数学検定 第２７７回準１級２次：数理技能検定
問題１
解
答
Ｊ１−２−１
１
log x ＋y（x ＋y ）
＞ …①の表す領域を求める。 １＜ x 2 ＋ y 2 かつ ② のとき
２
①より
底に関する条件より
1
2
x2＋y2
y ＞（ x 2 ＋ y 2 ）＝
x
＋
2
2
2
2
x ＋ y ＞０ かつ x ＋ y ≠１
右辺は正より，両辺を２乗して整理すると
真数に関する条件より
xy ＞０（ 第１象限および第３象限 ）
x ＋ y ＞０ …②
2
2
が成り立つ。
以上より，求める領域は下の図の斜線部分で
底 x ＋ y と１の大小関係により場合分けする。 ある。ただし，境界線を含まない。
2
2
０＜ x 2 ＋ y 2 ＜１かつ ② のとき
①より
y ＝ −x
y
1
1
2
x 2 ＋y 2
x ＋ y ＜（ x 2 ＋ y 2 ）＝
②より左辺は正，よって両辺を２乗して
2
（x ＋y ）
＜ x2＋y2
これを整理して
xy ＜０（ 第２象限および第４象限 ） 問題２
O
−1
x2＋y2＝1
1
x
−1
５
４５
２７
⑴ （答） b・c ＝ ，c・d ＝ ，b・d ＝
２
２
２
⑤ の両辺と b の内積をとると，⑴の結果と
⑵ 条件より
５
２７
ＡＯ・b ＝１６ℓ＋ m ＋ n
２
２
①より
｜b｜＝４，｜c｜＝５，｜d｜＝６ …①
②より，３２ℓ＋５m ＋２７n ＝１６ …⑥
が成り立つ。ＡＯとＢＯ＝ＡＯ− b の大きさは
同様に，⑤の両辺と c の内積をとると
等しいので，｜ＡＯ｜＝｜ＡＯ − b｜
５
４５
ＡＯ・c ＝ ℓ＋２５m ＋ n
２
２
両辺を２乗して整理すると，①より
2
2
｜ＡＯ｜ ＝｜ＡＯ｜ −２ＡＯ・b ＋１６
よって，ＡＯ・b ＝８ …②
同様に ｜ＡＯ｜＝｜ＡＯ − c｜より
③より，ℓ＋１０m ＋９n ＝５ …⑦
⑤の両辺と d の内積をとると
２７
４５
ＡＯ・d ＝ ℓ＋ m ＋３６n
２
２
｜ＡＯ｜ ＝｜ＡＯ｜ −２ＡＯ・c ＋２５
④より，３ℓ＋５m ＋８n ＝４ …⑧
２５
よって，ＡＯ・c ＝ …③
２
⑥×２− ⑦ より
2
2
｜ＡＯ｜＝｜ＡＯ − d｜より
2
2
｜ＡＯ｜ ＝｜ＡＯ｜ −２ＡＯ・d ＋３６
よって，ＡＯ・d ＝１８ …④
b，c，d は１次独立
（４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが同
一平面上にない）より，実数ℓ，m，n が存在
して
ＡＯ＝ℓb ＋ m c ＋ n d …⑤
７ℓ＋５n ＝３ …⑨
⑥ − ⑧より
２９ℓ＋１９n ＝１２ …⑩
１
⑨，⑩を解いてℓ＝ n ＝ ，よって⑧より
４
１
m ＝ ，これらを⑤に代入して
４
１
１
１
ＡＯ ＝ b ＋ c ＋ d
４
４
４
１
１
１
（答）ＡＯ ＝ b ＋ c ＋ d
４
４
４
が成り立つ。
Ｈ２７０１Ｇ１１
Ｊ１−２−２
問題３
直線ℓに関する対称移動を f とおき，f を表す
a b
行列を A ＝ とおく。
c d
③ ，④ はすべての x，y について成り立つので
（ a ＋１）tanθ− c ＝０ …⑤
b tanθ−d −１＝０ …⑥
θ＝０のとき，f は x 軸に関する対称移動で
a −１＋c tanθ＝０ …⑦
１ ０
あるから，A ＝ …①
０ −１
b ＋（ d −１）tanθ＝０ …⑧
θ≠０のとき，点Ｐ
（ x ，y ）の f による像を
（１＋ tan2θ）a ＋ tan2θ−１＝０
点Ｑ（X ，Y ）とすると
１− tan2θ
