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LG 2 – H
Leistungskurs Analytische Geometrie, Aufgabe 2 – Hinweise zur Lösung
1. a) Es geht ganz einfach los: Schau dir den Richtungsvektor von g t und den Stützpunkt von
h t an. Abhängig von t? – Na also!
b) Du brauchst zwei Spannvektoren von G. Einer davon ist sicher der Richtungsvektor der
Geraden g t; als zweiten kannst du den Vektor zwischen den Anfangspunkten von
zweien dieser Geraden nehmen, vielleicht zwischen den Anfangspunkten von g 0 und g 1.
Das Kreuzprodukt aus diesen Spannvektoren ist ein Normalenvektor von G. Verwende
aber lieber die Hälfte dieses Kreuzprodukts, dann hast du kleinere Zahlen.
Als Stützpunkt für G kannst du wieder O(0|0|0) nehmen. Damit schreibst du die
Normalenform als Punktprodukt auf. Ausmultiplizieren des Punktprodukts führt auf das
angegebene Ergebnis.
x2 tritt in der Gleichung von G nicht auf. Über die „besondere Lage von G im
Koordinatensystem“ wirst du dir klar, wenn du dir für x1 und x3 Null und für x2 einen
ganz beliebigen Wert eingesetzt denkst.
c) Du musst einfach die Koordinaten von h t in die Gleichung der Ebene H einsetzen. Da
hebt sich dann alles weg, und was übrig bleibt (nämlich 0 = 0) gilt sicher für jeden
Punkt (jedes µ) auf der Geraden h t mit jedem t.
d) Für die Punkte von s müssen die Geradengleichungen von G und H gleichzeitig erfüllt
sein. Das gibt dir ein Gleichungssystem, zwei Gleichungen für die drei Unbekannten x1,
x2 und x3. Stelle die eine Gleichung nach x3, die andere nach x2 um, dann siehst du, dass
du x1 beliebig wählen kannst. Nun schreibst du die Ortsvektoren der Punkte von s mit
dem beliebigen x1 und den davon abhängigen x2 und x3 auf. Zieh dies auseinander in
„Anfangsvektor plus Parameter mal Richtungsvektor“, dann hast du die Parameterform
einer Geradengleichung von s. Als Parameter (nennen wir ihn mal σ) nimmst du aber
besser nur die Hälfte von x1, das vermeidet Brüche.
2. Schreib dir erstmal die Gleichungen von g 2 und h 2 hin.
a) Du siehst, dass die Richtungsvektoren sich nur durch einen Faktor unterscheiden. Wenn
du h 2 statt mit dem Parameter µ mit einem neuen Parameter ν = 2µ schreibst, werden
sie sogar gleich. Klar, was das für die Geraden heißt!
Zu der „gegenseitigen Lage“ von g2 und h2 gehört auch noch, dass diese nicht identisch
sind. Dafür reicht hier aber ein Hinweis auf das, was bei 2b rauskommen wird.
b) Du kannst jetzt natürlich ganz schematisch den Abstand zweier paralleler Geraden (im
IR3) bestimmen: Lotebene zu den Geraden durch einen Punkt, der auf einer von ihnen
liegt, Schnittpunkt der anderen Geraden mit dieser Lotebene, Abstand der beiden
Punkte (oder wie du das sonst gelernt hast).
Weil hier aber die gemeinsame Ebene F schon gegeben ist, geht die Sache auch
erheblich einfacher. Mach dir am bestem zuerst eine Skizze: Die Ebene F (wenn du sie
waagrecht legen willst) durch ein Parallelogramm andeuten. g 2 und h 2 liegen, parallel
zueinander, in dieser Ebene. Auf h 2 markierst du den Anfangspunkt R(4|0|0), ohne dich
um die Koordinaten zu kümmern. (P(0|2|0) auf g 2 zu markieren, ist genauso gut, das
wäre ein anderer Rechenweg.) Deute den Normalenvektor von F und den
Richtungsvektor von h 2 an; lass beide in R beginnen.
