物理学演習第１２回資料（平成２６年度後期）名城大学教員：山﨑耕造Ｖ剛体のつりあい 2. 重心（質量中心） 𝑀𝑀 = ∑𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚𝑖𝑖 積分形（剛体の重心） 𝑀𝑀 = ∫ 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑 演習問題略解 𝑥𝑥𝐺𝐺 = 𝑥𝑥𝐺𝐺 = 1 𝑀𝑀 1 𝑀𝑀 ∑𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝐺𝐺 = ∫ 𝑥𝑥𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑦𝑦𝐺𝐺 = 1 𝑀𝑀 1 𝑀𝑀 ∑𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑦𝑦𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖 ∫ 𝑦𝑦𝜌𝜌𝑑𝑑𝑑𝑑 Ⅴ-B1．重心：重心は y 軸上にあり(0,yG)とする．dS=2(y/a)1/2dy 𝑦𝑦𝐺𝐺 = ∫ 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 2 ∫0 𝑦𝑦�𝑦𝑦/𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 2 ∫0 �𝑦𝑦/𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝑏𝑏/5 したがって重心の位置は (0, 3b/5) Ⅴ-B2．重心：横倒しの直円錐の頂点を(0,0), 底円の中心を(h,0)とする．直円錐の体積 V は V=(1/3)πa2h 重心は x 軸上にあり (xG,0) とする． dV=πa2(x/h)2dx π𝑎𝑎2 � 𝑉𝑉 1 � �4� ℎ = 3ℎ 4 1 ℎ 1 ℎ 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥𝐺𝐺 = � � ∫0 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = � � ∫0 π𝑎𝑎2 𝑥𝑥 � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = V V ℎ したがって，重心は底面から h/4 の高さ． Ⅴ-B3．重心： (ⅰ) 体積 V, 高さ h の円錐の重心は頂点からの 3h/4. 高さ h/2 の相似円錐では体積が V/8 で重心は頂点からの 3h/8．したがって，題意の円錐台の重心の位置を外挿した頂点から X とすると X・7V/8 = (3h/4)･V – (3h/8)･V/8 = 45V/64 ∴ X=45h/56 故に底面から 11h/56 の高さ． (ⅱ) 半径 a の面積はπa2, 距離 c だけ離れた半径 b の円の面積はπb2．題意の物体の重心の位置を半径 a の円の中心からの x として，π(a2-b2)x＝πb2c ∴x＝b2c/(a2-b2) 以上より，半径 a と半径 b の円の中心を結ぶ線上で半径 a の外側 b2c/(a2-b2)の位置 (ⅲ) 高さ 2h，体積 2πa2h/3 の円錐の重心は頂点から 3h/2，体積 πa2h の重心は頂点から 5h/2 なので，題意の物体の位置を円錐の頂点から x として， (5πa2h/3)x=(2πa2h/3)(3h/2)+(πa2h)(5h/2) より (5/3)x=(1+5/2)h 故に x=21h/10 円柱の軸上で底面から 9h/10 の位置レポート１2 課題練習問題集から V-B 5 (i)(ii) （重心とモーメント問題）提出場所 3 階学務センター前レポートボックス「物理学演習（山崎）」提出期限次回の講義日の前日(月)の午後 1 時までヒント Ⅴ-B5．重心とモーメント： (i) 力の作用線を底円の中心を通るように平行移動させ x 軸として，円の中心を原点にとる．鉛直上方を y 軸とすると，平行移動した作用点は(- a/2,0)，外部からの力は (W/4,0)である．床の抗力の作用点を(x,0), 抗力を（Fx,Fy）とする．力のつり合いから，Fx= w/4, Fy= W．原点に関する力のモーメントのつり合いを計算してｘを求める． (ii) 倒れるためには(a/2,0)を支点として円柱の重心(0,a)を x>a/2 の点の外まで動かく必要がある．外力を F として，原点のまわりのモーメントより F を求める．＝＝＝前回のレポート略解＝＝＝ Ⅴ-A5．輪軸のつり合い： A 点に重さ X の物体を下げたとする．輪軸のモーメントから 2RX+2WR=3RW 故に X=W/2． A 点に W/2 Ⅴ-A6．2 次元つり合い：左の糸の張力を Ta，右の糸の張力を Tb，重心の位置を棒の左端から x の位置とする．力のつり合いは，水平：Tasinθ＝Tbsinφ，鉛直：Tacosθ+Tbcosφ=W．故に Tbcosφ= W/(1+tanφ/tanθ) 棒の左端でのモーメントから xW=ℓTbcosφ．したがって x=ℓ/(1+tanφ/tanθ) あるいは x=ℓ/(1+sinφcosθ/(sinθcosφ))= ℓsinθcosφ/sin(θ+φ)