a ＝ ＝ cos2θ− sin2θ＝ cos２θ
１＋ tan2θ
X
a b
x
ax ＋ by
＝ ＝ …②
c
d
y
cx ＋ dy
Y
y ＋Y
x ＋X
線分ＰＱの中点 ， はℓ上に
２
２
あるので
x ＋X
y ＋Y
＝（ tanθ）
・ …③
２
２
⑤ × tanθ＋ ⑦ より
これと⑤より
c ＝
（１＋ cos２θ）
tanθ＝２cosθsinθ＝sin２θ
⑧×tanθ− ⑥ より
（１＋ tan2θ ）d − tan2θ＋１＝０
１− tan2θ
d ＝ − ＝ − cos２θ
１＋ tan2θ
直線ＰＱと直線ℓは垂直より
これと⑧より，b＝
（１＋ cos２θ）
tanθ＝ sin２θ
y −Y
１
＝ − …④
x −X
tanθ
よって，a ＝−d ＝cos２θ，b ＝c ＝sin２θ …⑨
逆に a ，b ，c ，d を⑨で定めると，③ ，④ は
③，④に②を代入して整理すると
つねに成り立つ。
y ＝０
{
（a ＋１）
tanθ−c } x ＋
（btanθ−d −１）
…③
x＋
（a−１＋c tanθ）
｛b＋
（d −１）
tanθ} y ＝０
よって，A ＝
sin２θ
cos２θ
sin２θ − cos２θ
これはθ＝０のときも成り立つ。
…④
点Ｘの描く軌跡は n 個の扇形の弧をつなげ
た曲線であり，n 個はそれぞれ
２π
・中心Ａ1 ，半径ℓ，中心角
n
２π
１
・中心Ａ2 ，半径 ℓ− ℓ, 中心角
n
n
k −１
２π
L n ＝ ℓ− ℓ
n
n
k ＝１
n
２πℓ
＝ 2 （ n − k ＋１）
n k ＝１
n
２πℓ n（ n ＋１）
＝ ×
２
n2
＝πℓ １＋
１
n
（答）L n＝πℓ １＋
…
問題４
２π
⑴ 正 n 角形の１つの外角の大きさは であ
n
ることに注意する。
n −１
２π
・中心Ａn ，半径ℓ− ℓ，中心角
n
n
の扇形である。
半径 r ，中心角θの扇形の弧の長さは rθで
あるから，求める軌跡の長さL n は
１
n
⑵ ⑴の結果より
L n ＝πℓlim
１＋
nlim
n →∞
→∞
１
n
＝πℓ
（１＋０）
＝πℓ
L n ＝πℓ
（答）lim
n →∞
Ｈ２７０１Ｇ１１
Ｊ１−２−３
問題５
まず総ゲーム数について考える。同じ人との
① A が
（０，１，３）
，B が
（０，１，５）
とすると
対戦は 1 回以下だから総ゲーム数は３以下であ
C の引き分け数は偶数でなくてはならず，
る。
また C が負けのみになることはない。よって
総ゲーム数が０または１の場合，０ポイント
C は
（１，０，４）または（０，２，４）となる。
の人が少なくとも１人はいることになるが，A， 前者の場合，Ａ対Ｂは３対３，Ｂ対Ｃは２対
B，C は３人ともポイントを獲得しているので， ４となる。
総ゲーム数は２以上である。
後者の場合，ＣはＡ，Ｂ両方と引き分ける
また仮定より，ゲームを１回行うごとに，ゲー
ことになるが，ＡとＢの獲得点数の和（８ポ
ムをした２人の合計ポイントは少なくとも１２
イント）
が C の獲得点数より大きいので不適。
ポイント増加する。３人の合計ポイントは
８＋１０＋１４＝３２（ ポイント）
だから，３ゲームは行っていないことがわかる。
よって，総ゲーム数は２である。
以下，各人の成績を
・勝ったゲームの数 α
・引き分けたゲームの数 β
・獲得した点数の合計 γ
の３つの数の組（α，β，γ）で表すことにする。
ポイントから考えられる A，B，C の成績は
A：
（０，１，３）または（０，０，８）
② A が
