H10-T1-A1 Sei S3 die symmetrische Gruppe und G eine Gruppe mit einer normalen Untergruppe N der Ordnung 5, so dass G/N ' S3 ist. Zeigen Sie: a) |G| = 30. b) G hat eine normale Untergruppe der Ordnung 30. c) G besitzt mindestens drei Untergruppen der Ordnung 10, die nicht normal sind. Lösungsvorschlag. Zu a). |G| = |N | · |G/N | = 5 · |S3 | = 30. Zu b). Wir identifizieren im Folgenden G/N mit S3 durch den in der Angabe vorgegebenen Isomorphismus. Es ist A3 ⊂ S3 ' G/N ein Normalteiler der Ordnung 3. Nach dem Korrespondenzsatz entspricht dieser einem Normalteiler P ⊂ G, so dass N ⊂ P und P/N ' A3 . Insbesondere ist also |P | = |P/N | · |N | = 3 · 5 = 15. Zu c). Nach dem Korrespondenzsatz entsprechend die drei nicht-Normalteiler h(1, 2)i, h(1, 3)i und h(2, 3)i drei nicht-Normalteilern1 P1 , P2 und P3 mit |P1 | = |P1 /N | · |N | = |h(1, 2)i| · 5 = 10 und analog für P2 , P3 . 1 Eine Untergruppe H ⊂ G mit N ⊂ H ist genau dann ein Normalteiler in G, wenn H/N Normalteiler in G/N ist. 1
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