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LG 2 – H
Nun siehst du, wie du die Gleichung der Lotgeraden (nenne sie vielleicht l) bestimmen
kannst, die orthogonal zu h 2 und g 2 ist und durch R geht: Ihren Richtungsvektor
→
l erhältst du als Kreuzprodukt; verwende aber zum Weiterrechnen unbedingt nur einen
Bruchteil dieses Kreuzprodukts, sonst hast du ganz eklig große Zahlen. Der Parameter
der Lotgeraden l soll, sagen wir mal, τ heißen.
Du kannst nun den Schnittpunkt von l und g 2 berechnen (nennen wir ihn P). Der
Abstand von RP ist dann der gesuchte Abstand von g 2 und h 2.
→
Noch mal viel einfacher wird die Rechnung aber, wenn du den Richtungsvektor l
zunächst normierst und die Gleichung von l mit diesem normierten Richtungsvektor
hinschreibst. Dann hast du zwar zunächst ein paar Brüche, aber du musst P gar nicht
mehr ausrechnen. Der Betrag des Wertes von τ, den du beim Gleichsetzen der
Geradengleichungen erhältst, ist dann nämlich schon der Abstand des Punktes P vom
Anfangspunkt R. τ bestimmst du leicht aus der ersten und dritten Gleichung des
Gleichungssystems.
c) Hier sind „Lagebeziehungen“ gefragt, du musst dich also nicht um die Koordinaten
kümmern.
Aus den „Ergebnissen“ kannst du sehen, dass den Aufgabenstellern hier die Zeichnung
in einer Schnittebene ausreicht, die orthogonal zu g 2, h 2, s (= g 6), F, G und H liegt. Da
erscheinen dann diese drei Geraden nur als Punkte, die drei Ebenen als Geraden.
Anschaulicher (und damit nützlicher für die Aufgabe 3) wird es aber, wenn du ein
Schrägbild zeichnest:
Beginne, wie in 2b, mit der Ebene F und den Geraden g 2 und h 2. Die Ebene G enthält
die Gerade g 2; zeichne sie so ein. Irgendwo in G verläuft, parallel zu g 2, die Gerade g 6
(= s). s und h 2 bestimmen nun die Ebene H.
3. a) Diese Begründung ergibt sich eigentlich schon aus 2c: g 2, h 2 und s sind parallel
zueinander, die (unendlich vielen) Lotebenen dieser Geraden sind also Lotebenen zu F,
G und H. (Wenn du so gezeichnet hast, wie wir bei 2c vorgeschlagen haben, laufen die
alle parallel zur Zeichenebene.)
Für die Ebene L brauchst du nun doch wieder Koordinaten, aber eigentlich ist alles
schon gegeben: Ein Normalenvektor der Ebene (weil es ja eine Lotebene ist) und ein
Anfangspunkt. Schreibe die Normalenform wieder als Punktprodukt und rechne dieses
dann aus. [Ergebnis: 2x1 - 3x2 + 6x3 = 0]
b) Das Dreieck ist, nebenbei bemerkt, für L genauso groß wie für alle anderen Lotebenen
von F, G und H. Deshalb ist hier die Zeichnung von 2c nützlich, auch wenn dort der
Punkt O gar nicht vorkommt.
Wähle die Grundlinie des Dreiecks so, dass sie auf F liegt. Ihre Länge hast du schon bei
2b berechnet. Die Höhe ist der Abstand der Geraden s (oder irgendeines Punktes von s)
von der Ebene F. Du brauchst hierfür die Hessesche Normalenform von F, musst also
den Normalenvektor von F aufschreiben und auf die Länge 1 normieren, wobei zum
Glück keine Wurzeln auftreten. (Für die letzte Frage merk dir noch: Die HNF liefert h
mit einem Vorzeichen!)
Die Flächenformel für das Dreieck ergibt dann A = 6 6 7 .
Für die letzte Frage musst du noch eine Idee haben. Sie kommt dir vielleicht, wenn du
dir die Gleichung von F und die Koordinaten von O anschaust: O liegt nämlich nicht
nur außerhalb de Dreiecks, sondern sogar auf der falschen Seite von F!
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