（０，１，３）
，B が
（０, ０, １０）
とすると
Ａの引き分けの相手は C 。 よって C は
（０, １, ９）となる。
このとき，B は負けのみであるが，B に対
する勝者がいないことになり不適。
③ A が
（０，０，８）
，B が
（０，１，５）
とすると
B の 引き分けの相手は C 。よって C は
（０ , １ , ９）となる。
このとき，Ａは負けのみであるが，Ａに対
する勝者がいないことになり不適。
B：
（０，１，５）または（０，０，１０）
④ Aが
（０，０，８）
，B が
（０, ０, １０）
とすると
C：
（１，０，４）または（０，２，４）
または
A，B はどちらも負けのみであり，C が２勝
（０，１，９）または（０，０，１４）
することになるので不適。
この中から条件を満たす成績の組み合わせを
以上より，対戦の組み合わせと結果は
探す。
Ａ対Ｂが３対３，Ｂ対Ｃが２対４
（答）Ａ対Ｂが３対３，Ｂ対Ｃが２対４
問題６
△ＯＡＮの面積は
m
１
×m ×１× sinθ＝ sinθ …①
２
２
△ＯＡＰ，△ＯＰＮの面積はそれぞれ
１
θ m
θ
×１×m × sin ＝ sin …②
２
２ ２
２
１
θ
θ m2
× m ×m × sin ＝ sin …③
２
２
２
２
θ
m
両辺を sin （≠０）で割って
２
２
sinθ
１＋ m ＝
θ
sin
２
θ
θ
sinθ＝２sin cos を用いて整理すると
２
２
θ
m ＝２cos −１
２
②と③の和が①に等しいので
θ
（答）m ＝２cos −１
２
θ m2
θ m
m
sin ＋ sin ＝ sinθ
２
２
２ ２
２
Ｈ２７０１Ｇ１１
Ｊ１−２−４
問題７
log e x
f (x ) ＝ （ x ＞０）とおく。
x
a b ＝ b a
…①
y
を満たす整数の組（a ，b ）
（０＜ a ＜b ）があれば，
両辺の自然対数をとることにより
１
e
y ＝（x
f ）
b loge a ＝ a loge b
loge a
loge b
＝
a
b
すなわち
O
f ）＝ f（b ） …②
（a
f ）の
が成り立つ。このことに注意して，y ＝ （x
グラフの概形を考える。
f（x ）＝
1
2
e
3
4
5
6 x
よって，② を満たす整数 a ，b（０＜a ＜ b ）が
あれば
１− loge x
x2
a ＜ e ＜ b
より，f（x ）＝０となる x（ ＞０）の値を求めると
つまり，a ≦２ かつ ３≦ b が必要である。
x ＝ e
f ）＞０より，
f（１）＝０かつ x ＞１において （x
よって，f（x ）の増減表は次のようになる。
まず a ＝２がわかる。次に
x
f（x ）
f´
f ）
（x
０
…
e
…
＋
０
−
極大
また， x ＞１において，f（x ）＞０ および
f ）＝ − ∞， xlim （x
f ）＝０
xlim （x
→∞
→＋0
loge２
２
loge４ ２loge２ loge２
f
f（４）
＝ ＝ ＝ ＝ （２）
２
４
４
f（２）＝
とグラフより
f
f ）
f（３）＞ （４）
＞ （n
（n は５以上の整数）
f
がわかるので，（２）
＝f（ b ）
を満たす整数 b（≧３）
は b ＝４だけである。
f ）
より，y ＝（x
のグラフの概形は次のようになる。 以上より①を満たす整数の組は
（a，b）
＝
（２，４）
だけであることが示された。
Ｈ２７０１Ｇ１１
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