Homework #2 Research Methods in Political Science Formal Political Theory Graduate School of Political Science at Waseda University Spring Semester, 2015 Shuhei Kurizaki May 8, 2015 Due on Thursday, May 21, at 9:00AM to your TA Normal Form Games 1. Suppose that a game is solvable by iterated elimination of strictly dominated strategies. Use the definition of the strict dominance, show that the dominant strategy equilibrium is unique (hint: suppose to the contrary that there exist two equilibria that survive the elimination of strictly dominated strategies and then show that this supposition contradicts with a definition). あるゲームを、強く支配される戦略の逐次消去によって解くことができるとする。その支配戦略均衡がただ１つしかないことを示してください。(ヒント：そのゲームではそのような均衡が二つあると逆に想定し、しかしその想定が定義と矛盾することを示す。) 2. Find all equilibria that survive iterated elimination of weakly dominated strategies 次の in the game below. Does the order of elimination matter? If so, how? ゲームにおいて、弱く支配される戦略の逐次消去によって残るすべての均衡を求めてください。その消去の順序は解に影響があるのか？もしそうなら、どのように影響があるのか？ Player 1 U M D L 3, 13 1, 13 1, 13 Player 2 C 2, 11 1, 11 1, 11 R 2, 13 1, 12 1, 14 3. Construct a 2  2 simultaneous move game whose Nash equilibrium does not 弱く支配される戦 survive iterated elimination of weakly dominated strategies. 略の逐次消去によってナッシュ均衡が消去されてしまうような、2  2 の同時手番ゲームを一つ作成してください。 4. A committee consists of three players, 1, 2, and 3, with player 1 elected as chairman. The committee must select one of three alternatives, A, B, and C. Members vote simultaneously for an alternative, abstaining is not allowed. The alternative with the most votes wins. If no alternative receives a majority, then the chairman selects his most favored alternative. The payoff functions are u1(A) = u2(B) = u3(C) = 2 u1(B) = u2(C) = u3(A) = 1 u1(C) = u2(A) = u3(B) = 0. The game has three equilibrium outcomes: A, B, and C. However, it has more equilibria than this. Find all Nash equilibria of this game. Apply iterated elimination of weakly dominated strategies to see why this game is called “The Chairman’s Paradox.” Explain. (hint: you could write down 3  3 payoff matrices and find the Nash equilibria by inspection. But this so may be cumbersome. Alternatively, you could apply the definition of Nash equilibrium [i.e., the incentive for unilateral deviation or the lack thereof]. If the outcome is A, player 2 (whose payoff in this case is 0) can switch to voting either B or C, depending on the profile, and improve her payoff.) ある委員会には、１，２，３の 3 人のプレイヤーが存在し、プレイヤー１が議長である。その委員会は、Ａ、Ｂ、Ｃの案のうち一つを選ばなければならない。各メンバーは、1 つの案に同時に投票するが、棄権は許されない。最多の票を得た案が勝利する。どの案も多数をえられない場合、議長が自らがもっとも支持する案を選出する。利得関数は u1(A) = u2(B) = u3(C) = 2 u1(B) = u2(C) = u3(A) = 1 u1(C) = u2(A) = u3(B) = 0 である。このゲームの均衡では、Ａ、Ｂ、Ｃという三つの結果がありうる。しかし、その均衡そのものは３つ以上ある。このゲームのすべてのナッシュ均衡を求めてください。また、弱く支配される戦略を逐次消去することで解を求め、その際に、なぜこのゲームが「議長のパラドックス」と呼ばれるのか説明してください。ヒント： 33 の利得マトリックスを書いて、そこでナッシュ均衡を探すこともできますが、その方法は煩雑になるかもしれません。そこで、ナッシュ均衡の定義を用いることもできます。もし結果がＡであれば、プレーヤー２はその帰結での利得は０なので、（戦略プロファイルよるが）Ｂ案かＣ案に選択を変更して、利得を上げることができます。