Übungsblatt 2

UE MAT.382 / SS 2015
Prof. Dr. Kristian Bredies
¨ MATHEMATIK UND
INSTITUT FUR
WISSENSCHAFTLICHES RECHNEN
http://www.uni-graz.at/~bredies/teaching_de.html#ss15imaging
Mathematische Bildverarbeitung
¨
Ubungsblatt
2
Termin: 25. M¨arz 2015
Aufgabe 2.1: [Eigenschaften von Faltungen]
Es sei Ω ⊂ Rd beschr¨
ankt und k ∈ L1 (Ω) ein Faltungskern (auf Rd mit Null fortgesetzt). Zeigen
Sie:
i) Die Faltung eines Polynoms auf Rd mit k ist ein Polynom.
ii) Die Faltung einer reell-analytischen Funktion auf Rd mit k ist reell-analytisch.
iii) Ist k radialsymmetrisch und u harmonisch in Rd , so gilt u ∗ k = u.
Aufgabe 2.2: [Faltung als linearer Operator]
Zu k ∈ L1 (Rd ) und p ∈ [1, ∞] betrachte den Operator K : Lp (Rd ) → Lp (Rd ) gegeben durch Ku =
u ∗ k. Es bezeichne * und → jeweils schwache und starke Konvergenz sowie v|Ω die Einschr¨ankung
einer Funktion v auf Ω. Zeigen Sie:
i) Es gilt K 6= id.
∗
ii) F¨
ur p < ∞, k ∈ L1 (Rd ) ∩ Lp (Rd ) und Ω ⊂ Rd beschr¨ankt folgt: Falls uk * u in Lp (Rd )
f¨
ur k → ∞, dann gilt Kuk |Ω → Ku|Ω f¨
ur k → ∞ in Lp (Ω).
1
d
iii) Es gibt ein k ∈ L (R ), k 6= 0, so dass K f¨
ur jedes p nicht surjektiv ist.
Aufgabe 2.3: [Separierbarkeit diskreter Filtermasken]
Es sei H ∈ R(2r+1)×(2r+1) , r ∈ N, r > 0 eine diskrete Filtermaske. Die Maske H wird separabel
genannt, falls H = F ⊗ G (d.h. Hij = Fi Gj ) f¨
ur eindimensionale Filtermasken F, G ∈ R2r+1 .
Geben Sie ein Verfahren an welches f¨
ur jedes H ∈ R(2r+1)×(2r+1) ein n ∈ N, n ≥ 0 und separable
Filtermasken H1 , . . . , Hn berechnet, so dass
H = H1 + H2 + . . . + Hn
gilt und n minimal ist.
Aufgabe 2.4: [Implementierung von Bilateralfiltern]
Schreiben Sie ein Programm, welches eine diskrete Version des zweidimensionalen Bilateralfilters
Z
u(y)h(x − y)g u(x) − u(y) dy
2
Bg,h u(x) = RZ
h(x − y)g u(x) − u(y) dy
R2
f¨
ur das Bild u : R2 → R, die Filtermaske h : R2 → R und Gewichtsfunktion g : R → R berechnet.
Es soll folgende Anforderungen erf¨
ullen:
• Die Diskretisierung des Integrals wird durch Punktauswertung und Summation realisiert.
• Die Filtermaske erf¨
ullt h = χBr (0) f¨
ur einen Parameter r > 0 und die Gewichtsfunktion
erf¨
ullt g(t) = exp(−t2 /σ 2 ) f¨
ur einen Parameter σ > 0.
• Die Gr¨
oße eines diskretes Bildes U : {1, . . . , N } → {1, . . . , M } → R wird durch die Bilateralfilterung nicht ver¨
andert (d.h. geeignete Fortsetzungsstrategien werden verwendet).
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