する。 エタール・コホモロジー，特性サイクル，余接束，局所非輪状性，消失輪体，消失トポス， ラドン変換，指数公式，分岐理論，スワン導手 消失トポスを用いたスワン導手の連続性の一般化を解説した後、局所非輪状性を使ってエ タール層の複体の特異台を、余接束の錐閉部分集合として公理的に定義する．消失輪体の 全次元の安定性を導き、局所ラドン変換を使ってミルナー公式で特徴付けられる特性サイ クルの存在を証明する．非特性的なスムーズ因子へのひきもどしと特性サイクルの構成の 両立性を証明し，指数公式を導く． 黒板で講義する． 講義中に出す問題などについてのレポートで評価する． 現在作成中の論文 On the characteristic cycle of a constructible sheaf and the semi-continuity of the Swan conductor にそって解説する．次の論文の結果も使う． Wild ramification and the cotangent bundle arXiv:1301.4632 Characteristic cycle and the Euler number of a constructible sheaf on a surface, Kodaira Centennial issue of the Journal of Mathematical Sciences, the University of Tokyo, vol 22, 2015 pp. 387-442.arXiv:1402.5720 P. Deligne, N. Katz (ed.), Groupes de Monodromie en G ́eom ́etrie Alg ́ebrique, SGA 7II, Springer Lecture Notes in Math. 340 (1973) P. Deligne, Th ́eor`eme de finitude en cohomologie l-adique, Cohomologie ́etale SGA 41, 2 Springer Lecture Notes in Math. 569 (1977) 233‒251 とその L. Illusie による Appendice L. Illusie, Produits orient ́es, Travaux de Gabber sur l uniformisation locale et la cohomologie ́etale des sch ́emas quasi-excellents, Ast ́erisque 363-364 (2014) 213-234. G. Laumon, Semi-continuit ́e du conducteur de Swan (d apr`es P. Deligne), S ́eminaire E.N.S. (1978-1979) Expos ́e 9, Ast ́erisque 82-83 (1981) 173-219. http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ t-saito/ce/cal15/cc.html 数物先端科学Ⅳ 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 斉藤 義久 組み合わせ論における幾何学的方法 ある種の代数の表現論や組み合わせ論において，幾何学的な手法は時として非常に強力な 研究手段を与える．このような方法論は，1970 年代後半の有限シュバレー群の表現論に端 を発し，リー代数の表現論，affine Hecke 代数の表現論，量子包絡環の表現論等，数々の分 野において大きな成功を収めている． この講義ではコストカ多項式を例にとり，上記の幾何学的方法が，表現論や組み合わせ論 にどのように応用されるかを解説したい．今回紹介する結果は 1980 年代前半に Lusztig に よって証明されたもので，今となっては古典的とも言える内容であるが，上記の方法論を 概観する上で格好の題材であると思う． 通常の講義形式． レポートによる． －31－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-113 数物先端科学Ⅴ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 木田 良才 講義題目 授業の目標・概要 授業の方法 成績評価方法 901-115 数物先端科学Ⅶ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 901-116 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 時弘 哲治 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 新井 仁之 フーリエ解析とウェーブレット解析 フーリエ解析とウェーブレット解析について，その基礎理論と応用例について講義する． フーリエ解析，ウェーブレット解析 フーリエ解析のやや発展的な話とウェーブレット解析の入門的事項を講義する．また，そ れらの応用例についても講ずる． 講義形式 レポート なし 講義中に必要に応じて参考文献を示す． フーリエ解析の初歩，ルベーグ積分の初歩についてある程度の予備知識があった方が本講 義の理解の助けになるであろう。 社会数理先端科学Ⅰ 講義題目 授業の目標・概要 2 離散および超離散可積分系 離散可積分方程式および超離散可積分方程式に対する入門的な講義を行う． 離散可積分系，超離散可積分系，QRT 写像，離散パンルヴェ方程式，ソリトン いくつかのトピックスについて 2 ∼ 4 回で解説する． 平常点およびレポート 数物先端科学Ⅷ 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業計画 901-119 エルゴード理論 エルゴード理論に関する入門講義を行う . 具体的には以下の内容を取り扱う : エルゴード定理とその古典的応用 , 唯一エルゴード性 , Weyl の一様分布定理の一般化 , 同 型問題 , 保測変換のエントロピー , トーラス上の自己同型 , Markov シフト . いずれの内容についても , 一般論に拘ることは避け , 具体例・応用例を取り扱うことでその 内容に親しむことを目標とする . 講義 レポートによる 2 S ｾﾒｽﾀｰ 選択 山本 昌宏 産業界における課題についての議論と解決 集中講義形式で行う。講師は連携併任講座の客員教授による予定であり、参加者が課題に ついて考察する演習も設ける。 産業数学，演習，集中講義 約 5 日間の集中講義、最初に講師から問題の解説、その後に各自で演習、作業を行う。特 任助教がそれらの作業のサポートも行う。 レポートによる 特に指定しない 特に指定しない 日程は後日、掲示する －32－ 科目番号 科目名 単位 学期 要件 担当教員氏名 901-120 社会数理先端科学Ⅱ 2 A ｾﾒｽﾀｰ 選択 山本 昌宏 講義題目 授業の目標・概要 授業のキーワード 授業の方法 成績評価方法 教科書 参考書 履修上の注意 901-124 産業界における研究者によるオムニバス講義 産業の多様な分野における課題の解決に、数理的な思考や方法論がどのように使われてい るか、さらに将来どのような数理的な発想が必要になっていくかなどについて解説をする。 大学で学んでいる数学の実際の応用の様相についても理解を深めることも目指す。 オムニバス講義，産業数学 各講師 2 回を基本としたオムニバス講義 レポートによる 特に指定しない 特に指定しない 日程は後日掲示する 研究倫理Ⅰ 0.5 必修 修士課程の学生が対象。集中講義。実施日は決まり次第、掲示板によりお知らせします。 901-125 研究倫理Ⅱ 0.5 必修 博士課程の学生が対象。集中講義。実施日は決まり次第、掲示板によりお知らせします。 －33－
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