www.SchulLV.de Basiswissen > Analytische Geometre > Abstände > Punkt - Gerade Punkt - Gerade Spickzettel Aufgaben Kurzlösungen Ausführliche Lösungen PLUS Lernvideos PLUS Abstand zwischen Punkt und Gerade Erklärung Mit dem Abstand zwischen einem Punkt P und einer Gerade g ist der kürzeste Abstand gemeint. Es gibt zwei mögliche Vorgehensweisen, um diesen kürzesten Abstand zu bestimmen. Vorgehen - mit Hilfsebene 1. Stelle eine Hilfsebene in Normalenform auf, die senkrecht auf der Geraden g steht und den Punkt P enthält. Der Richtungsvektor von g stellt somit einen Normalenvektor der Ebene dar, der Stützpunkt der Ebene ist P . 2. Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um. 3. Berechne den Schnittpunkt S der Gerade und der Hilfsebene. ∣ ∣ 4. Berechne den Abstand zwischen dem Schnittpunkt P(p 1 p2 p3 ) . d = √ − S(s1 − ∣ ∣ s2 s3 ) und dem Punkt − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 (s1 p 1 ) + (s2 p 2 ) + (s3 p3 ) Alternatives Vorgehen 1. Bestimme die allgemeinen Koordinaten der Punkte G die auf der Geraden liegen. 2. Berechne den Parameter, so dass der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Verbindungsvektor ⎯⎯⎯⎯⎯→ PG verläuft. 3. Bestimme die Koordinaten des Punktes mit dem geringsten Abstand zum Punkt P . 4. Berechne den Abstand. Beispiel Bestimme den Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt P . www.SchulLV.de 1 von 3 5 a) g : x⃗ = 1 1 + r ∣ ∣− 1 P(2 0 2 2 1) 1. Schritt: Hilfsebene aufstellen Stelle eine Hilfsebene in Normalenform auf, die senkrecht auf der Geraden g steht und den Punkt P enthält. Der Richtungsvektor von g stellt einen Normalenvektor der Ebene dar, der Stützpunkt der Ebene ist P . Die Hilfsebene in Normalenform lautet: x⃗ − 2 − 0 1 ∘ 1 2 = 0 2 2. Schritt: Hilfsebene in Koordinatenform umwandeln Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um, indem du das Skalarprodukt ausrechnest. x 1 0 = x2 − x 3 − x 1 0 = x2 2 x + 1 3 − ∘ 2 − 0 1 ∘ 1 2 2 1 2 2 0 = x1 2 + 2x 2 + 2x 3 + 2 0 = x 1 + 2x 2 + 2x 3 3. Schritt: Schnittpunkt berechnen ∣ ∣ Die Punkte auf der Gerade g haben folgende Form: G(5 + r 1 + 2r 1 Punkt in die Hilfsebene ein und berechne anschließend den Schnittpunkt. = (5 + r) + 2(1 + 2r) + 2(1 + 2r) 0 = 5 + r + 2 + 4r + 2 + 4r 9r = 9 r = − 0 − 1 Der Schnittpunkt lautet dann S(4 + 2r) . Setze diesen ∣− ∣− 1 1) 4. Schritt: Abstand berechnen Jetzt kannst du den gesuchten Abstand berechnen: d = √ − −− − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 (4 2) + ( 1 0) + ( 1 + 1 ) = www.SchulLV.de √ ⎯⎯ 5 2 von 3 b) g : x⃗ = 1 ∣ ∣ 0 + r 1 P(0 7 − 2 1 2 1) 1. Schritt: Allgemeine Koordinaten bestimmen Die Punkte auf der Geraden g haben folgende Form: G(1 − ∣ ∣ 2r r 1 + 2r) 2. Schritt: Wert für r berechnen Berechne jetzt den Wert für orthogonal sind. r , so dass der Richtungsvektor ∘ − − ∘ − − ⋅ − − ⋅ v⃗ von g und der Vektor ⎯⎯⎯⎯⎯→ PG ⎯⎯⎯⎯⎯→ v⃗ 2 ( 2) (1 1 2 2r) + r 1 PG = 0 = 0 2r = 0 r = 1 2r r 7 2r 7 + 2 3. Schritt: Koordinaten des Punktes bestimmen Setze r ∗− G ( ∣ ∣ = 1 1 in die Geradengleichung ein um die Koordinaten des Punkts zu bestimmen. 1 3) 4. Schritt: Abstand bestimmen ∗ Der minimale Abstand entspricht gerade der Länge des Verbindungsvektors PG . − ∗ − √− − PG = d = 1 6 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 ( 1) + ( 6) + 2 = www.SchulLV.de √ ⎯⎯⎯⎯ 41 3 von 3
© Copyright 2024 ExpyDoc
