本日の講義内容  ブール代数  二変数論理関数 – 土・モルガンの法則の証明（真理値表を使って）コンピュータアーキテクチャＩ #3 二変数論理関数 – 二変数論理関数の種類 – 完全系 – ブール代数による項の整理平成２７年４月２４日教科書p.17～p.40 主なブール代数の定理（４）  ２変数論理関数とは任意の元 , に対し，次のド・モルガンの定理が成立する ̅⋅ ２つの論理変数A,Bから組み立てられる関数 ̅ ⋅ ○ ⋅ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 ⋅ ⋅ 1 1 1 1    0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ２変数論理関数のパターン 1 1 0 0 A 1 1 0 #0: B 1 0 1 0 B 1 0 1 0 0 0 0 0 #8 1 0 0 0 #1 0 0 0 1 #9 1 0 0 1 #2 0 0 1 0 #10 1 0 1 0 #3 0 0 1 1 #11 1 0 1 1 #4 0 1 0 0 #12 1 1 0 0 #5 0 1 0 1 #13 1 1 0 1 #6 0 1 1 0 #14 1 1 1 0 #7 0 1 1 1 #15 1 1 1 1 , 1,0 のときのみ 1となる２変数関数 , – – 0 #0 Ex) #4は A,Bはそれぞれ０,１の値をとりうるので，４通りの入力パターンがあるある入力パターンに対して，出力は０,1の２通り 24=１６通りの「２変数論理関数」があると共に，それ以上は存在しない２変数論理関数  A , – – 0,0 – 1 0,1 1 ⋅ #3:  0 ORの否定に等しい．“NOR” (Not-OR)と呼ばれる #2:  のいろいろ（１） , 入力に関わらず出力が0 定数０ #1:  ○には何か論理演算子が入る 0,1 0,0 1 が0のときのみ１なので，の否定に等しいを表す 1 ２変数論理関数  #4: 1,0 のいろいろ（２） , 1 ２変数論理関数  #5: –  1,0 0,0 1  #6: 1,0 0,1 #7: 1,0 1  0,1 0,0 #9: 1 1,1 – が０のときのみ１なので，の否定に等しい – – 排他的論理和（XOR, EOR）と言われ， ⨁ で表す  1,1 – AND（ ⋅ ） –  #8: のいろいろ（3） , #10: –  1 0,0 ⋅ 1 ⊕ 1,1 0,1 1 に関わらず，の値に等しいので，単に #11: 1,1 0,1 0,0 1 – – , 共に１以外は１なので，ANDの否定に等しい – NANDと呼ばれる２変数論理関数  #12: –  1,1 のいろいろ（4） , 1,0 1  に関わらず出力はに等しいので，単に #13: 1,1 1,0 0,0 #14:  1,1 1,0 0,1 #15: 1,1 1,0 0,1 0,0 他に完全系を成す演算（素演算）はあるか？ – NAND, NORは単独で完全系をなす – NOTとAND, NOTとORも完全系をなす 1 – かのどちらか一方でも１ならば出力は１ – 論理和（OR）である  ２変数論理関数１６種類 – AND, OR, NOTがあればすべて表現できる – 上記３演算をもって｢完全系」をなす，という 1 –  完全系 1 – 入力に関わらず出力が１ – 定数１単一演算子による完全系：NOR   NOR: ⋅ NORを使った論理演算 – NOT: NAND： ⋅ NANDを使った論理演算 – NOT: ‖ ⋅   ‖ – OR: – AND : ‖ 単一演算子による完全系：NAND ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ – AND: – OR: | ⋅ | 1| | | | | | 2 最小項と最大項  加法標準形と乗法標準形最小項  – すべての論理変数が真，または偽の形で含まれている論理積項  – – – – ex) (論理）積を各項に，それを(論理）和で結んだ形「加法標準形」という真理値が０となる項も含めて書くと「主加法標準形」と呼ばれる – (論理）和項を(論理)積で結んだ形は「乗法標準形」と呼ばれる最大項 – すべての論理変数が真，または偽の形で含まれている論理和項多変数論理関数の表現  論理関数の簡単化とは主加法標準形  個の論理変数を持つ論理変数について， – , ,⋯, 0,0, ⋯ , 0,0 0,0, ⋯ , 0,1 0,0, ⋯ , 1,0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 論理式の項数を少なくすること – ド・モルガンの定理や各種ブール代数の公理・定理を駆使して項数を減らす論理最小項今まで書いてきた論理式  論理式で使われている演算子を統一すること – 完全系を成すNANDやNORのみで論理式を記述し，必要な部品の種類を減らす ⋯ 1,1, ⋯ , 1,1 – 論理積の和，と言う形で表現する． – すべての入出力の組合せを列挙する．論理式の簡単化の例（１）  与えられた論理式： – 論理式の簡単化の例（２）  与えられた論理式： – – – –  – – 3 簡単化の練習  本日のまとめと来週の予定次の論理式を簡単化しなさい –  – – – –  – ⋅ ブール代数の基礎ブール代数と定理二変数論理関数完全系ブール代数を利用した項の整理来週の予定（５月１日） – ブール代数演習 – 単元テスト 4