Blatt 11

Vertiefung Gruppentheorie
-Sophiane YahiateneAufgabe 11.1
(G, ·) bildet:
Entscheide, welche Teilmenge H ⊆ G eine Untergruppe der Gruppe
(a) Die Teilmenge 3Z ⊆ Z der durch 3 teilbaren ganzen Zahlen in (Z, +).
3Z ist eine Untergruppe.
Abgeschlossenheit:
Seien a, b ∈ Z, so existieren k, l ∈ Z : a = 3 · k, b = 3 · l und damit gilt a + b =
3 · (k + l) ∈ 3Z
Existenz des Inversen:
Sei a ∈ 3Z, so exisiert k ∈ Z : a = 3 · k und damit gilt −a = 3 · (−k) ∈ 3Z
(b) Die Teilmenge 1 + 3Z ⊆ Z derjenigen Zahlen, die kongruent zu 1 modulo 3 sind,
in (Z, +).
1 + 3Z ist keine Untergruppe, denn das neutrale Element 0 ist nicht in der Menge.
(c) Die Teilmenge R+ ⊆ R der positiven reellen Zahlen in (R, +).
R+ ist keine Untergruppe, da hier das neutrale Element 0 nicht in der Menge enthalten
ist.
(d) Die Teilmenge R+ ⊆ R der positiven rellen Zahlen in (R \ {0}, ·)
R+ ist eine Untergruppe.
Abgeschlossenheit:
Seien a, b ∈ R+ , so ist auch a · b ∈ R+
Existenz des Inversen:
Sei a ∈ R+ , so gilt a−1 =
1
a
∈ R+
Bemerkung: Eine äquivalente Definition einer Untergruppe ist a · b−1 ∈ U ∀a, b ∈ U ,
wobei U die Teilmenge der Gruppe ist.
Aufgabe 11.2 Stelle die Verknüpfungstabelle der Untergruppe der Diedergruppe D4
derjenigen Symmetrien eines Quadrats auf, die die Färbung der Ecken erhalten.
Lösung:
Die gesuchte Untergruppe hat die Gestalt {S0 , S2 } ∪ {R0◦ , R180◦ } ⊆ D4 , wobei Si die
Spiegelung an der Ursprungsgerade , die mit der x-Achse den Winkel i · 45◦ einschließt
und Rα die Drehung um den Ursprung um den Winkel α ist.
Nun gilt für einige Zellen der Verknüpfungstabelle:
S0 ◦ S2 = R180◦ = S2 ◦ S0 (Lemma 19.3)
S0 ◦ R2·90◦ = S2 = R2·90◦ ◦ S0 (Lemme 20.3)
1
Aufgabe 11.3 Bestimme die Symmetriegruppen der zwei Objekte. Gib alle Elemente
in Form einer Liste an.
Lösung:
Wir betten die ebenen Figuren in ein kartesisches Koordinatensystem ein.
a) Für das Herz gibt es lediglich 2 Symmetrietransformationen, nämlich die triviale
Drehung und die Spiegelung an seiner Längsachse.
b) Wähle als Koordinatenursprung den Punkt in der Mitte und setze die x-Achse
waagerecht in die Figur. So ist die Figur ohne die Seiten in der Mitte ein reguläres
Sechseck. Es gilt also, dass die Spiegelungen an den Ursprungsgeraden, die die
Winkel 0◦ ,60◦ ,120◦ mit der x-Achse einschließen, Symmetrietransformationen
sind. Zusätzlich ist die triviale Drehungen um den Ursprung um die Winkel 0◦
eine Symmetrietransformation.
Aufgabe 11.4 Bestimme alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe S3 .
Lösung:
Es gilt S3 ∼
= D3 = R3 ∪ {S0 , S1 , S2 }, also beschreibt die S3 alle Symmetrietransformationen eines gleichseitigen Dreiecks. Das heißt es reicht aus alle Untergruppen von D3
zu berechnen.
Die Untergruppen sind:
D3
{R0◦ }
R3 ∼
= Z/3Z
{R0◦ , S0 } ∼
= {R0◦ , S1 } ∼
= {R0◦ , S2 }
2

Download Report